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1、基本原理 欧拉幅角公式-复变函数 或者： 证证明 欧拉公式建立了三角函数和指数函数之间的关系，在复变理论中占 有很重要的位置。 傅里叶变换和傅里叶积分定理 f(x)的傅里叶变换定义为 这个积分是s的函数，用同样的公式对F(s)变化，我们有： 当f(x)是x的偶函数时，重复变换得到f(), 它与我们开始时的函数相同，此为傅里叶变换的 循环换特性。 当f(x)是x的奇函数时，重复变换得到f(-)。 傅里叶变换和傅里叶积分定理 一般地，不论非f(x)是奇函数、偶函数或者是一般函数，重复变换都将得到f(-x)。 可逆性傅里叶变换的常用公式为： 我们把F(s)称为f(x)的-i变换而把f(x)称为F(s
2、)的+i变换；即： 说明：在f(x)的不连续点上，等式的左边应该为1/2(f(x+)+f(x-), 也即，当从两侧逼近不连 续点x时，等式左边应该为f(x)的不相等极限的均值。 傅里叶变换和傅里叶积分定理 可以把变换公式中出现的因子2与s看成一体，得到下面的形式： 傅里叶变换存在的条件 若 1.f(x)从-到的积分存在；2. f(x)中的任何断点都是有限的，则上面的 表达式等于f(x)(或者在f(x)的不连续点等于1/2(f(x+)+f(x-)。 奇偶性及其意义 任意函数f(x)都可以无二义地分解为奇部和偶部，即： 奇偶性及其意义 设：其中E和O一般是复的 f(x)的傅里叶变换可以简化为： 由
3、此可得如果函数式偶的，它的变换也是偶的，如果函数是奇的，它的变换也是奇的。 奇偶性及其意义 由此可得如果函数式偶的，它的变换也是偶的，如果函数是奇的，它的变换也是奇的。 余弦和正弦变换 对正的s，函数f(x)的余弦变换定义为 应当注意到余弦变换没有考虑f(x)的坐标原点左边的部分，它仅定义了坐标原点右边的部 分。 对正的s，函数f(x)的正弦变换定义为 公式的含义 用图形解释傅里叶积分 给定f(x), 我们画出一个震荡的f(x)cos2x，介于f(x)与-f(x)包络之间，因为 , 所以f(x)cos2sx下面积的两倍就是Fc(s) 上图这个面积实际上是趋近于零，而这意味着s的值相当大，第三张
4、图是s值较小的情况。 公式的含义 卷积 卷积的含义 卷积描述了一个观测仪器在一些变量的小范围上对某些物理量进行加权平均的操作。常常 发生的情况是，加权函数的形式不随变量中心值得改变而改变，观测到的量是所要求的量 的分布和加权函数的卷积，而不是所要求的物理量本身的值。所有物理观测都以这种方式 受到仪器分辨能力的限制，也正是由于这个原因，卷积是无所不在的。 两个函数f(x)和g(x)的卷积是： 卷积的理解一 将u看作变量而将x看成参数：先将g(u)翻转成g(-u)，然后将g(-u)移动x距离即g(-(u-x);乘积 曲线f(u)g(x-u)下的面积就是卷积h(x)。 卷积的理解二 将x看作变量而将
5、u看成参数：f(x)被分割为无穷小的柱条。每个柱条的作用将熔铸为以柱 条为中心而具有g(x)曲线形状的一段子波形。图中只画出除了两个这样条柱熔铸的子波形 ，这样h(x)就等于所有的子波形在点x处贡献的总和。 卷积的理解三 将u看作变量而将x看成参数: 其中g(u)关于u=x/2作了翻转。和前面一样，乘积曲线f(u)g(x- u)下的面积就是卷积h(x)。从这个观点可以形象地看出卷积对翻转的中心线位置的依赖 性。 卷积的含义 卷积的定律： 序列积 假设给定两个函数f和g，要求计算它们的卷积。我们构造f值序列，它们位于宽度为ring的 小的均匀间隔上 相应的g的序列为 我们可以很翻遍地将g序列系在
6、一个活动纸条上， 纸条可以连续地滑动到与f序列的每个循序序列值 相对应的位置上(x)。g序列式按照公式的要求以相 反地序列写在纸条上的。 我们可以定义fi和gi的序列积的第(i+1)项如下 序列积的计算是一个完全可行的过程。两个序列可以方便地写成 竖直的列，相应的结果写在由移动纸条上某个合适的位置上所画 的箭头所指的位置。 2 2 3 3 4 2 1 1 2 4 9 10 13 10 8 14456 1、序列积是一个比任何序列都要长的序列，它的项数比两个序 列的项数的总和少一个。 2、序列积的各元素的和等于两个序列的各项和的乘积。 几个特殊的序列 1 、 序列J起着与冲激符号(x)类似的重要作
7、用。对任意序列f, 它有如 下性质：J*f=f 当然只有一个元素的序列1和其他一些数列比如1 0 0也具有这个 性质。 2、 或 3 、 可以生成n项的滑动平均 几个特殊的序列 4、 半无限序列 Sn是求一个序列的前n项和。 序列乘法的逆运算 如果f*g=h，则h称为f和g的序列积, 这是因为序列h构 成了用f和g所表示的多项式的乘积的多项式系数。 反过来，已知f和h，求解g的过程可以称作序列除法。对于这 样的问题，可以用多项式除法来解决。 用矩阵表示的序列积 设序列h是序列f和g的序列积，其中 假设f有5个元素，g有3个元素，则h有7个元 素。 对于用列矩阵 表达序列的情 况，交换律 a*x
8、=x* a不再适 用。 自相关函数和五角星 如果f(x)是一个实函数，则ff是一个偶函数，其值在原点处取得最 大值，即随着移位的引入，乘积的积分值会下降。 通过把函数除以它的中心值来进行归一化，我们定义一个量r(x) 我们称r(x)为f(x)的自相关函数。不过某些特定的应用场合，归一化 问题常常并不重要，我们更感兴趣的是自相关函数的特性而不是它 的幅度，所以，非归一化的形式就被称作自相关函数了。 自相关是研究同一过程不同时刻的相互依赖关系，一个波形的普通 自相关函数丢弃了其在时间维上的信息。 三重相关 互相关 两个实函数g(x)和h(x)的互相关函数定义如下 相对于g*h=h*g，h对g的互相
9、关运算却不同于g对h的互相关运算。 可以把gh看作“g扫描h”，即当g随x的变化移动时，h保持不动。 和自相关的情况一样，互相关函数常被归一化使得其在原点处的值 为1，并且在适当的时候，用平均值来代替无穷积分。 在复函数情况下的相关 两个实函数g(x)和h(x)的互相关函数定义如下 在复函数的情况下，我们习惯于定义（复的）相关为g*扫描h，其中 g*是g的复共轭。 作为一个特例，复函数f的复自相关为f*f 能量谱图 我们把一个函数的变换的模的平方称为能量谱，即F(s)2是f(x)的 能量谱。尽管f(x)决定了F(s)从而也决定了F(s)2 ，但f(x)和它的 能量谱之间并没有一一对应的关系，为
10、了重建f(x)，必须要有 F(s)以及F(s)的幅角。能量谱只包含了f(x)的某种信息，而并没 有给出其傅里叶分量的相位情况。 能量谱所丢失的信息和我们用自相关函数代替原始函数时所丢失的 信息是完全一样的。 能量谱图 若f(x)表示的是一个物理波形，则f(x)是实的，它的能量谱是一个偶 函数，因此可以由s0时的取值完全确定。为了强调这个事实，我 们用术语“正频率能量谱”来表示s 0的F(s)2。由于F(s)2 有单位s上能量密度的性质，如果s的一个离散点上有非零的能量， 那么F(s)2将会是无穷大。这是一种具有无限窄谱线的情况* 一些有用函数的符号 单位高度和单位宽度的矩形函数(x) 单位高度
11、和单位宽度的矩形函数定义： 通过使用卷积运算，矩形函数也可以用来表示滑动平均，在频域内 与一个矩形函数相乘可以看成一个理想的低通滤波。符号rect x是 (x)的一个代替用法。 别称：门函数，窗函数，厢函数 单位高度和单位面积的三角函数(x) 单位高度和单位面积的三角函数定义： (x)函数之所以很重要，很大程度上是因为它正好是(x)的自卷 积。 各种指数曲线、高斯曲线和瑞利曲线 各种指数函数 ： 各种指数曲线、高斯曲线和瑞利曲线 高斯函数： 高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯函数。 各种指数曲线、高斯曲线和瑞利曲线 二维高斯函数 ： Heaviside单位阶跃函数H(x) 任何有跳变的函数都可以被
12、分解为一个连续函数和一个平移的阶跃 函数。因为一个函数和H(x)相乘后，原函数在x为负时变为零，而在 x为正时保持不变，所以单位阶跃函数是一种能够表达简单信号值被 开关的简单手段。 补图 单位阶跃函数是表达非连续性不可缺少的辅助手段，定义为： Heaviside单位阶跃函数H(x) 阶跃函数对于简化积分上下限起了重要作用，它通过对原来的界限 外的部分置零来实现。然后就可以使用常用的积分区间。比如-到 +或者0到+。例如函数H(x-x)在xx时为零，那么积分 Heaviside单位阶跃函数H(x) 所以R(x)实际上是一个卷积积分： R(x)可以写成 Heaviside单位阶跃函数H(x) 现在
13、我们可以注意到，一个函数如果积分存在的话，与H(x)做卷积 就是做积分运算 或 补图 符号函数sgn(x) 符号函数sgn(x)(念做signum x)，根据x的符号取1或-1，即： 它与阶跃函数H(x)有点不一样，但具有阶跃函数的许多特性。它有2 的正跳变，与H(x)的关系是： 滤波函数或内插函数sinc(x) 我们定义： 它的特性为：sinc 0=1; sinc n=0, n是非零的整数。 Sinc函数独一无二的特性是在频谱上，它包含一定谱带内的所有频 谱分量。进一步，在截止频率内它的频谱是平坦的。sinc x与(s)是 一对傅里叶变换对。sinc x函数在卷积中是理想的低通滤波器。也就
14、是说，它保留截止频率内的频率分量并保持不变，而对截止频率以 外的分量全部删除。 滤波函数或内插函数sinc(x) 另一个常用的函数是sinc x函数的平方。 sinc2x函数的傅里叶变换是(x)函数。它的一些特性是： 冲激符号 我们把抽象的无线短暂或集中，无限强烈的单位面积冲激表示为： 此处我们赋予其意义为： 函数t-1(x/t)是一个宽为t高为t-1，具有单位面积的矩形函数；当t趋 近域0变化时，变会产生一个高度逐渐增大的单位面积脉冲序列。冲 激符号使我们能简洁地描述不确定的任意形状的段战脉冲。 冲激符号与单位阶跃函数的密切关系式根据 在x为整数时等于1 ，而x为负数时等于0这一性质得出的。
15、因此： 单位阶跃函数的导数是冲激符号。 筛选特性 我们将按照解释包含冲激符号的表达式时所用的方法来说明下式的 含义。 用序列t-1(x/t)来代替(x)，进行乘法和积分运算，最后求t趋近于0 时积分的极限，如下式所示： 由于等式左边对f(x)所进行的运算筛选出了函数f(x)的单个值，所以 我们把它称作冲激符号的筛选特性。 筛选特性 为了强调其和卷积积分的类同之处，我们可以这样写 如果f(x)在x=0处发生跳变，则筛选积分有一个限值，一般可以表示 为： 冲激符号的一个重要的性质质 即，如果用系数a对x进行尺度压缩，则会导致原本为单位面积的脉 冲面积缩小，于是缩冲激强度缩小到原来的1/|a|。 性
16、质(-x)=(x)，说明冲激符号具有偶对称性质 采样或复制符号III(x) 其有很多显而易见的性质 显然III(x)是周期为1的函 数。 III(x)的采样特性 周期采样性质是以讨论过的冲激符号的筛选积分特性的推广。因此 ，用III(x)和函数f(x)想乘便有效地对f(x)以单位间隔进行采样。 结果不包含两整数间III(x)=0所对应的f(x)的信息；而当x为整数时 f(x)的值被保留下来。III(x)的采样特性使其成为一个很有用的工具 ，广泛应用于很多学科。 III(x)的复制特性 用III(x)和函数f(x)进行卷积运算当中，即 函数f(x)沿x轴正方向以单位间隔重复出现，永无止境。当然，如果 f(x)的底宽大于1，则会发生交叠
