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1、分段低次插值 n前面我们根据区间a,b上给出的节点做 插值多项式L_n(x)近似表示f (x)。一般总 以为L_n(x)的次数越高，逼近f (x)的精度 越好，但实际并非如此，次数越高，计 算量越大，也不一定收敛。因此高次插 值一般要慎用，实际上较多采用分段低 次插值。 分段线性插值 分段线性插值 分段线性插值 n缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在 分段三次Hermite插值 n上述分段线性插值曲线是折线，光滑性 差，如果交通工具用这样的外形，则势 必加大摩擦系数，增加阻力，因此用 hermite分段插值更好。 分段三次Hermite插值 分段三次Hermite插值算法 例题 例题
2、三次样条插值 数学里的样条( Spline )一词来源于它的直观几何 背景：绘图员或板金工人常用弹性木条或金属 条加压铁(构成样条!)固定在样点上，在其它地 方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为 样条曲线. 样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成， 在连接点击样点上要求二阶导数连续，从数学 上加以概括就得到数学样条这一概念。 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 一个实例 n相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较 nCubic Spline Interpolation Lagrange 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次
3、样条插值 三次样条插值 三次样条插值 例题 n例4.4.1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 求满足边界条件 x 0 0.150.300.450.60 f(x) 1 0.97800 0.91743 0.831600.73529 n解 做差商表(P111),由于是等距离节点, n由第二类边界条件得 n解方程得 n将Mi代入式4.4.14)得 由于 故 曲线拟和的最小二乘法 n插值法是用多项式近似的表示函数,并要 求在他们的某些点处的值相拟合.同样也 可以用级数的部分和作为函数的近似表 达式.无论用那种近似表达式,在实际应用 中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近 的讨论. 1 最佳平方逼近
4、n定义4.5.1 设 称 为函数 在区间a,b上的内积. 其中 为区间a,b上的权函数,且满足 下面两个条件: 容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概 念中四条基本性质. 内积的性质 函数的欧几里得范数 n定义4.5.2 设 称 为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数. 函数的欧几里得范数性质 线性相关的函数系 n定义4.5.3 设函数 , 如果存在一组不全为零的数 使 成立,则称函数系 是线性相关的, 否则称 是线性无关的. 线性相关的函数系的判定 n定理4.5.1 函数 在区间a,b上线性相 关的充分必要条件是Gramer行列式 n不难证明 在R上 线性无关. n定理4.5.1的等价说
5、法是:函数系 线性无关的充分必要条件是Gramer行列 式 . 最佳平方逼近 n定义4.5.4 设函数 及函数系 且线性无关. 记 为连续函数空Ca,b的子 空间,如果存在元素 满足 则称 为f(x)在 上的最佳平方逼近 函数.且 其中 是法方程 唯一的一组解. n令 则误差为 特例 n取 则法方程为 其中 例题 n例4.5.1 设 求f(x)在区间 0,1上的一次最佳平方逼近多项式. n解 设 由于 n故法方程为 解得 n平方误差为 2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法 n曲线拟合问题 对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加 节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大, 而节点少,多项式
6、的次数低,但误差精度不能保 证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小 二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲 线拟合问题. n在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数 据: ,求曲线 与实验数据误差在某种度量意义下最小. n设 是a,b上一组线性无关的连续 函数系,令 记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量标准,即 达到极小值,这里 是a,b上的权函数. 类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数 极值必要条件有 n用向量内积形式表示,上式可记 上式为求 的法方程组,其 矩阵的形式为 n其中 由于向量组 是线性无关, 故式(4.5.14)的系数行列式 n故式(4.5.1
7、4)存在唯一解 , 于是得到函数f(x)的最小二乘解 n其平方误差为 特例 例题 n例4.5.2 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差. 012345 00.20.40.60.81 1.0001.2211.4921.8222.2262.718 n解 由式(4.5.16)可得 n解方程组得 n所以拟合二次函数为 n平方误差为 n例4.5.3 地球温室效应问题 n下表统计了近100年内地球大气气温上升 的数据.试根据表中数据建立一数学模型即 拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温 何年会比1860年的平均温度高 年份N 1860年后地球 气温增加值 年份
8、N 1860年后地球气 温增加值 18800.0119400.10 18900.0219500.13 19000.0319600.18 19100.0419700.24 19200.0619800.32 19300.08 n解 为简化数据,从1880年起年份记N,其变 换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改 记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就 是将原气温增加值扩大100倍,根据新数 据绘制图4.5.1 (P119) n从图4.5.1可以看出,气温t与变换n大致服 从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n 满足指数函数关系 n为决定参数,将上式改写成 n
9、记 则有 n这是已知数据相应地变为如下表所示 n1234567891011 ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32 n由式(4.5.16),取n=1,m=10,并将上表已知数 据带入得 解方程组得: n相应的t 与 n 的指数型拟合曲线关系为 n就是所求地球温室效应的指数函数的数 学模型,以此进行预报,即已知t值求 n以地球气温比1860年上升 为例,即以 t=700代入上式可得: N(7)=2078(年) 3 矛盾方程组的最小二乘解 n设矛盾方程组 n这里mn,记 n则上式可简记为Ax=b. n矛盾方程组的最小二乘解x*是指满足 n引理 设 则B为半正定 对称方阵,当R(A)=n,则B是正定对称 方程.若A的各列线性无关,则 是非奇异方阵. n定理4.5.2 设 且各列向量线性无关, 则 (1)矛盾方程组(4.5.19)的法方程组 恒有解; (2)设x* 是法方程组 的解,则x* 是矛 盾方程组(4.5.19)的最小二乘解. n定理4.5.2指出:实验数据 的曲线拟合最小二乘法本质上就是矛盾方 程组 的最小二乘解.
