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1、 1求函数f(x)= + 在(0，+。)上的最小值 2讨论函数f(x)= + 在(0，+ )上的单调性 3作出函数f(x)= + 在R上的函数图象 设计意图：1考察基本不等式的应用，lJlf(x)= + 2、 =22考察函数单调性的定义3利用前两个问题 的结论，再结合奇函数的图像关于坐标原点对称，得出函数在 R上的图象以学生熟悉且可以独立解决的问题串情景导入，即 回顾了相应知识，又为下面的探讨做好铺垫 在学生利用已有知识解决了题组一，成功的建构了成功的 喜悦感、自我肯定的恰当时机适时把问题上升到一般情形，呈 现刺激材料，推出题组二，基于最近发展区理论，激发学生往 上攀登的信心和勇气 题组二(总
2、结、创新一一般函数研究) 1求函数f(x)=似+ (n，bR )在(0，+a。)上的最 小值 2讨论函数f(x)： + (。，bR )在(0，+。)上的 单调性 3作出函数f(x)： + (口，b E R )在(0，+ )上的 简图 略解：1f( )=似+ 2、戤 =2 ，当且仅 V X 当似= ， =、 时，取得最小值 V a 2从单调性的一般解决方法出发，设0 f(x )一 ，( =倒：+等一(OX1+ )= 塾 ，于是有，当 、鱼一Xl0，所以f( )在 V a l (、 a，+ )上是增函数；同理可得，( )在(0，V a)上是减 、V 、 V 函数 3当 +。时， ，( )： +6吖
3、( )：ax 当 一 0时， 0， 一 ，-厂( )一+o。于是可得简图 V I I I n6 昔 设计意图：这个题组是本节课的关键部分，也是重点由上 面的简单函数研究过渡到最一般的“对号函数”，通过研究性质 得出函数简图，即“作图”，是方法的延伸，思维的升华也是 以后能对此类函数问题达到举一反三、触类旁通的关键知识建 构 通过上一题组，可以说解决了学生对新知识的理解问题， 但是需要确认是否真正理解和理解是否出现错误，必须要在应 用中去检测所以引入题组三和题组四从而引出学生的行为表 现 题组三(思维升华函数性质研究) 1求函数f(x)=黜+ (口，bRl+)在(0，c上的最小值 2求函数f(x
4、)= + (n，bR+)在(c，+ 上的最小 值 3求函数f(x)= + (口，bI 在m，n(0mn) 上的最值 略解：1根据图象，当c、 时，有，( ) (、 )= 2、 当0c、 时，有，( ) ：，(c)= b 2根据图象，当0、 时，( ) =，(c)=nc+ 3可以根据函数的图象进行讨论而求解，学生课外思考题 设计意图：该题组是本节课的升华部分，在题组三已有函 数图象的基础上，进一步研究函数性质，解决最值问题，即 “用图” 题组四(乘胜追击变式应用) 1求函数，( )= +在(0， 1 I上的最小值 2求函数，( )= +在I ，+。)上的最小值 3求函数( )=4x+王 x 存l
5、 2，+ 1上的最小值 4求函数，( )： +_ 在12，+。o)上的最小值 5(具体应用)甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行 驶到乙地，速度不得超过c千米小时已知汽车每小时的运输 成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与 速度 (千米小时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分 为口元 (I)把全程运输成本Y(元)表示为速度 (千米4,时) 的函数，并指出这个函数的定义域 (I I)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行 驶? 2013年第1期甚砖教育论蛞 41 略解：1由图1可知，在(0，】上， 1 1，( ) = =手 2由图1可知， 11 ，( )一=，(1)=2
6、3由图2可知， 1 = )=4 f(x)= g( V + 1 + 4 、，丁 图1 图2 4，( )=(x-3)+ +32、( 一3) +3=9 当且仅当 一3：_I9_，即 ：6时，( )取最小值9但是 ： 6隹12，+。)，显然厂( )：( 一3)+ l硼一+3在12，+ ) 一j 上是增函数，所以当 =12时，_厂( )取最小值13 5 (I)依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间 为旦，全程运输成本为： ，：s+by2 =5f s+by 1定义域为 0 c 、 ， (II)依题意有 ，n，b， 都为正数，故有s( a+b ) 2s ， (0，+。)当且仅当aw=by，即 =、 时，
7、等 V D 号成立于是有，若c、手，则当 -C时，全程运输成本y 最小，且最小值为 、 一若c、 时，则当 =c时，全 V 程运输成本y最小，且最小值为s( +6c) 设计意图：在研究了函数，( )= + 一(。，b E R+)的图 象和性质之后，再回归到具体函数，并加以变式，逆向思维， 训练学生的数学应用能力通过实际问题的考查，让学生体会到 数学来源于生活，又高于生活，提高问题解决能力，增强数学 应用意识 在斯金纳的程序教学中提出，如果学生的反应是错误的， 教学不可以进入下一步，所以教学材料中必须提供可以供学生 反馈信息的材料 题组五(信息反馈课后作业) 1求函数_厂( )： + 在(O，2
8、上的最小值 42 2求函数f(x)=2x+ 在2，+ )上的最小值 3求函数，( )： 1 + 在l下1，+。1上的最小值 二 L厶 4求函数f(x)=2x+鱼 在(3，4上的最小值 一j 5求函数f(x)=sin +- _ 的最值 Sln 一 6当 0时，讨论f(x)= + 在t，t+1上的最值 7某单位建造一间地面面积12 m 的背面靠墙的矩形小房， 房屋正面的造价为1 200元m ，房屋侧面的造价为800元In ， 屋顶的造价为5 800元，如果墙高为3，且不计房屋背面的费 用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元? 略解：13解略；67解略 4f(x)=2( 一3)+ +6
9、2v-+6=14当且仅 一j 当2(x一3)= 时， =5所以厂( )在(3，4上是减函数 一j 当 =4时，f(x)取最小值l6 5厂( )=一l(2一sin )+ 一l+2一2 L 一SIi1 J r 一 、(2一sin ) +2=一2当且仅当2一sin = V 二一81n 下 即sin =0时，( )取最大值一2当sin =1时，( )= 一3当sin =一1时，f(x)：一 所以当sin =1时，f(x)取最小 J 值一3当sin =一1时，f(x)取最大值2 设计意图：13题是简单的函数问题处理，而47题则 设计背景复杂，要求高，变化多其中有关于参数的讨论，实际 问题的解决，可以渗透
10、分类讨论思想，提高学生数学问题表征 能力对不同层次的学生要求不同通过开放的作业形式，提高 学生的参与度，激发学生的参与热情，让每个学生都有成功的 体验，学到自己的数学 六、反思评价 本节课是一节典型的归纳、类比、探究、创新的问题式数 学课，通过题组串建构整节课，激发学生的课堂参与热情，让 学生在问题解决中回顾旧知、建构新知、创新应用最终达到提 高问题解决的能力本节课内容联系紧密，环环相扣，步步提 升，对培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力大有好 处同时训练了学生的数学思维，丰富了学生的数学方法储备 特别是学生的作业，采取分层设计，不同学生自我设定目标， 完成自己层次范围内的数学，培养了学生的自信心，提高了学 生对数学学习的兴趣 参考文献： 1刘绍学，钱佩玲，章建跃等普通高中课程标准实验教 科书数学必修5M北京：人民教育出版社，2004，5 2皮连生，王小明，胡谊教学设计M北京：高等教 育出版社，2009，974m81 硅教育论坛2o13年第1期
