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1、2 0 1 6 年 第 7 期 中 学 数 学 月 刊 椭圆标准方程的教学设计与反思 万 国 全万 国 全（ 江苏省如皋市教育局教研室 226500) ;；sr 作者简介：万国全，江苏如皋人，1982年 7 月毕业于扬州师 丨 范学院（ 今扬州大学） ， 先后在如皋市丁堰中学和如皋市教育局教 |1 1 学研究室工作.主持的研究项目2013年获江苏省教学成果特等 , | 奖， 2014年被评为江苏省高中数学特级教师.近年来， 先后在省 级以上刊物发表文章四十余篇， 其中多篇文章被中国人民大学书 报资料中心全文转载. 1 1 基本情况 1 1. 1 授课对象1 授课对象 省级四星级高中高_ 学生，
2、 基础较好， 有一定 的自学能力、 推理能力及合作学习能力. 1.2 教材分析1.2 教材分析 苏教版 普通高中课程标准实验教科书数 学 必 修 2 教材中， 第 2 章为 平面解析几何初 步 ， 通过对直线和圆的学习， 让学生初步了解解 析几何的基本思想方法， 及求曲线方程的步骤;在 选修2-1教材中， 第 2 章为 圆锥曲线和方程 ， 通 过对椭圆、 双曲线和拋物线的学习， 让学生进一步 理解解析几何的基本思想方法.椭圆是三个圆锥 曲线中的代表， 通过对椭圆的研究， 让学生学会研 究圆锥曲线的方法， 从而顺利进行双曲线和拋物 线的学习 教学目标 （ 1)通过类比直线和圆的学习研 究过程，
3、培养学生运用解析法和类比法解决有关 问题的能力； （ 2)掌握椭圆的标准方程的特点， 会 判断焦点的位置， 确 定 a ， ， c 的值； （ 3)会用定 义法、 待定系数法求椭圆的标准方程. 教学重点 椭圆标准方程的掌握和求法. 教学难点 椭圆标准方程的推导. 2 教学过程 2.1 导入新课题2.1 导入新课题 提问： 我们已经全面研究了直线和圆， 回想一 下是怎样研究它们的？让学生们自主得出或在教 师引导下得出研究方法:首先研究它们的方程， 然 后由方程来研究它们的性质， 这就是解析几何的 基本思想方法， 即用代数运算来研究几何问题. 提问： 上节课我们已经研究了椭圆的定义， 这 节课我们
4、将继续研究椭圆， 你认为应从哪些方面 来研究？让学生得出： 研究椭圆的方程、 再由方程 研究椭圆的性质. 揭示本课课题:椭圆的方程. 2 2.2 探究新知识2 探究新知识 问题1 问题1 椭圆的定义是什么？你能从中发现 哪些已知量？为了方便求得椭圆方程， 如何处理 这些已知量？ 引导学生得出： 两定点F 1，R间的距离为已 知量， 设为2c 椭圆上任一点到两定点F 1， R的 距离之和为已知量， 设为2a (2a 2c). 问题2 问题2 求椭圆方程的步骤是什么？（ 面对 新问题如何寻找解决的方法？） 让学生或引导学生类比圆的标准方程的求法 步骤(建系、 设点、 列式、 化简、 证明）得出求椭
5、圆 方程的步骤. 问题3 问题3 坐标系可以随便建立吗？联想已学 习的曲线方程， 你认为如何建立坐标系可使所求 曲线的方程较为简单？ 引导学生通过类比联想圆或拋物线在不同坐 标中的方程， 得出“ 将对称轴、 对称中心作为坐标 轴、 坐标原点得出的曲线方程较为简单”的结论， 从而建立如下平面直角坐标系： 以 F 1， F 2 所在的 直线为X 轴， 线段F 1F 2 的垂直平分线为轴. 问题4 问题4 设 P (X ， W 为椭圆上任一点， 请列 出方程式. 让 学 生 得 出 槡（x + c )2 + 2 + 槡（X c)2 + 2 = 2a. 问题5 问题5 如何化简？ 让学生通过合作探究出
6、化简的思路： 若式中 10 中 学 数 学 月 刊2 0 1 6 年 第 7 期 只含有一个根式， 则通过移项将式子的一边变成 只含有一个根式， 然后两边平方去掉根号;若式中 含有两个根式， 则通过移项将式子的一边变成只 含有一个根式， 然后两边平方变成式中只含有一 个根式的情况. 化 简 得 出 2 c2)x 2 + a22 = a2 (a2 c2) 后， 教师说明： 为了追求方程形式的简洁美， 令 a2 2 2 狓 狔狓 狔 2= 62( 0)， 方程可简化成狓2 + 2 = 1 (“ a2犫 2 犫 0).证明以上方程为所求方程， 焦点坐标是 (c， 0)和（， 0). 问题6 问题6
7、若 以 F n F 2 所在 的直线为狔轴， 线 段 FiR的垂 直平分线为狓轴， 建立平面直角 坐标系（ 图 1)， 你能猜出此时的 方程形式吗？ 学生比较下面两式的特点： 焦 点 在 狓 轴 上 时 ， 列 式 槡(狓+ c)2 +狔2 十 槡（ 狓一c)2 +狔2 = 2a ; 焦点在狔轴上时， 列式 槡（ 狔十c)2十狓2 十槡(狔一 c)2十狓2 =2汉.可立艮口 狔 2 狓 2 得出所求方程为狔+ 7 2 = 1 方程的另一边 为 1 焦点位置的确定： 由分母大的决定.若狓2 项 的分母大， 则其焦点就在狓轴上； 若狔2 项的分母 大， 则其焦点就在狔轴上. 字母的意义： 大分母对
8、应着a2， a 是椭圆定义 中长轴的一半； 小分母对应着犫2， 其 中 a2 = 犫 2 + c2c 为焦距的一半. 2 2.4 运用新知识4 运用新知识 练习1 完成下列填空：1)已知椭圆的标准 9 9 狓狓2 狔狔2 方程为j + 了 = 1， 则 a2 = 9 ， 犫 2= 4 ， 焦 点 在 狓 轴 ， 焦点坐标为(一槡， 0) 和(槡L 0); 9 9 狓 狔 (2)已知椭圆的标准方程为j + 1二1， 则 a2二 12 ， 犫 2 = 3 ， 焦点在 狔 轴， 焦点坐标为 (0， 一 3)和（ 0， 3) ;(3) 已知椭圆的标准方程为 2狓 2 + 狔 2 = 1 ， 则 a2
9、= 1 ， 犫 2 =， 焦点在 狔轴， 焦点坐标为(0,一槡 和 (0,槡 ;() 已知椭圆的标准方程为狓2 + 2狔 2 = 4，则 a2 = 4 ， 犫 2 = 2 ， 焦点在 狓 轴， 焦点坐标为 (一槡2， 0)和(槡2， 0). 练习2 求适合下列条件的椭圆的标准方 9 9 狓 狔 程： （ 1)a =4,犫 =3,焦点在狓轴上； （ 答案： + j 16 9 =1)(2)犫= 1 ， c= 槡 可， 焦点在狔轴上.（ 答案:狓2 + 狔 2 6 = 1) 例 1 求焦点为只1(一2,0)， 只2(2, 0)， 且经 过点p ( ， 一 3 ) 的椭圆的标准方程（ 请用两种 方法完
10、成） 让学生板演参考解答： 方法1 由已知可知，c = 2,2a+ P F 2 2 槡 0,所以a = 槡 0,犫 2 =a 2 c2 = 6， 所求方程 狓 2 狔 2 为 I0 + 6Z 1. 方法2 由已知可设椭圆方程为 9 9 狓 2 , 狔 2 = 1因为c =2,所以a2 = 犫 2 + 4解 得 a 2=10,犫2 = 6,所求方程为 9 9 狓 2丨狔 2 1 0 + 6 = 1 问题8 问题8 求椭圆的标准方程要注意什么？ 让学生对照两种解法， 通过独立思考、 合作学 习后得出结论： （ 1)先定位： 确定焦点的位置， 选 择方程的形式.（ 2)后定量： 求 出 a 和犫的值
11、， 方 法： 定义法和待定系数法. 2 2.5 课堂教学小结5 课堂教学小结 问题9 问题9 通过本课学习你有何收获？你能构 建有关椭圆方程内容的结构图吗？ 让学生独立思考、 合作讨论得出： (1)解析几何的思想方法： 即先研究曲线的 方程， 再利用方程研究曲线的性质;类比的思维方 2 0 1 6 年 第 7 期 中 学 数 学 月 刊 11 法： 通过类比旧知识和旧问题寻找解决新问题的 方法.（ 2)椭圆标准方程的相关知识.（ 3)求椭圆 方程的方法. 有关椭圆方程内容的结构图（ 如图2). 图 2 2.6 板书设计2.6 板书设计 2 2 狓 狔 椭圆的标准方程狓2 + = 1 ( a0)
12、， 焦 犪 犫 9 9 狔 乙 狓2 点坐标是(一一C， 0)和（， 0) ;-2 + + y y= =1( a犫 犪 2犫 2 0)， 焦点坐标是(0，一 一 c)和（0， c). .犪 2二二犫 2十十c2， 犪 为定义中长轴长的一半. . 求椭圆的标准方程： 先定位（ 确定焦点的位 置， 选择方程的形式） ， 后定量（ 求出犪和犫的值） ， 方法：定义法和待定系数法. . 3 回顾与反思 3.1 设计思路3.1 设计思路 让学生成为知识的发现者、 问题的解决者， 不 仅有利于学生掌握知识、 培养能力， 而且有利于激 发学生的学习兴趣. .本课的设计思路是：通过回顾 直线和圆的学习研究过程
13、， 让学生自然而然地提 出本节课的研究课题， 找到求解椭圆方程的步骤 和方法， 自主生成新知识， 从而消除学生对数学知 识发现的神秘感， 培养学生的创新精神， 发展学生 智力； 通过从不同角度选择例习题， 让学生自主解 答， 以便学生掌握知识要点和解题方法； 通过采用 合作学习的方式， 让学生在独立思考的基础上讨论 交流， 发挥集体的智慧解决难点问题， 避免教师一 言堂，突出学生的主体地位，优化课堂教学生态. . 3.2 教学反思3.2 教学反思 本课的教学设计具有以下特点： (1)注重解几研究思路的教学 解析几何研究的内容涉及直线、 圆、 椭圆、 双 曲线、拋物线等. .研究每一曲线的思路均
14、为先研究 曲线的方程， 再由方程研究曲线的性质， 即由数研 究形. .在本节课的教学中，教师让学生先回顾必修 2 中直线和圆的学习研究过程， 总结归纳研究思 路，然后猜想研究椭圆的思路. .这样的教学将不同 曲线的研究思路归一， 既让学生自然而然地提出 本课的教学课题， 主动探究新知识， 又有利于学生 把握椭圆的教学内容， 还有利于学生学习研究双 曲线和拋物线的相关内容. ( ) 实施“ 问题导向”的教学 此处的“ 问题导向”是指教师用问题来明晰 学生思考的方向， 让学生在教师的引导下方便地 找到解决问题的方法， 从而主动建构新知识、 解决 新问题， 培养学生的创新精神和分析问题、 解决问 题
15、的能力.本课教学设计中， 通过问题1 的引导， 让学生巩固文字语言表达的数学问题的解决方 法:需设出一些量， 将文字语言转化成符号语言； 通过问题2 和问题3 的引导， 让学生学会如何面对 新问题， 调整自己的思维方向， 运用联想旧知识、 类 比旧问题来寻找解决新问题的突破口， 从而通过联 想类比圆、 拋物线的有关内容得到求椭圆方程的步 骤和建立坐标系的方法； 通过问题7 的引导， 让学 生主动寻找相近知识的异同点， 牢固掌握焦点在 不同坐标轴上的椭圆标准方程的特征等. (3)突出学生的主体地位 学生是学习的主人， 课堂是学生活动的舞台. 课堂上要摒弃教师一讲到底， 学生被动接受、 参与 程度
16、低下的状况， 要留给学生足够的活动时空， 让 学生充分自主探究、 合作交流、 主动展示， 以突出 学生的主体地位.本节课通过三种方式最大限度 地减少了教师的灌输， 让学生充分地活动： 一是设 计 9 个系列问题， 引导学生主动探究新知识、 理解 新知识、 解决新问题； 二是采用合作学习的方式， 发挥学生集体的智慧解决难点问题（ 化简式子 槡(狓+ c)2 +狔2 十槡(狓一 c)2 +狔2 = 2a、 和重点 问题(掌握椭圆标准方程的特征、 求椭圆方程的方 法）三是采用尝试教学法， 先让学生尝试解决例 习题， 后师生评价点拨， 充分发挥了学生的主观能 动性， 增强了教学的针对性. ( ) 构建学习内容的结构图形 在一般的课堂小结中教师会提问： 学了本节 课你有什么收获？然后教师让学生总结归纳， 教 师罗列要点.而这样的要点往往是零碎的， 没能联 成线结成网， 学生难以掌握.在本节课的教学中， 教师让学生构建
