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1、理学院 物理系 陈强 “喷水鱼洗”实质上是一个盆边带有双耳的铜盆. 当用手摩 擦盆边的双耳时，盆内的水会浪花飞溅. 第12章 机械振动 理学院 物理系 陈强 本章内容 12.1 简谐振动 12.2 简谐振动的实例分析 12.3 谐振动的合成 12.4 阻尼振动和受迫振动简介 *12.5 二自由度线性振动简介 理学院 物理系 陈强 12.1 简谐振动 主要内容： 1. 什么是简谐振动？ 2. 简谐振动的特点？ 3. 用牛顿运动定理分析谐振子的运动规律。 4. 简谐振动的旋转矢量表述 5. 谐振动的能量 理学院 物理系 陈强 12.1.1 简谐振动 定义: . 特点: (1)等幅振动, (2)周期
2、振动 . x 是描述位置的物理量,如 y , z 或 等. m 研究简谐振动的意义: m xO 理学院 物理系 陈强 u 谐振子 1. 受力特点 机械振动的力学特点 线性恢复力 2. 动力学方程 运动微分方程（特征方程 ） 其中 为 固有角频率 3. 速度和加速度 Ok x l0x m 运动学方程（振动方程 ） 理学院 物理系 陈强 12.1.2 描述谐振动的特征量 1. 振幅 A. 2. 周期T 和频率 vv = 1/T (Hz) 3. 相位 (1) ( t + ) 是 t 时刻的相位. (2) 是 t =0 时刻的相位 初相. 相位的意义: v 相位确定了振动的状态. v 相相位每改变 2
3、 振动重复一次,相位 2 范围内变化,状态不重复. t x O A - A = 2 理学院 物理系 陈强 v 相位差 若 若 两振动步调相同,称同相.两振动步调相反 , 称反相. m2 x2 O k2 m1 k1 x1 x t o A1 A2 - A2 x1 x2 T - A1 x2 T x o A1 - A1 A2 - A2 x1 t 理学院 物理系 陈强 4. 振幅和初相位的确定 注意: 如何确定最后的 . 理学院 物理系 陈强 12.1.3 谐振动旋转矢量表示法 t + oxx t t = 0 v a 特点:直观方便. 理学院 物理系 陈强 12.1.4 谐振动的能量(以水平弹簧振子为例
4、) 1. 动能 2. 势能 3. 机械能 （简谐振动系统机械能守恒） E xOAA m xO 理学院 物理系 陈强 例 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距 离为12cm的两点A和B，历时2s，并且在A，B两点处具有 相同的速率；再经过2s后，质点又从另一方向通过B点. AB 解 O x 质点运动的周期和振幅.求 由题意可知，AB的中点为平衡位置，周期为 T = 42s = 8s 设平衡位置为坐标原点，则 设 t = 0 时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为 t = 1 时, 质点位于B点, 所以 理学院 物理系 陈强 12.2 简谐振动的实例分析 主要内容： 1. 单摆 2.
5、 复摆 3. 扭摆 4. 双原子分子内原子的振动 理学院 物理系 陈强 12.2.1 单摆 以小球为研究对象，作受力分析. 设 角沿逆时针方向为正. P 重力, T 绳的拉力. 沿切向方向的分量方程为 （小角度时） 令 结论:小角度摆动时，单摆的运动是谐振动. 周期和角频频率为为： （牛顿第二定律） 理学院 物理系 陈强 12.2.2 复摆（物理摆） 以物体为研究对象. 设 角沿逆时针方向为正 （刚体绕定轴转动定律） 小角度时 令 结论: 小角度摆动时，复摆的运动是谐振动. 周期和角频频率为为： 理学院 物理系 陈强 12.2.3 扭摆 以圆盘为研究对象 在 （扭转角）不太大时， （刚体绕定轴
6、转动定律） 令 结论:在扭转角不太大时，扭摆的运动是谐振动. 周期和角频频率为为： 金属丝丝 x y z （D为金属丝的扭转系数） 圆盘受到的力矩为 理学院 物理系 陈强 u 双原子分子 某些双原子分子中，原子间的相互作用力可以用为 （其中，r 为原子间的距离，a 和 b 均为正的常数） 证明原子在平衡位置附近的微振动是谐振动,并确定其周期. 证明: 平衡位置 设原子偏离平衡位置的位移为 （在平衡位处置幂级数展开） （对于微小振动，高阶小量可略去） 理学院 物理系 陈强 其中，为等效劲度系数. 结论: 原子在平衡位置附近的微振动是谐振动. 周期为为： 角频频率为为： 理学院 物理系 陈强 12
7、.3 谐振动的合成 主要内容： 1. 同方向同频率谐振动的合成 2. 同方向不同频率谐振动的合成 拍 3. 相互垂直谐振动的合成 理学院 物理系 陈强 12.3.1 同方向同频率谐振动的合成 1. 解析法 分振动 : 合振动 : 结论：合振动 x 仍是简谐振动 理学院 物理系 陈强 2. 旋转矢量法 分振动 合振动 结论：与解析法求得的结果一致，方法直观、简捷. 理学院 物理系 陈强 讨论: (1)若两分振动同相,即 2 1=2k (k=0,1,2,), (2)若两分振动反相,即 2 1=(2k+1) (k=0,1,2,), 当 A1=A2 时, A=0. 则 A=A1+A2 , 两分振动相互
8、加强， 则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱， 当 A1=A2 时 , A=2A1, 理学院 物理系 陈强 例 设有 n 个同方向、同频率、振幅 a 相同、初相差依次为一 常量的谐振动，它们的振动分别为 3. n 个同方向同频率谐振动的合成 求 合振动的振动方程. 解 n a C A R xO P 理学院 物理系 陈强 极大值 : 讨论: 极小值: n a C A R xO P 理学院 物理系 陈强 12.3.2 同方向不同频率谐振动的合成 拍 分振动 : 合振动 : 当 时, A 有最大值: 合振动的振幅 当 时，A有最小值: 结论：合振动 x 不再是简谐振动, 合振动振幅的频率为 理学
9、院 物理系 陈强 当 2 1 时 , 2 - 1 2 + 1 ，令 其中 随 t 缓变 随 t 快变 u 振幅相同不同频率的简谐振动的合成 合振动 : 分振动 : 结论：合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。 理学院 物理系 陈强 x x2 x1 t t t v 拍的现象 O O O 拍频 : 单位时间内合振动振幅强弱变化的次数 即: 理学院 物理系 陈强 12.3.3 两个相互垂直谐振动的合成 李萨如图 1. 两个同频率相互垂直的谐振动的合成 分振动 合运动 & 讨论 当 = 2 1= k (k为整数)时, 当 = ( 2k +1 ) /2 (k为整数)时, x y 理学院 物理系 陈强
10、= 0(第一象限) = /2 = = 3/2 (第二象限) (第三象限)(第四象限) 理学院 物理系 陈强 2. 两个不同频率、相互垂直的谐振动的合成 分振动 结论： (1)1、2 之比为整数时: 合成运动仍是周期运动, 轨迹是稳定的闭合曲线(李萨如图). (2)1、2 之比不为整数时: 合成运动为非周期运动, 运动的轨迹为永不闭合的. 理学院 物理系 陈强 : : 李萨如曲线 理学院 物理系 陈强 12.4 阻尼振动和受迫振动简介 主要内容： 1. 阻尼振动 2. 受迫振动 理学院 物理系 陈强 12.4.1 阻尼振动 阻尼力 振动的微分方程 式中，2=k/m , n = /(2 m) (阻
11、尼系数) 几种阻尼振动模式 v小阻尼v大阻尼v临界阻尼 O k x l0x m 理学院 物理系 陈强 2. 临界阻尼( n2 = 2 ) 1. 小阻尼 ( n2 2 ) 阻尼的应用 理学院 物理系 陈强 12.4.2 受迫振动 受力分析 弹性力 阻尼力 周期性驱动力 受迫振动的微分方程 l0x 其解为 理学院 物理系 陈强 受迫振动微分方程的稳态解为: 其中，振幅 A 及受迫振动与干扰力之间的相位差 分别为： 结论: 振幅 A 及受迫振动与干扰力之间的相位差 都 与起始条件无关. & 讨论: v 位移共振(振幅取极值) v 速度共振(速度振幅取极值) 理学院 物理系 陈强 1. 位移共振(振幅
12、取极值) （振幅共振曲线） 共振频率 : 共振振幅 : 2. 速度共振(速度振幅取极值) 共振频率 : 共振速度振幅 : （速度共振曲线） u 共振的应用和危害 理学院 物理系 陈强 塔科马海峡桥的倒塌 理学院 物理系 陈强 *12.5 二自由度线性振动简介 主要内容： 1. 简正频率 2. 耦合振子 3. 耦合摆 理学院 物理系 陈强 二自由度振动系统 耦合振子 两振子的运动微分方程为 (O1 、 O1 ) 为平衡位置 m1 k1 m2 k2 k O1 O2 x1 x2 x 设其特解为（1） （2） 由(1)、(2)两式决定的特解表示两摆以相同的频率 作 简谐振动的情况，振幅分别为A1、A2
13、. 理学院 物理系 陈强 将特解代入微分方程，可求出振幅比和频率 振幅有非零解的条件为 简正频率：由上式可求得2 的两个根21 、22 ，分 别称为第一和第二简正频率. 为了简化问题，设 则有 理学院 物理系 陈强 对应的简正频率和振幅比为 结论 (1) 二自由度的耦合双振子系统有两个简正频率，存在 有两种简正振动模式. (2) 第一种简正振动模式，两振子以相同的频率 1振动 时，振幅相等、相位相同，如图所示. m1 k0 m2 k0 k O1 O2 x x 理学院 物理系 陈强 (3)第二种简正振动模式，两振子以相同的频率 2 振动时 ，振幅相等、相位相反，如图所示。 m1 k0 m2 k0
14、 k O1 O2 x -x (4) 只有在一定条件下，耦合振子才作简正振动. (5) 一般情况下耦合振子的运动是两简谐振动的叠加，即 理学院 物理系 陈强 u 耦合摆 两摆的运动微分方程为 其特解为 （1） （2） 由(1)、(2)两式决定的特解表示两摆以相同的频率 作 简谐振动的情况，振幅分别为A1、A2. 理学院 物理系 陈强 将特解代入微分方程，可求出振幅比和频率： 1 、 2 分别为第一和第二简正频率 理学院 物理系 陈强 结论： (1) 当两摆以相同的频率 1振动时，振 幅相等、相位相同，如图所示. (2) 当两摆以相同的频率 2 振动时，振 幅相等、相位相反，如图所示. (3) 一
15、般情况下耦合摆的运动是两简谐振动的叠加，即 理学院 物理系 陈强 本章小结 1. 简谐振动方程 2. 简谐振动的相位 ( t + ) 是 相位，决定 t 时刻简谐振动的运动状态. 3. 简谐振动的运动微分方程 4. 由初始条件振幅和初相位 理学院 物理系 陈强 5. 弹簧振子的能量 动能： 势能： 总机械能： 平均能量： 6. 谐振动的旋转矢量表示 Ox 理学院 物理系 陈强 7. 简谐谐振动的合成 (1) 同方向同频率谐振动的合成 合振动仍为简谐振动，和振动的振幅取决于两个分 振动的振幅及相差，即 (2) 同方向不同频率谐振动的合成 当两个分振动的频率相差较小时，产生拍的现象，拍 频为 (3) 相互垂直的两个谐振动的合成 若两个分振动的频率相同，则合振动的轨迹一般为椭 圆；若两个分振动的频率为简单整数比，则合振动的 轨迹为李萨如图形. 理学院 物理系 陈强 8. 阻尼振动和受迫振动 (1) 阻尼振动 小阻尼 ( n2 2 )和临界阻尼( n2 = 2 )情况下，弹簧振子 的运动是非周期性的，振子随着时间逐渐返回平衡位 置。临界阻尼与大阻尼情
