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1、第5章 数值积分与数值微分 Newton-Cotes公式 微积分学- “人类精神的卓越胜利” 微积分就是微分运算和积分运算这两种互逆运算方法 的合称，就像加法与减法，乘法与除法是互逆运算一 样，但微积分的运算法则要比加减乘除，乘方，开方 等运算复杂得多，现在已成为高等数学的核心内容。 为什么要数值积分？ 在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分 要求被积函数要求被积函数 f f( (x x) ) 有解析表达式；有解析表达式； f f( (x x ) )的原函数的原函数 F F( (x x ) )为初等函数为初等函数 Why do we do numerical integral?
2、 问题问题 f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g.e.g. x12345 f(x)44.5688.5 f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 e.g.e.g. 它们的原函 数都不是初 等函数. f(x)原函数表达式很复杂，计算量很大 e.g.e.g. 讨论数值积 分的必要性 更一般地，我们可以在区间a,b上选取某些节点 4. -(1.3) 数值求积的方法是近似方法，要保证精度，我们自然数值求积的方法是近似方法，要保证精度，我们自然 希望求积公式对尽可能多的函数准确地成立，因此定希望求积公式对尽可能多的函数准确地成立，因此定 义代数精度的概念义代数精度的概念: : P98-99 考察其代
3、数精度。 f(x) ab f(a) f(b) 梯形公式 /* trapezoidal rule*/ 解：逐次检查公式是否精确成立 代入 P0 = 1：= 代入 P1 = x ：= 代入 P2 = x2 ： 代数精度 = 1 例例1.1.试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高. 解解: : 因此因此 所以该积分公式具有所以该积分公式具有3 3次代数精确度次代数精确度 各节点为 Cotes系数 注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i ，可查表得到。与 f (x) 及 区间a, b均无关。 梯形公式梯形公式 时， 3/8公式 例 用n=6的牛顿柯特斯公式计算定积分值 解：将积分区间0,1划
4、分为n份，得到节点列为 在这些节点处的函数值为 则n=6的牛顿柯特斯公式为 SimpsonSimpson公式及其余项公式及其余项 Cotes系数为 求积公式为 上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为 Simpson公式的余项为 Simpson公式具有3次代数精度 CotesCotes公式及其余项公式及其余项 CotesCotes系数为系数为 求积公式为求积公式为 上式称为Cotes求积公式，也称五点公式记为 CotesCotes公式的余项为公式的余项为 CotesCotes公式具有公式具有5 5次代数精度次代数精度 思考思考使用n次Lagrange插值多项式的Newto
5、n-Cotes 公式至少具有n次代数精度,并且n为偶数时至 少具有n+1次代数精度. 考察考察CotesCotes系数系数 因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由 其值可以精确给定 记 而理论值为 定义2 在机械求积公式中，若 其中 则称机械求积公式是收敛收敛的。 使用机械求积公式计算得到的近似值记为 记为误差 舍入误差 充分小充分小 这表明求积公式计算是稳定的。 定义3 对任给只要 成立，就称机械求积公式是稳定稳定的。 若 就有 定理定理2 2：若机械求积公式中的系数：若机械求积公式中的系数 则此求积公式是稳定的。则此求积公式是稳定的。 证：证： 4.3 4.3 复化求积
6、公式复化求积公式 直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大 公式的舍入误差又很难得到控制 为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用 复化方法 然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式 最后将每个小区间上的积分的近似值相加 复化 Simpson 公式： = Sn 注：为方便编程，可采用另一记法：令 n = 2n 为偶数， 这时 ，有 复化求积公式的余项和收敛的阶 我们知道,三个求积公式的余项分别为 单纯的求积公式复化求积公式的每个小区间 则复合梯形公式的余项为 由于 即有 例 用复化Simpson公式计算积分 的近似值， 并估计误差。（取n=5） 解：n=5，h=(
7、1-0)/n=0.2，节点列为 则复化Simpson公式为 截断误差估计： 理查德森外推法 /* Richardsons extrapolation */ 利用低阶公式产生高精度的结果。 设对于某一 h 0，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值 I。由 Taylor展开得到： T0(h) I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + i 与 h 无关 现将 h 对分，得：()()().)( 3 23 2 222120 += hhhh IT Q：如何将公式精度由 O(h) 提高到 O(h2) ？ . 4 3 2 1 12 )()(2 3 3 2 2 020 = hhI hTT h 即： 求积公式 (1) 当求积系数 、求积节点 都可以 自由选取时,其代数精确度最高可以达到多少 次?
