误差分析和数据处理综述

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1、误差分析和数据处理 附录 误差分析和数据处理 被测量的真值和试验所得的给出值总存在一定 的差异，这就是测量误差。而误差的存在使我们 对客观事物的认识受到不同程度的歪曲，因此就 必须进行误差分析。 误差分析和数据处理是判断科学实验和科学 测试结果质量和水平的主要手段。 另一方面，一般原始的测试技术都是参差不齐 的，需运用数学方法加以精选、加工，以求获得可 靠、真正反映事物内在本质的结论，这就是要进行 数据处理。 附录 误差分析和数据处理 -1 误差的基本概念 测量误差：是指被测量的实测值与其真值的 差别。 （一）误差定义： 一、误差的定义和表示方法 其中真值在以下情况下被认为是已知的。 、绝对误

2、差 （二）表示方法 -1 误差的基本概念 （）相对真值 （）规定真值：由国际上公认的某些基准量。（ 如一米是光在真空中于1/299792458 秒时间内所到 之长度） （）理论真值：由理论公式计算所得结果； -1 误差的基本概念 相对误差 相对误差便于评价测量精度的高低。 -1 误差的基本概念 、引用误差 （又称基本误差，而仪表的基本误差应不超过所 允许的误差，允许误差可引用误差的形式表示， 且当允许误差去掉百分号、正负号后的数字被称 为仪表的准确度级，如 ） -1 误差的基本概念 （四）人为误差 （三）方法误差 （二）环境误差 （一）测量装置误差 二、误差的来源 -1 误差的基本概念 三、误

3、差的分类 在相同条件下，对同一对象进行多次测量， 有一种大小、符号都作随机性变化而无确定规律的 误差，称为随机误差。 （一）随机误差 -1 误差的基本概念 （三）粗大误差 在相同条件下，对同一对象进行多次测量， 有一种绝对值和符号不变，或按某一规律变化的 误差，称为系统误差。 （二）系统误差 -1 误差的基本概念 四、测试数据的精度 表示测量结果中随机误差大小的程度。反映 了测试数据相互之间的偏差。 （二）精密度 表示测量结果中系统误差大小的程度。反映 测试数据的平均值与被测量真值的偏差。 （一）准确度 -1 误差的基本概念 表示测量结果中系统误差和随机误差综合大小 的程度，反映了测量结果与被

4、测真值偏离的程度。 （三）精确度 -1 误差的基本概念 五、不确定度 B类分量：用其他方法估算出的近似的标准偏差。 A类分量：对一系统多次重复测量后，用统计方法计 算出的标准偏差。 根据国家计量局关于表达不确定度的建议 草案，把不确定度按估计其权值所用的方法不 同归并成两类： -1 误差的基本概念 总不确定度。 置信系数； 其中： 合成不确定度； 而后用方和根的方法合成A类分量和B类分量 ，合成后仍以标准偏差的形式表征，称为合成不 确定度。合成不确定度乘以一系数，从而得到总 不确定度，用下式表示： -1 误差的基本概念 -2 随机误差的性质与处理 （二）单峰性：绝对值得误差出现的概率大， 绝对

5、值大的出现的概率小。 （一）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概 率相等。 在工程应用中，大多数随机误差的分布具有 以下几个特点： 一、正态分布规律 以上规律的概率分布成为正态分布。 （四）抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差 的代数和趋近于零。 （三）有界性：在有限次的测量中，绝对值很大 的误差出现的概率近于零。 （二）单峰性：绝对值得误差出现的概率大， 绝对值大的出现的概率小。 （一）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概 率相等。 随机误差的分布的几个特点： -2 随机误差的性质与处理 二、正态分布线 为被测量的真值。 为单次测量结果。 为随机误差 为标准差或均方根差 其中 为误差出现

6、的概率密度 高斯于1795年提出了正态分布的随机误差值 与其出现的概率之间的函数关系式： -2 随机误差的性质与处理 测量值落在区间 内的概率为曲线在该 段的积分，有 将式绘制成曲线就是著名的高斯正态分布曲线 ，如图 -2 随机误差的性质与处理 三、随机误差的评价指标 用 表示剩余误差，而 （二）剩余误差 测量的目的是为了得到被测量的真值 ，但 每次都有随机误差（在不计粗大误差和系统误差 的情况下）。而通常把测量值的算术平均值 作 为被测量的近似真值。 （一）算术平均值 -2 随机误差的性质与处理 人们发现，标准差 可以比较好的表达正态分 布规律的分散性大小，在工程实际应用中， 用以 下算式估

7、算 （三）标准差 -2 随机误差的性质与处理 一般用算术平均值 作为真值 的近似值， 而用 表示算术平均值的标准差，用以表示 的 分散程度。有关系式： （四）算术平均值的标准差 -2 随机误差的性质与处理 显然置信区间取得宽，置信概率就大，反之则 小。 一般，当置信区间宽为 时，测量值落入区 间 内的概率为68.3%，也就是说，进行100 次测量，大约有68次的值是落在 的范围的。 （二）单次测量的极限误差 在一组等精度的测量值中，大小 为的测量值 落入指定区间 内的概率称为置信概率，而 该指定区间 称为置信区间。 （一）置信概率 四、置信概率和极限误差 -2 随机误差的性质与处理 当置信区间

8、宽为 时，对应概率为95.4% 当置信区间宽为 时，对应概率为99.7% 因此可认为绝对值大于 的误差几乎不可能 出现，所以通常又把 的误差称为单次测量误 差，用 表示。 算术平均值的标准差 其中： 算术平均值的极限误差 （三）算术平均值的概率误差 -2 随机误差的性质与处理 -3系统误差的发现和消除 系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的 因素造成的，一般说来这些因素是可以掌握的。 对待系统误差的基本措施就是设法发现并消除它 。 一、系统误差的分类 在测试过程中，误差的大小和符号是不变的。 （一）定值系统误差 按系统误差出现的特点及对测量结果的影响， 可分为定值系统误差和变值系统误差两类。

9、 -3系统误差的发现和消除 3、按复杂规律变化的系统误差： 2、周期性系统误差：误差的大小和符号呈周期性 变化。 1、累积性系统误差：在测试过程中，随着测量 时间的增长或测量数值的增大误差值也随它逐渐 增大或减小这样的误差，称累积性系统误差或线 形变化系统误差。 （二）变值系统误差 -3系统误差的发现和消除 二、系统误差的发现和消除 定值系统误差在测量中是固定不变的，设 其为，则测量值可表示为 （一）定值系统误差的发现和消除 系统误差的消除和修正，主要靠对测量技术等 的研究，以及对测量方法、测量装置的原理与调 整等的 仔细分析。 -3系统误差的发现和消除 其中： 为被测真值 为定值系统误差 为

10、第次测量的随机误差 为第次测量值。 定值系统误差在测量中是固定不变的，设 其为，则测量值可表示为 （一）定值系统误差的发现和消除 -3系统误差的发现和消除 所以真值 所以一组测量值的平均值为 在 适当大时， 趋近于零，则上式变为 -3系统误差的发现和消除 2、抵消法：设法使其在测量中一次为正，另一 次为负，这样在均值中就可以被消除。 1、预检法：对测试器具作预先检定。 定值系统误差的消除一般采用以下方法： 可见定值系统误差对剩余误差无影响，因此 对标准差 也无影响，也就是说在分布曲线上， 定值系统误差不改变误差分布曲线的形状，只是 使随机误差分布曲线的位置作一下平移。 另一方面： -3系统误差

11、的发现和消除 （二）变值系统误差的发现和消除 变值系统误差对每一个测量值的影响都不一样 ，因此，在均值中含有系统误差，且在剩余误差 中也含有系统误差。因此它不仅影响被测量的算 术平均值，而且也影响随机误差的分布规律，因 此必须发现并加以消除。常用方法有： -3系统误差的发现和消除 则可以认为没有显著的变值系统误差，这种方 法在 较小时不太可靠。 、剩余误差符号检测法：观察剩余误差正负的 个数，当满足 ， 、剩余误差观察法：将一组测量数据的剩余误 差依次排列起来，观察其有无规律，从而消除， 这种方法一般重复测量次数多于20次。 -3系统误差的发现和消除 -4 粗大误差的发现及剔除 当 时，此准则

12、就不适用了。 当 较小时，此准则的可靠性较差。 该依据应剔除，剔除后再重新算 。 时， 一、莱依达法则（ 准则） 一般剔除粗大误差有许多准则，以下简介几种： 把误差超过 的测量值视为含有粗大误差， 予以剔除，对优先次测量来说，即有： 注意：在剔除含有粗大误差的数据时，按照准则， 每次是应剔除数据中 最大的一个。 时， 对一组数据 ，若 二、格拉布斯准则 应予剔除，其中值根据测量次数 和置信概率 查表而得（见p163） -4 粗大误差的发现及剔除 -5误差合成 它可以按上式从测量结果中加以修正。 则总的定值系统误差为 测量中，若有个单项定值系统误差 ， （一）定值系统误差的合成 一、系统误差的合

13、成 即若有 次未定系统误差 ，且他们 互不相关，则总的未定系统误差的极限误差为 未定系统误差是指系统误差虽然没有被确切 掌握，但可估计出不致超过某一极限危险范围 的误差。 （二）未定系统误差的合成。 -5误差合成 二、随机误差的合成 设多项随机误差的标准差分别为 ， 且互不相关，则各随机误差综合作用的结果的标准 差为 或已知 个独立的极限误差 ， 且各项误差均服从正态分布，则总的极限随机误 差为 -5误差合成 三、系统误差与随机误差的合成 先修正掉正定系统误差，而后，测量结果总 的极限误差就是总的极限误差与总的极限随机误 差的方和根，即 设测量过程中同时存在 个单项已定系统误差 ，个单项未定系

14、统误差，个单项随机误差，它们 的极限误差分别是： -5误差合成 四、间接测量的误差合成 的正定系统误差为 ， 及未定系统误差和随机误差的极限值为 和 ，且当误差均服从正态分布时，则 有： 设间接测量 与 个直接测量量 的关系是： 的正定系统误差 为： -5误差合成 的极限未定系统误差为： 的极限随机误差为： 的正定系统误差修正后的总的合成误差为： -5误差合成 -测量数据处理及测量结果的表示 其中 为单次的测量值， 为按21式的经验估算值。 测量结果可表示为： 一、单次测量 二、多次测量 5、求单次测量的标准差； 4、由 判断是否有变值系统误差，设法消除； 3、求剩余误差 ； 2、求算术平均值

15、 ； 1、判断定值系统误差，并加以修正； 设对某量进行等精度的多次测量后得到数据 ，则： -测量数据处理及测量结果的表示 9、写出结果 8、求测量结果的总极限误差；（由21式给出） 7、求算术平均值的标准差及极限误差； 6、判断有无粗大误差，若有，则剔除并重复前 2，3，5步骤，直至无粗大误差为止； -测量数据处理及测量结果的表示 三、间接测量 多次时： 单次时： 2、计算间接测量量； 1、先按前述方法处理各直接测量量的数据，给出 各量的最佳值 ，以及总极限误差 ， 其中 为直接测量量，则应： 若间接被测量为 ，且有 -测量数据处理及测量结果的表示 4、给出结果： 按25式得： 3、给出间接测量量的总极限误差 -测量数据处理及测量结果的表示 -7一元线性回归 设两变量 之间有线性关系 用数学处理的方法得出两变量之间的关系，就 是工程上所说的拟合问题。若两变量间的关系是 线形关系，就称这种拟合为线性拟合或一元线性 回归。 （一）端值法： 一、回归方程的求法 去确定25式中的 和 。其方法有以下几种： 所谓线形拟合实际上就是通过一组数据 用数据中的两个端点值 代