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1、第三讲第三讲 线面、面面垂直线面、面面垂直 的判定与性质的判定与性质 1.直线与平面垂直的定义： 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线 都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直. 2.直线与平面垂直的判定: 定义(反证法); 判定定理: b, ab a; （线面垂直性质定理） ,a a（面面平行性质定理）; ，=l，al，a a （面面垂直性质定理） 线线垂直线面垂直 基础知识 3.直线与平面垂直的性质: 直线和平面垂直，那么直线就垂直于这个平 面内的任何直线 线面垂直 线线垂直 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行 a，b ab 4.点到平面的距离: 从平面外一点引这
2、个平面的垂线，这个点和 垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离. 注意:点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑 垂足的位置，如果垂足的位置不可确定，往往采 取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即 为面的垂足. 5.斜线在平面上的射影,直线和平面所成角 平面的斜线; 斜线在平面上的射影; 斜线段,垂线段定理: 从平面外一点所引的垂线 段和斜线段中 射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线 段也较长； 相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段 的射影也较长； 垂线段比任何一条斜线段都短 直线和平面所成角:平面的一条斜线和它在平面 上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所 成的角 注意:
3、范围: 如果这条直线平行于这个平面,那么直线 与平面所成的角是 最小性定理:斜线与平面所成的角，是这条直 线和平面内经过斜足的直线所成一切角中最小 角. 6.三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜 线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直； 三垂线逆定理: 如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线的射影垂直 7.二面角 1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做两面角. 2)二面角的平面角：以两面角的棱上任意一点 为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两 条射线所成的角叫做二面角的平面角. 3)二面角的大小：可以用它的平面角来度量,范 围是： 4)直二面角：
4、平面角是直角的二面角叫做直二 面角. 5)求二面角的大小方法： 定义法 (2)三垂线定理法 (3)垂面法等 8平面垂直的定义及判定定理： 定义：两个平面相交，如果它们所成的角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作：平面平面 两个平面垂直的判定,证明方法: 定义 判定定理：如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. （线面垂直，面面垂直） 两个平面垂直的性质 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. （线线垂直 线面垂直） 【例1】 设a，b是两条异面直线，在下列命 题中正确的是（ ） A.有且仅有一条直线与a，b都垂直；
5、B.有一 个平面与a，b都垂直； C.过直线a有且仅有一个平面与b平行；D.过空 间中任一点必可作一条直线与a，b都相交. 已知m,l是直线,是平面，给出下列命题: A.若l垂直于内的两条相交直线，则l； B. 若l平行于，则l平行于内的所有直线； C.四面体中最多可以有四个面是直角三角形; D.若m且l， 且则ml 其中正确命题的是 。 C A C D 例题 ,是两个不同的平面，m ，n是平面及之外 两条不同的直线，给出四个论断： （A）mn （B）m （C） （D）n； 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论， 写出你认为正确的一个命题_ 【例2】如图，P 是ABC所在平面外一点，且
6、 PA平面ABC，若O和Q分别是ABC和PBC的 垂心，试证：OQ平面PBC。 【例3】如图，四边形ABCD为正方形，SA平面 ABCD，过A且垂直SC的平面分别交SB、SC、SD于E 、F、G，求证：AESB，AGSD. 【例4】如图，在棱长为a 的正方体ABCDA1B1C1D1 中，E、F分别为D1C1与AB的中点。 求A1B1与截面A1ECF所成的角； 求点B到截面A1ECF的距离. 【例5】如图平面，四边形是 矩 形，、分别是、 的中点. )求平面与平面所成二面角的大小； )求证：平面平面 P A 【例6】已知正三棱柱ABCA1B1C1，若过面对角线 AB1与另一面对角线BC1平行的平
7、面交上底面A1B1C1的 一边A1C1于点D. （1）确定D的位置，并证明你的结论； （2）证明：平面AB1D平面AA1D； （3）若ABAA1= ，求平面AB1D与平面AB1A1所成 角的大小. 【例7】 如图所示，已知ABC和ADC都是 以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD ，BAC=60（1）求证：BD平面ADC；（ 2）若H是ABC的垂心，求证：H是D在平面 ABC内的射影。 【知识识方法总结总结 】 1.线面垂直关系的判定和证明, 要注意线线垂直关系, 面面垂直关系与它之间的相互转化. 2.运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、 斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足” ，如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就 是斜线在平面上的射影. 4.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化 条件和转化应用. 3. 证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线； 否则用作辅助线解决之，要过平面外一点P作平面的 垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和垂直的平面 ，设=l，在内作直线al，则a 【作业业】
