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1、11、基本概念和考点、基本概念和考点2、合理分类和准确分步33、特殊元素和特殊位置问题、特殊元素和特殊位置问题44、相邻相间问题、相邻相间问题5、定序问题6、分房问题7、环排、多排问题多排问题1212、小集团问题、小集团问题10、先选后排问题9、平均分组问题11、构造模型策略8、实验法（枚举法）13、其它特殊方法排列组合应用题解法综述（目录）基本原理组合排列排列数公式组合数公式组合数性质应用问题知识结构网络图：返回目录名称内容分类原理分步原理定义相同点不同点两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数直接（分类）完成间接（分步骤）完成做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种
2、不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+mn种不同的方法做一件事，完成它可以有n个步骤，做第一步中有m1种不同的方法，做第二步中有m2种不同的方法，做第n步中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2m3mn种不同的方法.回目录1.排列和组合的区别和联系：名称排列组合定义种数符号计算公式关系性质，从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数回目录判断下列问题是组合问题还是排列问题(1)设集合A=abcde，则集合A的含有3个元素的子集
3、有多少个(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次组合问题(5)从4个风景点中选出2个安排游览有多少种不同的方法组合问题(6)从4个风景点中选出2个并确定这2个风景点的游览顺序有多少种不同的方法排列问题组合问题回目录合理分类和准确分步解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏；按事情的发生的连续过程分步，做到分步层次清楚.回目录合理分类与分步策略例.在一次演唱会上共10名演
4、员其中8人能唱歌5人会跳舞现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有_种只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员_种只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有_种，由分类计数原理共有_种。+回目录元素相同问题隔板策略应用背景：相同元素的名额分配问题不定方程的正整数解问题隔板法的使用特征：相同的元素分成若干部分，每部分至少一个元素相同问题隔板策略例.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额
5、之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有_种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将nn个相同的元素分成个相同的元素分成mm份（份（nn，mm为正整数）为正整数）每份至少一个元素每份至少一个元素可以用可以用m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入nn个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法数个空隙中，所有分法数为为回目录例高二年级8个班组织一个12个人的年级学生分会每班要求至少1人名额分配方案有多少种解此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份有多少种不同的分法问题因此须把这12个白球排成一排在11个空档中放上
6、7个相同的隔板每个空档最多放一个即可将白球分成8份显然有种不同的放法所以名额分配方案有种.结论转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想将其化归为简单的、具体的问题来求解.分析此题若直接去考虑的话就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题就会显得比较清楚方法简单结果容易理解.回目录练习（1）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有（）种。（2）不定方程的正整数解共有（）组回目录练习题1.10个相同的球装5个盒中每盒至少一有多少装法？2.x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解的组数回目录小结：把n个相同元素分成m
7、份每份至少1个元素问有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法”得出共有种.回目录平均分组问题除法策略例12.6本不同的书平均分成3堆每堆2本共有多少分法？解:分三步取书得种方法但这里出现重复计数的现象不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB第二步取CD第三步取EF该分法记为(ABCDEF)则中还有(ABEFCD)(CDABEF)(CDEFAB)(EFCDAB)(EFABCD)共有种取法而这些分法仅是(ABCDEF)一种分法故共有种分法。平均分成的组不管它们的顺序如何都是一种情况所以分组后要一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。回目录1将13个球队分成3组一组5个队其它两组4个队有多少分法？2
8、.10名学生分成3组其中一组4人另两组3人但正副班长不能分在同一组有多少种不同的分组方法3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_回目录分清排列、组合、等分的算法区别例(1)今有10件不同奖品从中选6件分给甲一件乙二件和丙三件有多少种分法(2)今有10件不同奖品从中选6件分给三人其中1人一件1人二件1人三件有多少种分法(3)今有10件不同奖品从中选6件分成三份每份2件有多少种分法解：（1）（2）(3)回目录练习(1)今有10件不同奖品从中选6件分成三份二份各1件另一份4件有多少种分法(2)今有10件不同奖品从中选6件分给
9、甲乙丙三人每人二件有多少种分法解:(1)(2)回目录小结：排列与组合的区别在于元素是否有序m等分的组合问题是非等分情况的而元素相同时又要另行考虑.回目录构造模型策略例.马路上有编号为123456789的九只路灯现要关掉其中的3盏但不能关掉相邻的2盏或3盏也不能关掉两端的2盏求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有_种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决回目录练习题某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120回目录八八.排列组合混
10、合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略例.有5个不同的小球装入4个不同的盒内每盒至少装一个球共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有_种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有_种方法.根据分步计数原理装球的方法共有_解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题先选后排是最基本先选后排是最基本的指导思想的指导思想.此法与此法与相邻元素捆绑策略相似相邻元素捆绑策略相似吗吗回目录练习题一个班有6名战士其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务每人完成一种任务且正副班长有且只有1人参加则不同的选法有_种192回目录3名医生和6名护士被分配到3所学校为
11、学生体检每校分配1名医生和2名护士不同的分配方法共有多少种先选后排问题的处理方法解法一：先组队后分校（先分堆后分配）回目录解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.回目录为支援西部开发有3名教师去银川市三所学校任教每校分配1人不同的分配方法共有_种(用数字作答).练习改为4名教师？改为5名教师？回目录有甲、乙、丙三项任务甲需2人承担乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务不同的选法共有多少种回目录四名同学分配到三个办公室去搞卫生每个办公室至少去一名学生不同的分配方法有多少种回目录1、有甲、乙、丙三项工程，甲需要2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项
12、任务，不同的承担方法共有_种；2、某办公室有5人办公，现要排一个周轮值表，每人至少一天，其中甲不能在周六和周日，且甲肯定值两天，则不同的排表方式有_种；3、学校决定下周对高一年级进行教学情况抽测。决定基础科抽两门，文科、理科各抽一门，技能科（音、体、美、信）抽一门。则可能有种抽取方法。基础训练回目录练习某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法_种.解：采用先组后排方法:回目录小结：本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。回目录实验法（穷举法）题中附加条件增多，直接解决困难时
13、，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。例将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（）A.6B.9C.11D.23分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。第一方格内可填2或3或4。如填2，则第二方格中内可填1或3或4。若第二方格内填1，则第三方格只能填4，第四方格应填3。若第二方格内填3，则第三方格只能填4，第四方格应填1。同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填1，第四方格应填3。因而，第一格填2有3种方法。不难得到，当第一格填3或4时也各有3种，所以共有9种。回目录实
14、际操作穷举策略例.设有编号12345的五个球和编号12345的五个盒子现将5个球投入这五个盒子内要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同.有多少投法？解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下345号球345号盒3号球装4号盒时，则45号球有只有1种装法3号盒4号盒5号盒345回目录实际操作穷举策略例.设有编号12345的五个球和编号12345的五个盒子现将5个球投入这五个盒子内要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同.有多少投法？解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操
15、作法，如果剩下345号球345号盒3号球装4号盒时，则45号球有只有1种装法同理3号球装5号盒时45号球有也只有1种装法由分步计数原理有2种回目录练习：（不对号入座问题）（1）（2004湖北）将标号为1，2，3，10的10个球放入标号为1，2，3，10的10个盒子中，每个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法有_种（2）编号为1、2、3、4、5的五个球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子里，至多有2个对号入座的情形有_种109直接法：间接法：回目录注意区别“恰好”与“至少”从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（）(A)480种（B
16、）240种（C）180种（D）120种小结：“恰好有一个”是“只有一个”的意思。“至少有一个”则是“有一个或一个以上”，可用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面，故可用“排除法”。解：回目录练习从6双不同颜色的手套中任取4只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有_种解：回目录对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果图会收到意想不到的结果练习题1.同一寝室4人每人写一张贺年卡集中起来然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)2.给图中区域涂色要求相邻区域不同色现有4种可选颜色则不同的着色方法有_
