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1、第五讲(一元微分学之二) 微分中值定理 及其应用 一. 方法指导 二. 1. 微分中值定理的理解及它们之间的关系 第二章第二节 微分中值定理 罗尔定理拉格朗日中值定理 柯西中值定理泰勒中值定理 (1) 几个中值定理的关系 (2) 证明中值定理的方法 辅助函数法 直观分析 逆向分析 例如, 证明拉格朗日定理 : 要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 . 方法1. 直观分析 由图可知 , 设辅助函数 (C 为任意常数 ) 方法2. 逆向分析 要证 即证 原函数法 辅助函数 同样, 柯西中值定理要证 即证 原函数法 设 (3) 中值定理的条件是充分的, 但非必要. 可适当减弱. (如p85例13) 因此
2、 设在内可导,且 则至少存在一点使 证: 设辅助函数 显然在上连续,在内可导,由罗尔 定理可知 , 存在一点使即 (4) 中值定理的统一表达式 设都在上连续 , 且在 内可导, 证明至少存在一点 使 证: 按三阶行列式展开法有 利用逆向思维设辅助函数 显然 F(x) 在a , b 上连续 , 在 (a , b)内可导, 且 因此,由罗尔定理知至少存在一点 使 即 说明 设都在上连续 , 且在 内可导, 证明至少存在一点 使 若取 即为罗尔定理; 若取 即为拉格朗日中值定理; 若取 即为柯西中值定理; ( 自己验证 ) 2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等
3、式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 3. 中值定理的主要解题方法 中值定理 原函数的性质 导函数的性质 解题方法: 从结论入手, 利用逆向分析法, 选择有关中值定 理及适当设辅助函数 . (1) 证明含一个中值的等式或证根的存在 , 常用 罗尔定理 , 此时可用原函数法设辅助函数. (2) 若结论中涉及到含一个中值的两个不同函数, 可考虑用柯西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上中值 , 必须多次 使用中值定理 . (4) 若已知条件或结论中含高阶导数 , 多考虑用 泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 . (5) 若结论为恒等式 ,先证变式导数为 0 , 再利用 特殊
4、点定常数 . (6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的 技巧. 1.对微分中值定理的理解 例1. 填空题 1) 函数在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理 条件, 则中值 2) 设 有个根 , 它们分别在区间 上. 方程 二. 实例分析 例2. 思考: 在 即 当时 问是否可由此得出 不能 !因为 是依赖于 x 的一个特殊的函数. 因此由上式得 表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 . 应用拉格朗日中值定理得 上对函数 例3. 当 时, 试证 证: 设当 时,在上 满足拉氏中值定理条件, 因此有 解出, 则时 (p76例2) 又因 及在单调递增 , 于是 说明: 中值定理只告诉位于区间内
5、的中值存在 , 一般 不能确定其值 , 此例也只给出一个最好的上下界 . 第六讲(一元微分学之二) 微分中值定理 及其应用 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 例4. 设函数在 内可导, 且 证明 在内有界. (p77例3) 证: 取点 再取异于的点 对在以为端点的区间上用拉氏中值定理 得 ( 界于 与 之间) 令则对任意 即在 内有界. 例5. 设函数在 上二阶可导, 且证明 (P78 例5) 证: 由泰勒公式得 两式相减 , 得 例6. 设函数 上具有二阶导数，且满足 证明序列发散. 证： 故序列发散. (200
6、7 考研） 第六讲(一元微分学之二) 微分中值定理 及其应用 例1 求证，存在 使 设 可导，且 在 连续， 证：逆向分析做辅助函数 因此至少存在 显然在 上满足罗尔定理条件, 即 设辅助函数 使得 2. 证明有关中值问题的结论 例2. 设函数在上二阶可导, 且 证明至少存在一点使 分析: 在结论中将换为得 积分 证: 类比设辅助函数 因在上满足罗尔定理条件, 所以存在 使因此在上满足 罗尔定理条件,故必存在使 即有 例3. 设函数在上连续, 在 但当时 内可导, 且 求证对任意 自然数 n , 必有使 分析: 在结论中换 为得 积分 因所以 证: 两边积分设辅助函数 显然在上满足罗尔定理条件
7、, 因此必有 使即 例4. 设且在内可导, 证明 至少存在一点 使 提示: 由结论可知, 只需证 即 验证在 上满足罗尔定理条件. 设 例5. 设 至少存在一点使 证: 问题转化为证 设则 在 0, 1 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使 即 证明 例6 设 成立。 解： 原式变形为 令,由题意和基本初等函数性质可知， 满足柯西中值定理条件, 有 等式成立。 例7. 试证至少存在一点使 证: 法1 用柯西中值定理 . 则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令 因此 即 分析: 例7. 试证至少存在一点使 法2 令 则
8、 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件, 使因此存在 例8. 设在上连续, 在 证明存在 内可导, 且 使 证: 方法1（逆向分析法 ） 因为所证结论左边为 设辅助函数 由于上满足拉氏中值定理条件, 且 易推出所证结论成立 . 在 (参考p81例10) 方法2 . （常数k值法）令 因此可考虑设辅助函数 由于在上满足罗尔定理条件, 故存在 使由此可推得 故所证结论成立. 例9. 设在上连续, 在 证明存在 内可导, 且使 证: 转化为证 设辅助函数由于它在满足 拉氏中值定理条件, 即证 因此存在 使 再对 转化为证 在上用拉氏中值定理 , 则存在使 因此 例10.且 试证存在 证
9、: 欲证 因 f ( x ) 在 a , b 上满足拉氏中值定理条件,故有 将代入 , 化简得 故有 即要证 例11. 设在上连续, 在 试证对任意给定的正数 内可导, 且 存在 证: 转化为证 因 即 由连续函数定理可知, 存在使 使 因此 对分别在上用拉氏中值定理 , 得 即 例12. 已知函数内可导, 且 证: (1) 令 故存在使 即 (2005 考研） 内可导, 且 (2) 根据拉格朗日中值定理, 存在 使 已知函数 例13. 设函数 在上三阶可导, 且 设 使 证法一: 因 因因此 试证存在 利用二阶泰勒公式 , 得 阶导数, 且存在相等的最大值, 并满足 例14. 设函数 证:
10、据泰勒定理, 存在 使 由此得 即有 (2007 考研） 情形1.则有 内具有二 法2. 应用罗尔定理得 即有 阶导数, 且存在相等的最大值, 并满足 情形2. 因此据零点定理, 存在 即有 则有 设函数 应用罗尔 定理得 内具有二 例1. 如果方程 证明方程有一个正根 有一个小于的正根。 证： 又 由罗尔定理可知在 故 4.判别方程根的存在唯一性 例2. 设实数满足下述等式 证明方程在 ( 0 , 1) 内至少有一 个实根 . 证: 令则可设 且 由罗尔定理知存在一点使 即 例3. 设函数 在上二阶可导, 且 证明方程 内有且仅有一根 . (P80 例9) 证: 在 在 上 由泰勒公式可知
11、因 所以 又因利用的单调性及连续函数介值 定理 , 可知 在内有且仅有一根 . 例1. 证明等式 证: 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 自证: 经验: 欲证 时只需证在 I 上 3. 证明恒等式或不等式 例2. 证明恒等式 证: 令 则 因此又 故所证等式成立 . 证: 设 中值定理条件 即 故 ,因此应有 例3. 证明不等式 设 证明对任意 有 证： 例4 不妨设 第六讲(一元微分学之三) 不等式的证明方法 (第二章第四节) 一.不等式的证明方法指导 1.利用导数证明不等式的常用方法 (1) 利用导数定义 ; (2) 利用函数的单调性 ; (3) 利用函数的极值和最值 ; (4) 利用函数的凹凸性 ; (5) 利用微分中值定理 ; (6) 利用泰勒公式 . 2. 证明不等式的常用技巧 (1) 注意选择适当的辅助函数和对应区间 ; (2) 注意适当的放大和缩小技巧; (3) 注意几个常用不等式 : (算术平均几何平均) (柯西不等式) 3.关于导数的不等式定理(p103) 定理 设函数在上具有n 阶导 数,且: 则当时 证: 令 则 利用 在处的 n -1 阶泰勒公式得 因此时 思考: 若定理中区间改为 , 问结论如何?
