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1、第第2章 数理统计的基本概念与抽样分布章 数理统计的基本概念与抽样分布 数理统计学是数学的一个重要分支。它研数理统计学是数学的一个重要分支。它研 究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的 数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直 至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 它的内容大致包括两大类：一类是试验设计与它的内容大致包括两大类：一类是试验设计与 抽样调查设计，即如何有效地收集数据；一类抽样调查设计，即如何有效地收集数据；一类 是统计推断，即如何分析数据作出推论。本课是统
2、计推断，即如何分析数据作出推论。本课 程主要讨论统计推断的理论与方法。程主要讨论统计推断的理论与方法。 总体总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标 的全体,它是一个随机变量(或多维随机变 量)，记为. 总体中所包含的个体的个数称为总体 的容量。容量为有限的称为有限总体，容 量为无限的称为无限总体。 2.1 基本概念基本概念 个体个体 组成总体的每一个元素 样本样本 从总体中抽取从总体中抽取n个个体个个体称称为为 容容量量为为n的样本的样本.),( 21n L用用表示。表示。 i 第第i次抽取的个体可看作随机变量次抽取的个体可看作随机变量,用用 表示表示. 若若总
3、体 的样本总体 的样本满足满足: (1) 与有与有相同相同的分的分布布; (2) 相互独立相互独立; ),( 21n L则称则称为为简单简单随机样本随机样本. 简单简单随机样本随机样本 n , 21 L n , 21 L ),( 21n L 为样本的一次观测值为样本的一次观测值. ),( 21n xxxL 的一次观测值，为记 ii x并称并称 以以后后如如不加特别说明不加特别说明，所提，所提到到的样本的样本都都是是简单随机样本简单随机样本 设总体的分布律为设总体的分布律为, 则样本则样本 = = n i iinn xPxxP 1 11 )(),(L 若总体的密度函数为若总体的密度函数为 p(
4、x),则样本则样本 = = n i in xpxxxp 1 21 )(),(L 的联合密度函数为的联合密度函数为 的分布律为 ),( 21n L L, 2 , 1,=kpxP kk 例例设某批产品共有设某批产品共有N 个个,其中的次品数其中的次品数 为为M, 其次品率为其次品率为NMp/= 若若 p 是未知的是未知的,则可用抽样方法来估计它则可用抽样方法来估计它. = 所取的产品不是次品 所取的产品是次品 , 0 , 1 服从参数为服从参数为p 的的0-1分布分布,可用如下表示可用如下表示 方法方法:1 , 0,)1 ()( 1 = xppxP xx 从这批产品中任取一个产品从这批产品中任取一
5、个产品,用随机变量用随机变量 来描述它是否是次品来描述它是否是次品: 设有放回地抽取一个容量为设有放回地抽取一个容量为 n 的样本的样本 的联合分布列为的联合分布列为 。或其中10 )1 (),( 11 11 = = = i xnx nn x ppxxP n i i n i i L ),( 21n xxxL 其样本值为其样本值为 ),( 21n L ),( 21n L 设设是取自总体的一个样是取自总体的一个样 本本, ),( 21n yyygL ),( 21n xxxgL 未知参数未知参数,则称随机则称随机 为统计量统计量. ),( 21n xxxL若若 是一个样本值是一个样本值, 称称 的的
6、一个观测值一个观测值. 为统计量为统计量 定义定义 为一实值函数为一实值函数,且不含有且不含有 变量变量 统计量统计量 ),( 21n L ),( 21n gL ),( 21n gL 例例是未知参数是未知参数, 22 , ),(N 但但() = n i i 1 2 2 1 不是统计量不是统计量.若若 , 已知已知,则为统计量则为统计量 是一样本是一样本, () = = n i i n i i n S n 1 22 * 1 1 1 , 1 是统计量是统计量, 其中其中 ),( 2 N i 则则),( 21n L 常用的统计量常用的统计量 = = n i i n 1 1 )1 ( 为为样本均值样本
7、均值 () = = n i i n S 1 22 * 1 1 )2( 为为修正样本方差修正样本方差 () = = n i i n S 1 2 * 1 1 为为修正样本标修正样本标准准差差 设设 是来自总体的容量是来自总体的容量 为为 n 的样本的样本,称统计量称统计量 ),( 21n L = = n i k ik n M 1 1 ) 3(为为样本的样本的k 阶原点矩阶原点矩 () = = n i k ik n M 1 1 )4(为为样本的样本的k 阶阶中中心矩心矩 () = = = = = n i i n S n n S MS M 1 22 *2 2 2 1 11 则 记 称样本方差。称样本方
8、差。 (5) 顺序统计量与极差顺序统计量与极差 设设),( 21n L为样本为样本, ),( 21n xxxL 从从小到大重小到大重 )()2()1(n xxxL 新排新排列列，并并记记为为.定义随机变量定义随机变量 nkx k , 2 , 1, )( L= 统计量统计量 )()2()1( , n L 为为顺序统计量顺序统计量. )(k 总是总是以以 其样本值为其样本值为 。现将现将),( 21n xxxL 为其观测值为其观测值,则称则称 其中其中, max,min 1 )( 1 )1(k nk nk nk = 称称 )1 ()( = nn D 为极差极差 定理定理1 , 1 )( 22 n
9、n SE = 2 2 * )(=SE 证证 （1 ） ( ) = = = n i i n i i E nn EE 11 11 ( ) 2 1 n D=, =E 设设),( 21n L 是来自总体的一个是来自总体的一个 则, 2 =DE 样本样本， （1） （2） ( ) n D nn DD n i i n i i 2 1 2 1 11 = = = ( )( ) 2 1 2 1 ED n E n i i + = += 2222 1 n 2 1 n n = = 2 2 * 1 )(S n n ESE 22 1 = =ES n n )2( 1 1 2 11 2 = += n i n i i n i
10、i n )2( 1 22 1 2 nn n n i i += = )( 1 2 1 2 n n n i i = = 故 = += n i ii n i i nn 1 2 2 1 2 )2( 1 )( 1 （2） = 2 S = 2 ES 例例3从一批机器零件毛坯中随机地抽取 10件, 测得其重量为(单位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199 求这组样本值的均值、修正方差、二阶 原点矩与二阶中心矩. 解解),( 1021 xxxL令 )199,200,235,196,228 ,215,240,185,243,210(= 43
11、.433)( 9 1 10 1 2 2 * = =i i xxs = = 10 1 2 2 5 .47522 10 1 i i xm 0 .390)( 10 1 10 9 10 1 2 2 * 2 = =i i xxsm 19.217 )199200235196228 215240185243230( 10 1 = + +=x 则则 例例4 在总体中,随机抽取一个容量 为36的样本,求样本均值落在50.8到53.8 之间的概率. )3 . 6,52( 2 N 解解 )36/3 .6,52( 2 N 故 = 6/ 3 . 6 528 .50 6/ 3 . 6 528 .53 )8.538.50( =i i i i PP PP
