《高二数学圆与方程(有练习,有答案,有讲解,有例题)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学圆与方程(有练习,有答案,有讲解,有例题)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【典型例题】例1. 已知点B（1，4），C（16，2），点A在直线x3y3 = 0上，并且使ABC的面积等于21，求点A的坐标。【解析】直线BC方程为2x5y22 = 0， |BC| = ，设点A坐标（3y3，y），则可求A到BC的距离为，ABC面积为21， 故点A坐标为（）或（）.例2. 已知直线l的方程为3x+4y12=0， 求直线l的方程， 使得： （1） l与l平行， 且过点（1，3） ;（2） l与l垂直， 且l与两轴围成的三角形面积为4.【解析】（1） 由条件， 可设l的方程为 3x+4y+m=0， 以x=1， y=3代入， 得 3+12+m=0， 即得m=9，直线l的方程为 3x
2、+4y9=0;（2） 由条件， 可设l的方程为4x3y+n=0， 令y=0， 得，令x=0， 得， 于是由三角形面积， 得n2=96， 直线l的方程是或例3. 过原点的两条直线把直线2x3y12 = 0在坐标轴间的线段分成三等分，求这两条直线的夹角。【解析】设直线2x3y12 = 0与两坐标轴交于A，B两点，则A（0，4），B（6，0），设分点为C，D，设为所求角。，C（2，）.又，D（4，），.，.例4. 圆x2y2x6yc = 0与直线x2y3 = 0相交于P，Q两点，求c为何值时，OPOQ（O为原点）.【解析】解方程组消x得5y220y12c = 0，消y得5x210x4c27 = 0，
3、OPOQ，解得c = 3.例5. 已知直线y =2xb与圆x2y24x2y15 = 0相切，求b的值和切点的坐标.【解析】把y =2xb代入x2y24x2y15 = 0，整理得5x24（b2）xb22b15 = 0，令= 0得b =7或b =13，方程有等根，得x =2或x = 6，代入y = 2x7与y = 2x13得y =3或y = 1，所求切点坐标为（2，3）或（6，1）.例6. 已知|a|1，|b|1，|c|1，求证：abc+2a+b+c.【证明】设线段的方程为y=f （x）=（bc1）x+2bc，其中|b|1，|c|1，|x|1，且1b1.f（1）=1bc+2bc=（1bc）+（1b
4、）+（1c）0f（1）=bc1+2bc=（1b）（1c）0线段y=（bc1）x+2bc（1x1在x轴上方，这就是说，当|a|1，|b|1，|c|1时，恒有abc+2a+b+c.例7. 某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为（90180），镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m，b m，（ab）.问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？【解析】建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C （x，0）（x0），欲使看画的效
5、果最佳，应使ACB取得最大值.由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为（acos，asin）、（bcos，bsin），于是直线AC、BC的斜率分别为：kAC = tanxCA=，于是tanACB=由于ACB为锐角，且x0，则tanACB，当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时ACB取最大值，对应的点为C （，0），因此，学生距离镜框下缘cm处时，视角最大，即看画效果最佳.例8. 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？【解析】设桌椅分别买x，y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件
6、为由A点的坐标为（，）由B点的坐标为（25，）所以满足约束条件的可行域是以A（，），B（25，），O（0，0）为顶点的三角形区域（如上图）由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为（25，），但注意到xN，yN*，故取y=37.故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.例9. 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.甲乙丙维生素A（单位/千克）600700400维生素B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194 （）用
7、x，y表示混合食物成本c元； （）确定x，y，z的值，使成本最低. 【解析】（）由题，又，所以，. （）由得，所以，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元. 点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域上使得最大的点. 不难发现，应在点M（50，20）处取得. 例10. 如果实数满足，求的最大值、2xy的最小值。【解析】（1）问题可转化为求圆上一点到原点连线的斜率的最大值， 由图形性质可知， 由原点向圆作切线，其中切线斜率的最大值即为的最大值。设过原点的直线为y=kx，即kx-y=0，由
8、，解得或（2）x，y满足， 。例11. 自点A（3，3）发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在的直线方程。【解析】由已知可得圆C：关于x轴对称的圆C的方程为，其圆心C（2，-2），则与圆C相切，设: y-3=k（x+3）， ，整理得12k2+ 25k+12=0， 解得或，所以所求直线方程为y-3=（x+3）或 y-3=（x+3），即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=0。例12. 过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点。（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:（II）设直线AB的方程是
9、x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.【解析】（）依题意，设直线AB的方程为 代入抛物线方程，得 设A、B两点的坐标分别是 、是方程的两根.所以 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，m），从而.所以 （）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（4，4）.由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为设圆C的方程是则解之得 所以圆C的方程是 即 【模拟试题】1. 直线与圆没有公共点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2. 设直线过点（0，a），其斜率为1， 且与圆x2+y2=2相切，则a 的值为
10、（ ） A. B. 2 B. 2 D. 43. “a=b”是“直线”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件4. 圆（x2+）2+y25=关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）A. （x2-）2+y25= B. x2+（y2-）25.= C. （x2+）2+（y2+）25= D. x2+（y2+）25=。5. 已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6. 若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是 （ ）A. B. C. D.7. 已知直线与圆相切，则的值为
11、 。8. 若直线ykx2与圆（x2）2（y3）21有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .9. 已知两条直线若，则_.10. 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得，试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.11. 已知圆C: x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由12. 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（1）
12、证明：点C、D和原点O在同一直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.13. 设数列an的前n项和Sn=na+n（n1）b，（n=1，2，），a、b是常数且b0.（1）证明：an是等差数列.（2）证明：以（an，1）为坐标的点Pn（n=1，2，）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.（3）设a=1，b=，C是以（r，r）为圆心，r为半径的圆（r0），求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围.【试题答案】1. 解：由圆的圆心到直线大于，且，选A。2. 解析：设直线过点（0，a），其斜率为1， 且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为，圆心（0，0）到直线的距离等于半径， ， a 的值2，选B. 3. A 4. A 5. B6. 解析：圆整理为，圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， ， ， ， ，直线的倾斜角的取值范围是，选B.7. 解：圆的方程可化为，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得，所以a的值为18或8。8. 解：由直线ykx2与圆（x2）2（y3）21有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即1，解得k（0，）9. 解：两条直线若，则2.10. 解：如图
