无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法讲解

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1、第四章 无限长单位脉冲响应（ IIR）滤波器的设计方法 c c 有用 无用 c 1 00 0 4.1 滤波器的基本原理 DF是一种具有频率选择性的离散线性系统。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列 通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。 数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现的过程。 4.1.1滤波器的分类 滤波器的种类很多，分类方法也不同。 1.从功能上分：低、带、高、带阻。 2.从实现方法上分： FIR、IIR 连续系统与离散系统的各种幅频响应的对比 0 0 0 0 0 0 0 0 s/2 s/2 s/2 ss/2 s s s (b) (a) 0 |H(ej)| ss/2

2、 wc |H(ejw)|X(ejw)| w wc 有用 无用 |Y(ejw)| w wc 数字滤波器的理想幅频特性 LPDF HPDF BPDF BSDF . . . . 3）数字滤波器的实现。包括选择运算结构, 选择运 算和存储的字长等(第六章)。 数字滤波器的设计步骤P141： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。（滤除、 保留哪些频率成分，保留部分允许多大失真等） 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这 个性能要求，即求 h(n) 的表达式。(第四五章) 4.1.2 可实现滤波器的特性 (低通为例 ） p 1) 通带边界频率 p 2) 阻带边界频率s 3) 通带带波

3、动动Ap 4) 最小阻带带衰减 As s 0 wswp 2 1-1 1 Ap As w |H(ejw)| 高通滤波器的性能指标 fs ws fp wp 1 Ap As f w |H(ejw)|或|H(f)| 通带截止频率：fp(wp) 通带衰减：Ap 阻带截止频率：fp(ws) 阻带衰减：As 带通滤波器的性能指标 fs1 ws1 fp1 wp1 1 Ap As f w |H(ejw)|或|H(f)| 通带截止频率：上限截止 频率fp2(wp2)，下限截止频 率fp1(wp1)。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：上限截止 频率fs2(ws2)，下限截止频 率fs1(ws1)。 阻带衰减：As f

4、p2 wp2 fs2 ws2 带阻滤波器的性能指标 fs1 ws1 fp1 wp1 1 Ap As f w |H(ejw)|或|H(f)| 通带截止频率：上限截止 频率fp2(wp2)，下限截止频 率fp1(wp1)。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：上限截止 频率fs2(ws2)，下限截止频 率fs1(ws1)。 阻带衰减：As fp2 wp2 fs2 ws2 2）最优化设计方法 首先确定一种最优准则，使设计出的实际频率 响应的幅度特性 与所要求的理想频率响 应 在该准则下误差最小。 IIR滤波器设计方法P143： 1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满 足预定指标的数字滤波器。 00

5、|H(ej)| ss/2 由模拟滤波器设计数字滤波器步骤 1、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波 器指标 2、由模拟滤波器指标设计模拟滤波器 (4.2) 3、映射实现：从模拟滤波器再转换为数字 滤波器(4.3) 4.2 模拟滤波器设计方法（低通 ） 模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范 设计模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理 想滤波器特性。 因果系统中,如果系统的冲激响应ha(t) 是实函数 不难看出 若sp是Ha(s)的极点，则-sp是Ha(-s)的极点 若so是Ha(s)的零点，则-so是Ha(-s)的零点 思考：如果已知振幅平方函数 如何求系统函数 ？ 定义振幅平方函数 问题：由A(

6、2) 求Ha(S) 先把2换成-S2即A(2)变为A(-S2) = |Ha(S)|2= Ha(S) Ha(-S) 为了保证Ha(s)的稳定性,再把A(-S2)在S左半平面的极点作为 Ha(s)的极点，零点可选用任一半。 (4.5) N为滤波器阶数， c ：边界频率或3dB截止频率 其幅度平方函数： 三种模拟低通滤波器的设计（4.2.1，4.2.2，4.2.3）： 4.2.1 巴特沃思 (Butterworth）滤波器 图4.4 巴特沃思滤波器幅度平方函数 理想低通特性 N增加， 通带和 阻带的 近似性 越好， 过渡带 越陡 3dB衰减点 特点：具有通带内最大平坦的 振幅特性，且随f，幅频特 性

7、单调。 振幅平方函数的极点： 令分母为零，得 可见，Butterworth滤波器 的振幅平方函数有2N 个极点，它们均匀对称地分布在|S|=c的圆周上。 图4.5 三阶A(-S2)的极点分布 例：为N=3阶振幅平方函数的极点分布，如图 令 ，得归一化的三阶BF： 如果要还原的话，则有 低阶巴特沃思滤波器H(s) (归一化) 有效通带截止频率 与通带波动有关的参量， 大 ，波纹大。 0 1 S 平面 Z 平面 思考：单位圆 是由虚轴的哪部分映射而来的？ S平面上每一条宽为 的横带部分， 都将重叠地映射到Z平面的整个平面上。 每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内， 每一横带的右半部分映射到Z平

8、面单位圆以外， 虚轴映射到单位圆上，虚轴上每一段都对应于绕单位圆一周。 脉冲响应不变法内容提要 1、基本思想 2、由Ha(s)求H(z)的公式 3、s平面到z平面的映射关系 4、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应 的关系 5、H(j)与H(ej)的关系 6、适用性 脉冲响应不变法内容提要 1、基本思想 2、由Ha(s)求H(z)的公式 3、s平面到z平面的映射关系 4、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应 的关系 5、H(j)与H(ej)的关系 6、适用性 H(j)与H(ej)的关系 从第二章2.2“采样”的角度分析 从s平面到z平面的映射关系的角度分析 “采样”的角度分析H(j)与H(ej)的关系

9、 解释“修正” S平面到z平面映射 的角度分析H(j) 与H(ej)的关系 数字滤波器的频响并不是 简单的重现模拟滤波器的 频响，而是模拟滤波器频 响的周期延拓。 只有： 这时数字滤波器的频响 才能不失真地重现模拟 滤波器的频响。 P158 例 : 将一个具有如下系统函数 的模拟滤波器数字化。 解： 图4.11 不同采样频率下的幅频响应与模拟幅频响应的比较 脉冲响应不变法内容提要 1、基本思想 2、由Ha(s)求H(z)的公式 3、s平面到z平面的映射关系 4、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应 的关系 5、H(j)与H(ej)的关系 6、适用性 高通和带阻滤波器, 不宜采用脉冲响应不变法。 小

10、结：脉冲响应不变法 1、基本思想 2、由Ha(s)求H(z)的公式 3、s平面到z平面的映射关系 4、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应 的关系 5、H(j)与H(ej)的关系 6、适用性 4.3.2双线性变换法内容提要 1、基本思想 2、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应 的关系 3、由Ha(s)求H(z)的公式 4、 s平面到z平面的映射关系 5、H(j)与H(ej)的关系 6、适用性 7、预畸变 双线性变换法内容提要 1、基本思想 2、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应 的关系 3、由Ha(s)求H(z)的公式 4、 s平面到z平面的映射关系 5、H(j)与H(ej)的关系 6、适用性 7、预

11、畸变 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这 是从S平面到Z平面的标准变换zesT的多值对应关系导 致的，为了克服这一缺点，设想变换分为两步 s平面s1平面z平面 图4.12 双线性变换法的映射关系 S1平面Z平面S平面 双线性变换法内容提要 1、基本思想 2、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应 的关系 3、由Ha(s)求H(z)的公式 4、 s平面到z平面的映射关系 5、H(j)与H(ej)的关系 6、适用性 7、预畸变 S1平面Z平面S平面 一一对应 ? 思考：如何把s平面的j压缩到s1平面的j1 双线性变换法内容提要 1、基本思想 2、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应 的关系 3

12、、由Ha(s)求H(z)的公式 4、 s平面到z平面的映射关系 5、H(j)与H(ej)的关系 6、适用性 7、预畸变 s平面s1平面z平面 通常取C=2/T, 再将 S1 平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令 计算H(Z) 置换过程: 例如： T0.1 s, S平面与Z平面的单值映射关系 ： 考虑z = ej, 的映射关系满足要求了吗？ 时 双线性变换法内容提要 1、基本思想 2、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应 的关系 3、由Ha(s)求H(z)的公式 4、 s平面到z平面的映射关系 5、H(j)与H(ej)的关系 6、适用性 7、预畸变 和为非线性关系 零频率附近，接近于 线性关系 图

13、4.13双线性变换的频率关系P160 双线性变换法的优点: S平 面与Z平面是单值的一一对应关系 与成非线性关系 双线性变换法的缺点: 不会产生混叠现象； 与成非线性关系，导致： a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有 畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系 上发生畸变)。 例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系，但通 过双线性变换后，就不可能得到数字微分器。 b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为 非线性相位。 双线性变换法内容提要 1、基本思想 2、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应 的关系 3、由Ha(s)求H(z)的公式 4、

14、s平面到z平面的映射关系 5、H(j)与H(ej)的关系 6、适用性 7、预畸变 大多数滤波器都具有分段常数的频响特 性，如低通、高通、带通和带阻等，通过 双线性变换后，其幅频特性仍保持分段常 数的特性。 各个分段的临界频率点发生了非线性变 化，即畸变。这种频率点的畸变可以通过 预畸来加以校正。 双线性变换法内容提要 1、基本思想 2、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应 的关系 3、由Ha(s)求H(z)的公式 4、 s平面到z平面的映射关系 5、H(j)与H(ej)的关系 6、适用性 7、预畸变 图4.14 双线性变换时频率的预畸 预畸变： 将模拟滤波器的临界 频率事先加以畸变， 然后通过双线

15、性变换 正好映射到所需要的 频率上。 预畸变 ： 预畸的实现方法： （1）按照给定参数求出相应的数字频率 （2）将数字频率代入非线性关系式： 得到 AF 的频率参数。 注意：预畸不能在整个频率段消除非线性畸变，只能消除 滤波器在特征频率点的畸变 小结：双线性变换法 1、基本思想 2、模拟滤波器对应的与数字滤波器对应 的关系 3、由Ha(s)求H(z)的公式 4、 s平面到z平面的映射关系 5、H(j)与H(ej)的关系 6、适用性 7、预畸变 4.3要点 低通、高通、带通和带阻DF的幅频特性 滤波器的技术指标 由AF设计IIR DF的步骤 S平面到z平面变换的两条基本要求及两种基 本方法 脉冲响应不变法六点 双线性变换法七点 4.4 从模拟滤波器低通原型到各种 数字滤波器的频率变换 （原型变换） 模拟归一化 低通原型 模拟低通、 高通、带通 、带阻 数字低通、 高通、带通 、带阻 模拟-模拟 频带变换 数字化 双线性变换法或 脉冲响应不变法 模拟数字频带变换 4.4.1 低通变换 数字参数-模拟参数-Ha(s)-数字H(z) 例题： 设采样周期 ,设计一个三阶巴特 沃思LP滤波器,其3dB截止频率fc=1kHz。