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1、个性化学案与三角形有关的线段和角（1）学案适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域全国-人教版课时时长（分钟）120知识点1. 三角形的概念2. 三角形中的主要线段3. 三角形的面积4. 三角形的稳定性5. 三角形的重心6. 三角形的三边关系定理及推论7. 三角形的内角和定理8. 三角形的外角性质9. 共边三角形面积的计算学习目标1. 了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边或角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；2. 会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心3. 掌握三角形内角和定理及推论；4. 按要求解决三角形的边、角的计算问题5. 能用三角形的内心
2、、外心的知识解决简单问题； 学习重点1. 三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；2. 通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和；学习难点三角形的三边关系的应用及三角形内角和定理的综合应用学习过程一、复习预习1.过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；（1）其中以AB为一边可以画出 个三角形；（2）其中以C为顶点可以画出 个三角形【答案】（1）如图，以AB为一边的三角形有ABC、ABD、ABE共3个；（2）如图，以点C为顶点的三角形有ABC、BEC、BCD、ACE、ACD、CDE共6个【解析】考查了三角形的定义，以及网格结构的知识，根据网格结构作出图形是解题的关键二、
3、知识讲解1.三角形的分类：2.三角形的高、中线、角平分线（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心.（2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.（3）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。3.三角形的内角与外角（1）三角形的内角： 定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180. 三角形内角和定理的作用：在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第
4、三个角的度数；已知三角形三个内角的关系，可求出其内角度数；求一个三角形中各角之间的关系。（2）三角形的外角 定义：三角形一边与另一边延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形外角和为360。 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 4三角形的三边关系（1）三边关系性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第
5、三边长的取值范围。考点/易错点1关于三角形的高的注意事项：（1）三角形的高线是一条线段；（2）锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，它们的交点是直角的顶点，另一条在三角形的内部。考点/易错点2关于三角形的中线的注意事项：（1）三角形的中线是一条线段；（2）三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形；（3）三角形三条中线交于一点，这一点叫做三角形的重心.考点/易错点3关于三角形的角平分线的注意事项：（1）三角形的角平分线是一条线段；（2）
6、三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫做三角形的内心.考点/易错点4三角形的外角特点：（1）外角的顶点是三角形的一个顶点；（2）外角的一条边是三角形的一边；（3）外角的另一条边是三角形某条边的延长线. 考点/易错点5三角形三边关系注意：这里的“两边”指的是任意的两边. 对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用。三、例题精析【例题1】【题干】原三角形如图，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角
7、形可被分成7个三角形；以此类推，原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成 个三角形【例题2】【题干】ABC中，ADBC，AE平分BAC交BC于点E（1）B=30，C=70，求EAD的大小（2）若BC，则2EAD与CB是否相等？若相等，请说明理由【例题3】【题干】如图，AD为ABC的中线，BE为ABD的中线（1）ABE=15，BAD=40，求BED的度数；（2）在BED中作BD边上的高，垂足为F；（3）若ABC面积为40，BD=5，求BDE中BD边上的高。【例题4】【题干】手工课上，小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星
8、就变形了于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（）A1个B2个C3个D4个四、课堂运用【基础】1. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（） A3个B4个C5个D6个2. 如图，在正方形ABCD中，BD=2，DCE是正方形ABCD的外角，P是DCE的角平分线CF上任意一点，则PBD的面积等于（）A1B1.5C2D2.53. 六边形钢架ABCDEF，由6条钢管铰接而成，如图所示，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接使之不能
9、活动，方法很多，请至少画出三种方法（只需画图，不必写作法）4. 不一定在三角形内部的线段是（）A三角形的角平分线B三角形的中线C三角形的高D三角形的中位线5. 在ABC中，已知ABC=60，ACB=50，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点求ABE、ACF和BHC的度数【巩固】1. 如图，在三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（2，4）和（6，2），求三角形AOB的面积 2. （2012房山区一模）任意四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，把AOB、AOD、COD、BOC的面积分别记作S1、S2、S3、S4，则下列各式成立的是（）AS1+S3=S2+S4BS3S2=S4
10、S1CS1S4=S2S3DS1S3=S2S43. 在ABC中，A=m，ABC和ACD的平分线交于点A1，得A1；A1BC和A1CD的平分线交于点A2，得A2；A2012BC和A2012CD的平分线交于点A2013，则A2013= 度【拔高】1. （1）如图1所示，已知ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形： ，理由是 。（2）如图2所示，已知：平行四边形AABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形AABC的面积平分，平分平行四边形AABC的方法很多，一般过 画直线总能将平行四边形AABC的面积平分（3）如图3所示，已知：梯形ABCA中，AABC，D为BC中点，
11、请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（ADBC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短请你画出相应的图形说明方案设计的理由2. 如图1，在平面直角坐标系中，OA=7，OC=18，将点C先向上平移7个单位，再向左平移4个单位，得到点B（1）写出点B的坐标；（2）如图2，若点P从点C出发，以2个单位长度/秒的速度沿CO方向移动，同时点Q从点O出发以1个单位长度/秒的速度沿OA方向移动，设移动的时间为t秒（0t7）试求出四边形BQOP的面积；若记ABQ的面积为S
12、1，PBC的面积记为S2，当S1S2时，求t的取值范围课程小结1. 确定三角形的个数2. 三角形的角平分线、中线和高线的性质3. 三角形的面积的应用4. 三角形的稳定性5. 三角形的重心课后作业【基础】1. 已知BD是ABC的一条中线，ABD与BCD的周长分别为24，17，则ABBC的长是 2. 如图，由6条钢管铰接而成的六边形是不稳定的，请你再用三条钢管连接使之稳固（方法很多，请提供四种不同连接方法）3. 如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（）A2B3C4D54. 三角形
13、的重心是三角形的（）A三条中线的交点B三条角平分线的交点C三边垂直平分线的交点D三条高所在直线的交点5. ABC的面积为60，点0是重心，连接BG并延长交AC于D，连接GA，则GAB的面积为（）A40B30C20D10【巩固】1. 已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），AON=30，当A=时，AOP为直角三角形；当A满足 时，AOP为钝角三角形2. 要判断ABC的面积是DBC的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是（）A3次以上B3次C2次D1次3. 如图，已知ABC的面积为1cm2，如果AD=2AC，BF=3BA，CE=4CB，求DEF的面积【拔高】1. 解答下列问题（1）如图，ABC中，ABC=50，ACB=70，D为边BC上一点（D与B、C不重合），连接AD，ADB的平分线所在直线分别交直线AB、AC于点E、F求证：2AEDCAD=170；（2）若ABC=ACB=n，且D为射线CB上一点，（1）中其他条件不变，请直接写出AED与CAD的数量关系（用
