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1、1 第二章第二章 试验数据的误差分析试验数据的误差分析 2 1 1 真值与平均值真值与平均值 1 1 真值真值 指在某一时刻和某一状态下，某量的客观指在某一时刻和某一状态下，某量的客观 值或实际值。真值一般是未知的，但从相对值或实际值。真值一般是未知的，但从相对 意义上说，真值又是已知的。意义上说，真值又是已知的。 3 1 1 真值与平均值真值与平均值 2 2 平均值平均值: : 算术平均值算术平均值, ,加权平均值加权平均值, , 对数平均值对数平均值, ,几何平均值几何平均值, ,调和平均值调和平均值. . （1 1）算术平均值）算术平均值 式中：式中： 各次观测值；各次观测值；nn观察的
2、次数。观察的次数。 凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明： 在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。 4 1 1 真值与平均值真值与平均值 2 2 平均值平均值: : 算术平均值算术平均值, ,加权平均值加权平均值, , 对数平均值对数平均值, ,几何平均值几何平均值, ,调和平均值调和平均值. . （2 2）加权平均值加权平均值 5 1 1 真值与平均值真值与平均值 2 2 平均值平均值: : 算术平均值算术平均值, ,加权平均值加权平均值, , 对数
3、平均值对数平均值, ,几何平均值几何平均值, ,调和平均值调和平均值. . （3 3）对数平均值对数平均值 6 1 1 真值与平均值真值与平均值 2 2 平均值平均值: : 算术平均值算术平均值, ,加权平均值加权平均值, , 对数平均值对数平均值, ,几何平均值几何平均值, ,调和平均值调和平均值. . （4 4）几何平均值几何平均值 7 1 1 真值与平均值真值与平均值 2 2 平均值平均值: : 算术平均值算术平均值, ,加权平均值加权平均值, , 对数平均值对数平均值, ,几何平均值几何平均值, ,调和平均值调和平均值. . （5 5）调和调和平均值平均值 8 2 2 误差的基本概念误
4、差的基本概念 1 1 绝对误差绝对误差 指试验值与真值之差称为绝对误差。 9 2 2 误差的基本概念误差的基本概念 2 2 相对误差相对误差 指绝对误差与真值之比称为相对误差。 相对误差常用百分数或千分数表示。 因此不同物理量的相对误差可以互相比较， 相对误差与被测之量的大小及绝对误差的 数值都有关系。 10 2 2 误差的基本概念误差的基本概念 3 3 算术误差算术误差 11 2 2 误差的基本概念误差的基本概念 4 4 标准误差标准误差 也称为均方根误差、标准偏差，或简称标准差。标准误差对 一组测量中的较大误差或较小误差感觉比较灵敏，成为表示 精确度的较好方法。 通常来说有两种定义方式：
5、标准误差不是一个具体的误差，标准误差的大小只说明在一定条件下等精度 测量集合所属的任一次观察值对其算术平均值的分散程度，如果标准误差的值小 ，说明该测量集合中相应小的误差就占优势，任一次观测值对其算术平均值的分 散度就小，测量的可靠性就大。 12 3 3 试验数据误差的来源及分类试验数据误差的来源及分类 1 1 随机误差随机误差 也称为偶然误差和不定误差，指在一定试验条件下，以不可预知的规律 变化着的误差，多次实验值的绝对误差时正时负， 绝对误差的绝对值时大时 小。随机误差的出现一波具有统计学规律，大多服从正态分布，即绝对值小 的误差比绝对值大的出现的机会多，而且绝对值相等的正、负误差出现的次
6、 数近似相等，因此当试验次数足够多时，由于正负误差的相互抵消，误差的 平均值趋向于零。所以多次试验值的平均值的随机误差比单个试验值的随机 误差小，可以通过增加试验次数减小随机误差。 随机误差是由于试验过程中一系列偶然因素造成的，例如气温的微小变 动、仪器的轻微振动等。这些偶然因素是实验者无法严格控制的，所以随机 误差一般是不可完全避免的。 13 3 3 试验数据误差的来源及分类试验数据误差的来源及分类 2 2 系统误差系统误差 又称恒定误差，由某些固定不变的因素引起的。在相同条件下进 行多次测量，其误差数值的大小和正负保持恒定，或随条件改变按一定 的规律变化。 产生系统误差的原因有：1）仪器刻
7、度不准，砝码未经校正等；2 ）试剂不纯，质量不符合要求；3）周围环境的改变如外界温度、压力、 湿度的变化等；4）个人的习惯与偏向如读取数据常偏高或偏低，记录某 一信号的时间总是滞后，判定滴定终点的颜色程度各人不同等等因素所 引起的误差。可以用准确度一词来表征系统误差的大小，系统误差越小 ，准确度越高，反之亦然。 由于系统误差是测量误差的重要组成部分，消除和估计系统误差 对于提高测量准确度就十分重要。一般系统误差是有规律的。其产生的 原因也往往是可知或找出原因后可以清除掉。至于不能消除的系统误差 ，我们应设法确定或估计出来。 14 3 3 试验数据误差的来源及分类试验数据误差的来源及分类 3 3
8、 过失误差过失误差 又称粗大误差，与实际明显不符的误差，主要 是由于实验人员粗心大意所致，如读错，测错，记错 等都会带来过失误差。含有粗大误差的测量值称为坏 值，应在整理数据时依据常用的准则加以剔除。 综上所述，我们可以认为系统误差和过失误差 总是可以设法避免的，而偶然误差是不可避免的，因 此最好的实验结果应该只含有偶然误差。 15 4 4 试验数据的精密度试验数据的精密度, ,正确度和准确度正确度和准确度 1 1 精密度精密度 可以称衡量某些物理量几次测量之间 的一致性，即重复性。它可以反映偶然误 差大小的影响程度。 16 4 4 试验数据的精密度试验数据的精密度, ,正确度和准确度正确度和
9、准确度 2 2 正确度正确度 指在规定条件下，测量中所有系统误差 的综合，它可以反映系统误差大小的影响程 度。 17 4 4 试验数据的精密度试验数据的精密度, ,正确度和准确度正确度和准确度 3 3 准确度准确度 指测量结果与真值偏离的程度。它可以反映 系统误差和随机误差综合大小的影响程度。 18 4 4 试验数据的精密度试验数据的精密度, ,正确度和准确度正确度和准确度 区别区别 为说明它们间的区别，往往用打靶来作比喻。如下图所示，A的 系统误差小而偶然误差大，即正确度高而精密度低；B的系统误差大 而偶然误差小，即正确度低而精密度高；C的系统误差和偶然误差都 小，表示精确度（准确度）高。当
10、然实验测量中没有像靶心那样明确 的真值，而是设法去测定这个未知的真值。 对于实验测量来说，精密度高，正确度不一定高。正确度高，精 密度也不一定高。但精确度（准确度）高，必然是精密度与正确度都 高。 19 5 5 试验数据误差的统计检验试验数据误差的统计检验 1 1 随机误差的检验：卡方检验；随机误差的检验：卡方检验；F F检验检验 。 2 2 系统误差的检验：系统误差的检验：t t检验；秩和检验检验；秩和检验 。 3 3 异常值的检验：异常值的检验：拉拉依达依达( (PautaPauta) )检验；检验； 格拉布斯格拉布斯(Grubbs) (Grubbs) 检验；狄克逊检验；狄克逊(Dixon) (Dixon) 检验等。检验等。 20 6 6 有效数字和试验结果的表示有效数字和试验结果的表示 1 1 有效数字的运算 2 2 有效数字的修约规则GB/T 8170-2008 数值修约规则与极限数值的表示和判定 21 7 7 误差的传递误差的传递 1 1 误差传递基本公式误差传递基本公式 2 2 常用函数的误差传递公式常用函数的误差传递公式 3 3 误差传递公式的应用误差传递公式的应用 22 思考题思考题1 1 P41 P41 习题习题9 9 P41 P41 习题习题1111
