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1、gI嘞|j案例说立体几何证明题的几种评讲方法仝建(江苏省南京市大厂高级中学210044)一、问题提出新的课程标准实施以来，立体几何部分的课时变少了，难度变低了，但培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力仍然是该部分内容的重要教学目标这方面能力的考查在近几年的江苏省高考试题中也有充分的体现如：2008年至2011年连续四年，江苏高考数学试卷的第l6题均涉及立体几何证明，题目难度虽然不大，但有不少学生由于证明不够规范，失分不少主要问题是学生在证明过程中论据不足甚至缺少论据不少学生在有了一定的空间观念，知道了该部分的几个重要定理的情况下却屡屡出错究其原因，除了对定理不够熟悉(如部分学生对定理的条件
2、和结论把握不清)之外，在证明的规范性方面学生很欠缺二、采用的方法本文尝试通过几种有效的习题评讲方法，提高学生立体几何题证明的规范性水平1“曝光”法立体几何证明部分的作业批改起来是很费力的学生的错误也是五花八门，但也有共性，一部分学生是定理掌握不熟，这部分学生可以加强他们对定理的理解和记忆还有很大一部分学生是证明过程中论据不足，也就是我们常说的少条件，推理不严谨，证明不够规范，对于这一部分学生笔者采用“曝光”的方法把学生的典型错误曝光在黑板上或者用投影仪投影在屏幕上，让学生发现错误，纠正错误，给出避免类似错误的方法，收到了较好的效果案例1题目如图1，AB是00的直径，PA垂直于00所在的平面，C
3、是圆周上不同于A，B的任意一点求证：平面PAC上平面PBC师：这道题错误较多，下面将A同学的证明过程“曝光”如下证明AB是00的直径，c是圆周上不同于，B的任意一点，ACJ-曰CPA垂直于00所在的平面，PALBCBCJ_平面PAC平面PACL平面PBC图1师：请同学们指出A同学证明中存在的问题B同学：A同学的证明中，第一个“因为、所以”之间是对的，但后面的都有问题师：是的，那请你到黑板上来给他订正，其他同学考虑你怎样给A同学改错，B同学订正的是否正确B同学：(用红粉笔订正如下)证明。AB是00的直径，c是圆周上不同于A，B的任意一点，AC上C。PA垂直于00所在的平面，BCc00所在的平面，
4、PA上BC又AC上BC，PAnAC=A，BC上平面PAC又BCc平面PBC，析。”奄R1l二姆平面PAC上平面PBC师：大家看B同学订正的怎么样(学生回答：很好了)我们怎样做可以避免A同学所犯的错误呢C同学：A同学主要错误在于使用定理时，条件不足(论据不充分)，可能心里知道这些条件，但没有在证明过程中呈现出来所以我认为A同学首先应该熟记线面关系的几个重要的性质定理及判定定理，然后在证明时要时刻对照相关定理的条件与结论师：说得很好，很有道理我们再请A同学说说自己的想法，A同学你认为你怎样避免类似错误呢A同学：c同学说得很好，我想在使用有多个条件的定理时，应该格外小心，这时容易少条件采用这种“曝光
5、”的方法，把错误展现给学生，把纠错的机会让给学生，把纠错后的反思留给学生，能够充分地调动学生参与课堂的热情，有利于提高习题评讲课的效果2“对比”法根据近两年的新课标高考要求，立体几何部分的证明为B级要求，以平行和垂直关系的证明、探究为主，难度不大，因此熟知定理、证明规范是学生得分的关键笔者在习题评讲上采用了不规范与规范对比的方法，使学生意识到规范证明、推理严谨的重要性，对提高学生证明的规范性有一定的帮助案例2题目如图2，在直三棱柱ABCA1日IC。中，E，F分别是A1曰，A。c的中点，点D在。c。上，A1D上日1c1求证：EFf平面ABC0挪分、教师让两名学生板演(教师可故意请出证明规范和不规
6、范的两名学生)，两名同学分别板演如下D同学：证明E，F分别是A，B，Ac的中点，图2CCEFBCEFABCE同学：证明E，F分别是A。曰，A，c的中点，EF为ABC的中位线则)一平面僦师：请同学们对上面两位同学的证明过程作出评价，谁的证明较好，为什么F同学：E同学的证明较好，思路很清晰，推理严谨，看起来也很美观D同学的证明过程，缺少条件，如果考试的话会丢大部分的分通过规范证明与不规范证明的对比，让学生作出评价，作出选择，使学生自觉的向规范证明的方向努力，从而提高学生推理论证的能力数学学习与研究201121(下转63页)点，由中点坐标公式僻：+，=6，YY，=0又因为点A(X，Y)，B(，Y)分
7、别在直线f，z上，所以得到：2x一Y一2=0，+Y，+3：0把以上四个方程联立组成方程组解点Af，1，点o(3，0)及点A得到、jj，直线方程为：8xY一24：0学生2：设所求直线方稗为Y=(一3)，其中k是直线的斜率，由所设的直线与已知两条直线组成两个方程组，解出两个交点坐标，再由巾点坐标公式建立一个关于斜率k的方程，求出直线的斜率，进而求II直线方程但解交点坐标较麻烦解答过程如下：解设所求的直线与两直线f。，Z分别交于点A(，Y)，B(：，Y)，设所求直线的斜率为k，则所求直线的方程为Y=k(一3)，于是：、Y=k(一3)，fY=k(一3)，12y一2：01+Y+3：0由得X1=，由得=，
8、又由中点坐标公式得Yl+Y2=o，即+=0，解得k=8所以，所求直线方程是：8xY一24=0在展示了上面的两种解法以后，教师需要学生说说自己的解题思路是怎样想到的，这样对学生来说不仅是一个只会做的过程，而且还要求学生会说教师首先要求学生1说解题思路，然后要求学生说解决这个问题用到了哪些知识，最后说用到了什么数学思想学生1：要求直线的方程，需要找到两个点的坐标，而所求直线只知道一个点的坐标，需要解出两个交点中的一个点的坐标即可，于是用列方程组的办法解决所用的知识是中点坐标公式，是用方程的思想解决问题学生2：要求直线的方程就要两个条件，即直线上的一露ANLlPOUX1个点及直线的斜率，此川待定系数
9、法设线，也是用方程的思想解决(3)解题反思，优化解题过对于第二种解法，教师要求学q三思考是有小妥的地方(由于学生的思维小严密，造成学生存设卣线方稃为斜截式或者点斜式方程时总是忘记考虑直线的斜牢存存的情况，大】此教师特意强调这点)对于这个问题只有极个别的学生提到了要考虑斜率小存在的情况，至于如何考虑则小清楚，因此教师要加以补充方法就是通过图形加以判断，或者通过代数运算说明当直线的斜牢不存存时，点P(3，0)不可能是中点，然后才用第二种解法通过对这道题目的解答，学生学会求直线方程的几种方法，还有就是在解题过程中体现了坐标法的思想既巩固了所学的基础知识，又达到了训练学生思维的目的，3在复习课中使用开
10、放型的问题来提高复习效果开放型的问题由于答案不具有唯一性，可以锻炼学生的思维能力，在设计问题时，要保证所设计的问题尽量覆盖所需要复习的知识例如在立体几何初步的复习中可以设计这样的题目：给你一个正方体，请你在这个正方体中(可以添加辅助线)尽可能多的找出线线平行、线面平行、面面平行的例子，尽可能多的找出线线垂直，线面垂直、面面垂直的例子；如果这样的问题太过于开放，可以加一些限制条件又如在直线方程的复习中可以这样：请你任意写出两个点的坐标，然后写出直线方程的各种形式总之，解题教学贯穿整个高中数学教学的始终，我们不提倡纯粹地教学生解题，而忽视基本概念，基本原理的学习，但是数学的学习又离不开解题，通过解
11、题巩固所学的基本概念与基本原理，培养学生分析解决问题的能力是高中数学的基本任务因此，基本概念的学习与解题教学是不矛盾的，在教学中，需要高中数学教师提升自己的解题能力，只有自身的能力得到了提高，学生的能力才会得到提高(上接61页)3“对话”法在习题评讲时，有时采用师生对话的方法，也会取得较好的效果当较多学生解答该题有困难时，教师可以请一位有代表性的学生说说他的想法，发现学生对于这一道题的“最近发展区”，有针对性地提出启发性的问题，使学生在一问一答中获得完整的求解思路案例3题目如图3，在三棱锥PABC中，点P在平面ABC内的射影是ABC的垂心(三角形三条边上的高交于一点，这点叫做这个三4角形的垂心
12、)求证：PCj-AB在平行班教学时，多数学生对该题无法下手，教师请具有代表性的学生说想法师：说说你对该题的想法P图3G同学：我还不会做，没有想好师：没关系，很多同学可能也没想好你从已知中能获得什么呢G同学：由已知可以得到P日上平面ABC，还有CHIAB师：好，要证明什么G同学：要证明PC上AB数学学习与研究201121师：结合要证明的问题，你还能从已知中挖掘出什么请其他同学也思考一下这个问题G同学(考虑片刻)：老师，我知道了，从已知中还可以进一步得到PH上AB，又因为CHj_AB，所以AB上平面PHC，从而有ABJ_PC，也就是PC上AB师：说得很好，请把详细的证明过程书写出来采用师生对话的方法，能够快速地获得学生的思维症结，针对性强，在师生问答的过程中，提高学生的思维水平，同时也能够为学生自己解题提供一种自问自答寻求解题思路的示范三、结论在立体几何部分的证明题评讲时，考虑大多数学生的接受情况，可以灵活采用多种评讲方法本文仅通过三个案例介绍了三种评讲方法，相信通过我们一线教师的大胆实践，不断思考，还可以探索出更多更好的评讲方法，使习题评讲课也能变得多姿多彩【参考文献】1中华人民共和国教育部制定普通高中课程标准(实验)M北京：人民教育出版社，20032单蹲普通高中课程标准实验教科书(必修2)M南京-江苏教育出版社，2007人品m舻析削例案
