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1、1 学校代码学校代码 10722 学学 号号 0706014410 分分 类类 号号 O11 密密 级级 公公 开开 本科毕业设计（论文）本科毕业设计（论文） 题目 高次方程历史上解法的浅析析 History Of High-order Equation Of The Method Of Solutiou 作作 者者 姓姓 名名 王王 专专 业业 名名 称称 数学与应用数学数学与应用数学 学学 科科 门门 类类 理理 学学 指指 导导 老老 师师 王王 提交论文日期提交论文日期 二二一一年六月一一年六月 成绩等级评定成绩等级评定 2 摘要 本文首先简单介绍了我国古代关于方程的辉煌成就。如九章
2、算术的开方术、贾宪的增乘开方法和数书九章中的部分成就。 然后主要介绍国外的方法。费罗关于缺项三次方程、卡当卡当 等数学家的成就。 最后简单介绍高次方程的近似根求法以及一些特殊的高次方程 如倒数方程、二项方程、三项方程的求解问题。 对高次方程的研究不仅产生了许多有价值的数学思想方法。 （换元法、配方法、化归思想、由特殊到一般等）而且还诞生了一 些数学分支如抽象代数等。更重要的是它能让我们更深刻的理解数 学前辈们的那种伟大的精神以及数学的那种纯粹的美。 关键词： 高次方程 卡当公式 近似根 倒数方程 二项方程 Abstract This article first briefly introduc
3、es the equation of ancient China on the achievements. Such as the “Nine Chapters on Arithmetic,“ the square root operation, increased by Jia Xians open approach and the “Number Nine Chapters“ in the part of the achievement. Then introduces the foreign methods. Filo cubic equation on the short term,
4、the card when the card when the achievements of other mathematicians. Finally, a brief high-order method for finding an approximate root of equation and some special high-order equation such as the reciprocal equation, two equations, three equations to solve problems. Research on the equation of hig
5、her value not only produced a number of mathematical thinking. (Substitution method, with method, the Idea, from specific to general, etc.) but also the birth of a number of branches of mathematics such as abstract algebra. More importantly, it allows us a 3 deeper understanding of mathematics that
6、the great predecessors of the kind of pure spirit and the beauty of mathematics. Key words: Equation of highe Card when the formula Approximate root Reciprocal equation Two equations 目目 录录 摘 要.1 Abstract 2 前 言.4 第一章 中国古代高次方程理论研究5 1.1九章算术5 1.2 王孝通和缉古算经.5 1.3 贾宪、刘益和杨辉6 1.4 秦九韶和数书九章 .6 第二章 国外对高次方程的研究 .
7、7 2.1 费罗的解法.7 2.2 卡当等数学家的成就9 2.3. 韦达公式 14 2.4 高次方程求根公式的提出以及伽罗瓦的成就15 第三章 高次方程的另外解法.16 第四章 一些特殊高次方程的解法18 4.1倒数方程.18 4.2二项方程20 4.3. 三项方程 21 第五章 高次方程的近似根求法简单介绍.23 5.1 牛顿切线法和牛顿割线法.23 5.2 二分法24 5.3 劈因子法25 4 5.4 林士谔赵访熊法25 总结 .26 参考文献27 谢词 .28 高次方程历史上解法的浅析 王亚波 （咸阳师范学院数学与信息科学学院 陕西 咸阳 712000） 前言前言 在二十世纪以前，代数方
8、程求解问题可以说一直是代数学的中 心问题。我们在学习这部分知识时，我们最直接的目的就是要求解 方程的根，我们都可以用它们的系数的代数式（也就是用只含加、 减、乘、除，以及开方等五种代数运算的表达式）来表示，所以解 一次方程和二次方程比较容易。 （二次方程的求解问题有久远的历史， 巴比伦泥板中就载有二次方程问题；古希腊人和中国九章算术 都解出过某些二次方程）对于三次、四次方程以及四次以上的高次 方程来说，它们的根有没有关系呢？如果有，该怎么表示；如果没 有，那如何求解高次方程呢?对一元三次方程的研究自古有之。在巴 比伦泥板中就有相当于求解三次方程的问题；阿基米德讨论过方程 x3+a=cx2的几何
9、解法；七世纪中国王孝通在自己的著作缉古算 经中提出了要用三次方程解的问题，直到十六世纪，在一批意大 利数学家的努力之下，才找到了一元三次方程的一般解法。因此， 三次、四次方程可以用求根公式来求解。而五次及五次以上的高次 5 方程解的问题，直到十九世纪才得以解决。那就是对于五次以上的 高次方程，不存在用根式法表示根的一般公式。伽罗瓦对此做了详 细的探讨。并给出了不能用根式法来求解的方程的实例。本文对这 些方面进行了归纳，并在此基础之上对一些特殊高次方程的解法做 了简要分析和讨论。 第一章 中国古代高次方程理论研究 1.1九章算术 中国古代高次方程数值解法的基础是开平方和开立方。开平方 在周牌算经
10、中就已经提到。我们推测当时的一些数学家己经掌 握了正整数开方的方法。开方术曰:“置积为实。借一算，步之，超 一等。议所得，以一乘所借一算为法而以除。除己，倍法为定法。 其复除，折法而下。复置借算步之如初。以复议一乘之，所得副， 以加定法，以除。以所得副从定法。复除，折下如前。 ”开立方术曰: “置积为实。借一算，步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为 法，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数置 中行。复借一算置下行。步之，中超一，下超二位。复置议，以一 乘中，再乘下，皆副，以加定法。以定法除。除已，倍下，并中从 定法。复除，折下如前。 ” 公元 3 世纪，杰出数学家刘徽为九章算
11、术作注。在开方术 注中，刘徽利用朱黄方幂的儿何方法加以解释和证明，用从正方形 中连续分割若干方形来解释开平方的过程，用从立方体中连续分害 6 若干长方体和小立方体来解释开立方的程 1.2 王孝通和缉古算经 王孝通的上缉古算术表中可以看到零星的缉古算经现 存本共有 20 道题，最后 4 问残缺不全，第 17 问缺少王孝通自注的 部分内容，后 3 问的题目都不完整了。 缉 古 算 经最突出的是 关于三次方程的求解问题，除了第 1 题是关于天文历法的简单算术 题，其余 19 题都要列出方程来求解，其中型如 x3+ax2+bx=c 的三 次方程是主要的。式子中的 a,b,c 王孝通分别称为“廉法” 、
12、 “方法” 和“实” 。 1.3 贾宪、刘益和杨辉 据有关史料记载，贾宪曾经著有黄帝九章算法细草 ，年代大 约在 11 世纪上半叶。对于他的数学成就，我们只能通过南宋杨辉 的详解九章算法附纂类中的记载来了解。杨辉记载了贾宪的四 种开方方法:贾宪立成释锁平方法、增乘开平方法、贾宪立成释锁立 方法和增乘(开立)方法。 “立成”是指唐以后的天文学家推算各种天 文数据时使用的算表的通称。 “释锁”是宋元数学家开方或解数字方 程的代名词。因此，贾宪的立成释锁可以解释作:利用一种表格上的 数字来解决一般的开方问题。这种数字表格很可能就是贾宪提出的 “开方作法本源图” 。 1.4 秦九韶和数书九章 秦九韶
13、字 道古，著有数书九章十八卷。 数 书 九 章 全书利用“正负开方术”求解方程的题目共 21 题，要求解 32 个二 7 次及二次以上的方程。其中，二次(含二项)26 例，三次 1 例，四次 4 例，十次 1 例。秦九韶没有给出“正负开方术”的术文，但是通 过需要求解方程的题目后面的术文和草文，我们可以看到，他的 “正负开方术”和增乘开方法是一致的，是求解高次方程正解的一 般方法。秦九韶己经能够熟练的进行代数恒等变换和设未知数建立 方程，最高达到十次. 第二章 国外对高次方程的研究 21 费罗的解法 解方程 x3+ax+b=0。 将方程变形为可以求解的二次方程的形式。为此，将 x 分拆成两个
14、未知数，令 x=u+v。 代入原方程得到 u3+v3+3u2v+3uv2+a(u+v)+b=0， u3+v3+b+(3uv+a)(u+v)=0。 只要 u3+v3+b=0，3uv+a=0，便保证了 x=u+v 是原方程的根。为 此解方程组 . 3 , 33 a uv bvu 这方程组可变为 8 . 3 , 3 33 33 a vu bvu 由二次方程根与系数的关系，u3、v3满足方程 y2+by - =0。 3 3 a 于是 ， 22 3 222 bba uA 22 3 222 bba vB u、v 各有三个值，设 u0，v0各是一值，则另外两个值分别为 u0，u02；v0，v02。 注：（其
15、中，若 表示 2 31i 或 13 2 i ，则 1、，2是 x3=1 的 三个根。这些根叫做三次方程的单位根。 ） 由于 ，所以 u、v 共有三组值 3 a uv , , 0 0 v u , , 2 0 0 v u . , 0 2 0 v u 所以原方程的三个根是 x1= 3 A+ 3 B， x2= 3 A+ 3 B2， x3= 3 A2+ 3 B。 叫做方程 x3+ax+b=0 的判别式。 23 427 ba A 9 当 0 时，u3，v3都是实数，且 u3v3。它们的立方根表示为 3 A， 3 B。原方程的根是 3 A + 3 B， 3 A+ 3 B2， 3 A2+ 3 B。 当 =0 时，u3，v3 都是实数，且 u3=v3。它们的立方根为 3 2 b ， 方程的根为 -2 3 2 b ， 3 2 b ， 3 2 b 。 当 0,那么有如下结论： 当 2 4bac 0 时，方程（3）有四个虚根； 当 2 4bac =0 时，方程（3）有两队相等的根。 （）如果 b0，则（3）的根全为实根； （）如果 b0，则（3）的根全为虚根 当 2 4bac 0 时，又有三种情况讨论： （）
