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1、 南京航空航天大学 南京航空航天大学 矩矩 阵阵 论论 历历 年年 试试 题题 整理者：整理者：王正华王正华 2007.1.28 2007.1.28 - 1 - 2005 年矩阵论试题年矩阵论试题 一 设 2615 115 126 A = （1）求A的特征多项式和A的全部特征值； （2）求A的行列式、不变因子，初等因子； （3）求A的最小多项式； （4）写出A的 Jordan 标准形 二（1）设 21 01 21 A = ，1）求 12 , F AAAA ； （2）设A为 n 阶矩阵，证明 2 1, max ij i j n aAn A 三（1） 111 111 112 A = ，作出A的满秩
2、分解并求出A+； （2）利用该矩阵判断如下方程组 123 123 123 1 1 21 xxx xxx xxx += += += ，是否相容？若相容求通解；若不相容，求极小最小二乘解 四 设V是数域P上全体 3 阶实对称矩阵作成的线性结构 （1）求V的维数，并写出一组基 （2）在V中定义变换 100100 ()011010 001011 T XX = ，证明T是线性变换，并求T在（1）中所取基下的 矩阵 五（1）设 20102 52 ,022 024220 t AtB = ，其中t是实数，t满足什么条件时AB成立？ （2）设,A B均为 Hermite 半正定矩阵，证明： 1若A0, 则AB相
3、似于半正定对角阵； 2若A0, 则()00tr ABB=； 3若()0,tr AB = 则 0AB = 南京航空航天大学矩阵论历年试题 - 2 - 2004 年矩阵论试题年矩阵论试题 一（20 分） 已知 A= 10 012 25 i i ，其中 i1 （1）求 12 , F AAAA （2）证明：A0 （3）设, nH cB =，证明 22F B= 二（20 分） 设A 1101 0110 1211 ，b 3 1 4 (1)作出A的满秩分解 (2) 计算A+ (3)利用广义逆矩阵方法判断线性方程组Axb 是否相容？若相容，求其通解，若不相容，求其极小最小二乘 解 三（20 分） 设A 110
4、 430 211 （1）求A的特征多项式和A的全部特征值 （2）求A的不变因子、初等因子和最小多项式 （3）写出A的 Jordan 标准形 （4）设A为 n 阶矩阵，证明：A非奇异的充要条件是存在常数项不为零的多项式( )f x，使( )f x0 四（20 分） （1）设A、B均为 Hermite 矩阵（n 阶） ，且A BB A，证明： （a）如果A0,且A B0 , 则B0 （b）如果A0, B0,且 33 AB，则AB （2）若A是 2 阶实正规矩阵，且i是A的一对共轭实特征值，证明：存在正交矩阵 Q，使得 Q AQ + = 五（20 分） 设实数域上线性空间 3 2 R 的子集 W 2
5、 2 ,( )0ARtr A = （1）W 是 2 2 R 的子空间 （2）给出 W 的变换 T（A）AA+，AW ，证明：T 是 W 上的线性变换 （3）求 Ker（T）及其维数 （4）求 W 的一组基和维数，并写出线性变换 T 在所取基下的矩阵 南京航空航天大学矩阵论历年试题 - 3 - 2003 年矩阵论试题年矩阵论试题 一 （20 分）设nR X表示实数域 R 上次数小于 n 的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按通常多项式的 加法和数与多项式的乘法） （1）求nR X的维数并写出nR X的一组基； （2）在nR X中定义线性变换 D：( ( )( ),( ) nD f xfxf x
6、R x=，求 D 在（1）中所取基下的矩阵表示， 并求 R（D）和 Ker（D） （3）证明 D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵 （4）在nR X中定义内积 1 1 ( , )( ) ( ),f gf x g x dx = ( ), ( )nf x g xR X,求出 3 R X的一组标准正交基 二 （20 分）设A 3615 125 125 , 三 （16 分） （1）设A 111 121 013 ，求 12 , F AAAA （2）设A为 n 阶矩阵，证明：( )1AB0，则ABA，且等号成立 当且仅当B0 （1）求A的特征多项式和A的全部特征值； （2）求A的不变因子，初等因子和
7、最小多项式； （3）写出A的 Jordan 标准形 （4）求lim k k A 南京航空航天大学矩阵论历年试题 - 4 - 2001 年矩阵论试题年矩阵论试题 一（20 分） （1）设A为 n 阶非奇异复矩阵，试述矩阵A的 QR 分解定理； （2）设 1101 0111 1010 A = （i）作出A的一个满秩分解 （ii）计算广义逆矩阵A+ 二（18 分） （1）设 210 123 032 A = ，求 12 , F AAAA ； （2）设A为 n 阶可逆矩阵，.是满足1I =的矩阵范数，证明 1 1 AA ， 21 An A 三（22 分）设 3117 9371 0048 0024 A =
8、 （1） 求A的特征多项式和A的全部特征值； （2） 求A的不变因子、初等因子和最小多项式； （3） 写出A的 Jordan 标准形； （4） 求lim k k A ； （5） 计算 A e 四（20 分） （1）设 622 250 207 A = ，证明A为正定矩阵； （2）设A，B均为 Hermite 矩阵，证明： （i） 如果A0, 则A B相似于对角矩阵； （ii） 如果A0, B0, 则A B的特征值均为正数； （iii） 如果A0, B0,且A BB A，则A B是 Hermite 正定矩阵 五（20 分）设V是实数域 R 上全部 3 阶实反对称矩阵作成的线性空间（按矩阵的加法和数
9、量乘法） （1） 求V的维数，并写出V的一组基； （2） 证明：若A是 3 阶实对称矩阵，且XV，则必有AXXAV+； （3） 作映射T如下： 011011 ()101101, 110110 T XXXXV =+ 证明：T是V上的线性变换； （4） 求T在（1）中所取基下的矩阵表示。 南京航空航天大学矩阵论历年试题 - 5 - 2000 年矩阵论试题年矩阵论试题 一 （1）试述奇异值定理； （2）试述A+的定义； （3） 11 1 111 131 A = ，求A的一个满秩分解，A+ 二 （1） 211 122 015 A = ，求 12 , F AAAA ； （2）求证 1 A F n A，
10、F A 2 ( )rank AA 三 033 186 21410 A = （1）求A的特征多项式，全部特征值； （2）求A的不变因子，初等因子； （3）求A的 Jordan 标准形 四 设V是全体 22 上三角阵的线性空间 （1）求V的一组基及维数； （2） 21 () 01 T XX = ，求证T是线性变换； （3）求T在（1）中的所取基下的矩阵 五 求证 （1）若0A ，B0,证明AB+A；若A0，B0，AB+A （2）若0A ，B0，则 1 0 H AP B P 成立，当且仅当 1 0 H BPA P （3）若0A ，则 1 2AAI +0 南京航空航天大学矩阵论历年试题 - 6 - 1
11、999 年矩阵论试题年矩阵论试题 一 （1）试述满秩分解的定义； （2）求 111 111 1102 A = 的一个满秩分解，并求A+； （3）利用广义逆判别方程组 123 123 123 1 1 21 xxx xxx xxx += = += 是否相容，若相容，求其通解；否则，求最小二乘解 二 （1）试述 12 , F AAAA 与的定义； （2） 210 ,001 010 n n ACA = ，求 12 , F AAAA 及 （3）求证 1 F A 2 n A, A 1 n A 2.为一范数，1A ,证明 1 B 1 A； （3）如果ABBA=，证明存在n阶酉矩阵U使得 H U AU与 H
12、U BU同时为对角矩阵 五 设 100 031 013 A = ，在线性空间 3 R中，定义实数( ,) 如下：( ,) T A， 3 ,R （1）证明( ,) 为, 的内积，从而 3 R在这个内积定义下构成一欧氏空间； （2）在上述欧氏空间中，判断向量 1 1 0 1 = 与 2 0 1 0 = 是否正交， 12 , 化成标准正交向量组 六 设,A B均为n阶Hermite矩阵，并且0A ，B0,如果()0tr AB =，证明0B = （1）求A的特征多项式，全部特征值； （2）写出IA 的行列式因子、不变因子及初等因子； （3）求A的最小多项式； （4）写出A的Jordan标准形； 南京航
13、空航天大学矩阵论历年试题 - 8 - 1994 年矩阵论试题年矩阵论试题 一 设() ijn n Aa =和() ijn n Bb =均为Hermite矩阵 （1）试述A为正定矩阵（半正定矩阵）的定义； （2）试述AB的定义； （3） 311121 120,211 102111 AB = ，问AB是否成立？ 二 （1）试述向量范数 12 ,XXX 和的定义 （2）试述矩阵范数 12 , F AAAA 及和定义； 设 111 000 111 A = ，求 12 , F AAAA 及； （3）设() ijn n Aa =，证明 2 1,1, 1,1, maxmax ijij inin jnjn aAna = = LL LL 三 设 332 010 865 A = 四 （1）设 111 111 112 A = ，作出A的一个满秩分解并求出A+； （2）判定线性方程组 123 123 123 1 1 21 xxx xxx xxx += = += 是否相容？若相容时，求出其通解和极小范数解；若不相容，求 出其最小二乘解和极小最小二乘解； 五 设V是全体 33 实对称矩阵作成的实数域上的线性空间 （1）求V的维数，并写出V的一组； （2）在V中定义变换A， 100100 ()011010
