《2017-2018学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.2 离散型随机变量的方差 新人教a版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.2 离散型随机变量的方差 新人教a版选修2-3（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2 离散型随机变量的方差 1.理解离散型随机变量的方差以及标准差的意义,会根据分布列 求方差和标准差. 2.掌握方差的性质,两点分布、二项分布的方差的求解公式,会利 用公式求它们的方差. 12 1.离散型随机变量的方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值 的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程 度越小. (3)D(aX+b)=a2D(X). 12 知识拓展离散型随机变量的分布列、均值和方差都是从整体上 描述随机变量的.离散型随机变量的分布列反映了随机变量取各个 值的可能性的大小,均值则反映了随机变量取值的平
2、均水平.在实 际问题中仅靠均值还不能完善地说明随机变量的特征,还必须研究 变量取值的集中与分散状况,即要研究其偏离平均值的离散程度, 这就需要求出方差. 12 【做一做1-1】 已知的分布列为 则D()等于( ) A.0.7 B.0.61 C.-0.3D.0 解析:E()=-10.5+00.3+10.2=-0.3,则D()=(- 1+0.3)20.5+(0+0.3)20.3+(1+0.3)20.2=0.245+0.027+0.338=0.61. 答案:B 【做一做1-2】 若随机变量的方差D()=1,则D(2+1)的值为( ) A.2B.3C.4D.5 解析:D(2+1)=4D()=4. 答案
3、:C 12 【做一做1-3】 已知随机变量X的分布列如下表所示,则X的方差 为 . 解析:由条件知,x=0.5. E(X)=10.4+30.1+50.5=3.2, 所以D(X)=(1-3.2)20.4+(3-3.2)20.1+(5-3.2)20.5=3.56. 答案:3.56 12 2.两点分布、二项分布的方差 (1)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p). (2)若XB(n,p),则D(X)=np(1-p). 求离散型随机变量的方差的步骤是什么 剖析求离散型随机变量的方差常分为以下三步:列出随机变量 的分布列;求出随机变量的均值;求出随机变量的方差. 【示例】 编号为1,2,3的三位学生
4、随意入座编号为1,2,3的三个座 位,每位学生坐一个座位,设学生编号与其所坐座位编号相同的学 生的个数是X,求D(X). 题型一题型二题型三题型四 【例1】 袋中有20个大小、形状、质地相同的球,其中标记0的 有10个,标记n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.表示所取球 的标号. (1)求的分布列、均值和方差; (2)若=a+b,E()=1,D()=11,试求a,b的值. 分析(1)根据题意,由古典概型概率公式求出分布列,再利用均值 、方差的公式求解. (2)运用E()=aE()+b,D()=a2D()求a,b. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 反思求离散型
5、随机变量的均值或方差的关键是列分布列,而列分 布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果.同时还要 能正确求出每一个结果出现的概率. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练1】 袋中有大小、形状、质地相同的3个球,编号分 别为1,2,3.从袋中不放回地每次取出1个球,若取到的球的编号为奇 数,则取球停止.用X表示所有被取到的球的编号之和,则X的方差为 . 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 解:由题意,得0.1+a+2a+0.1+0.2=1,0.1+0.2+0.4+0.1+b=1,解得 a=0.2,b=0.2. 则XA,XB的分布列分别为 题型一题型二题型三题型四 先比较它
6、们的均值: E(XA)=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125, E(XB)=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2=125, 所以,它们的均值相同,再比较它们的方差: D(XA)=(110-125)20.1+(120-125)20.2+(125-125)20.4+(130- 125)20.1+(135-125)20.2=50, D(XB)=(100-125)20.1+(115-125)20.2+(125-125)20.4+(130- 125)20.1+(145-125)20.2=165. 因为D(XA)E(),说明在一次射击
7、中,甲的平均得分比乙高,但 D()D(),说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平 都不够全面,各有优势与劣势. 题型一题型二题型三题型四 【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根 据市场分析,X1和X2的分布列分别为 (1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资项目A 和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2); (2)将x(0x100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示 投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求 f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取得最小值. 题型一题型二题型三题型四
8、 分析本题已知随机变量X1,X2的分布列,从而可以求出Y1,Y2的分布 列,再利用求方差的公式和性质解决即可. 解:(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为 E(Y1)=50.8+100.2=6, D(Y1)=(5-6)20.8+(10-6)20.2=4; E(Y2)=20.2+80.5+120.3=8, D(Y2)=(2-8)20.2+(8-8)20.5+(12-8)20.3=12. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 反思解均值与方差的综合问题时需要注意: (1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一 般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列; (
9、2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立 事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计 算; (3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一 些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分 布可直接利用对应公式求解. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练3】 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制 了日销售量的频率分布直方图,如图. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互 独立. (1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且 另1天的日销售量低于50个的概率; (2)用X表示在未来3天里日销售量不
10、低于100个的天数,求随机变 量X的分布列,均值E(X)及方差D(X). 题型一题型二题型三题型四 分析(1)先由频率分布直方图计算出日销售量不低于100和日销 售量低于50的概率.再由3天中连续2天日销售量不低于100,可分为 第1,2天或第2,3天日销售量不低于100两种情况,从而由独立事件概 率公式求值. (2)由题意知随机变量X服从二项分布,则可列出分布列及求出均 值、方差. 解:(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售 量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不 低于100个且另一天销售量低于50个”. 因此P(A1)=(0.006+
11、0.004+0.002)50=0.6, P(A2)=0.00350=0.15, P(B)=0.60.60.152=0.108. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 易错点:对方差性质掌握不准确致错 【例4】 已知随机变量X的分布列为 求E(X),D(X),D(-2X-3). 错解:E(X)=00.2+10.2+2a+30.2+40.1=1.2+2a, D(X)=0-(1.2+2a)20.2+1-(1.2+2a)20.2+2-(1.2+2a)2a+3- (1.2+2a)20.2+4- (1.2+2a)20.1=(1.2+2a)20.2+(0.2+2a)20.2+(0.8-2a)2
12、a+(1.8- 2a)20.2+(2.8-2a)20.1,D(-2X-3)=-2D(X). 错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械 地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误. 题型一题型二题型三题型四 正解:0.2+0.2+a+0.2+0.1=1, a=0.3. E(X)=00.2+10.2+20.3+30.2+40.1=1.8. D(X)=(0-1.8)20.2+(1-1.8)20.2+(2-1.8)20.3+(3-1.8)20.2+(4- 1.8)20.1=1.56. D(-2X-3)=4D(X)=6.24. 反思在求均值、方差时,要注意对随机变量分布列的性质及均值 、方差性质的应用.
