控制系统稳定性.

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1、学生经典部分回顾及MATLAB实践 题目 1、控制系统的校正及综合设计（概念）， 2、定常线性系统的相位超前校正： 3、 SIMULINK的离散及混合系统的创建， 4、 SIMULINK的分析工具 第4章 控制系统稳定性 对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究 ，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。 A. M. Lyapunov于1892年出版专著运动系统稳定性的一般 问题，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的 几个柱石之一。 本章的主要内容为 1. 引言 2. 李亚普诺夫意义下稳定性

2、的定义 3. 李亚普诺夫第二法 5. 线性定常离散系统的稳定性 4. 线性连续系统的稳定性 6. 非线性系统的稳定性分析 4.1 引言 李亚普诺夫将稳定性问题的研究归纳为两种方法。 第一种方法是求出线性化以后的常微分方程的解，从而分析原 系统的稳定性。 第二种方法不需要求解微分方程的解，而能够提供系统稳定性 的信息。 对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别 重要。李亚普诺夫第二法又称为直接法。 这种方法是基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性来研 究系统稳定性的。以下通过一个例子来说明。 例4-1 一个弹簧质量阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如 下微分方程描述。 令 （1）

3、 选取状态变量 则系统的状态方程为 （2） 在任意时刻，系统的总能量 （3） 显然，当 时 ， 而当 时 而总能量随时间的变化率为 可见，只有在 时， 。在其他各处均有 ，这 表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。 Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。 平衡状态 一般地，系统状态方程为 ，其初始状态 为 。系统的状态轨线 是随时间而变化的。当且仅当 （当 tt0 ）,总有f(xe,t)=0,则称 为系统平衡。 如果不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 ， 因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。 e x 4.2 李亚普诺夫意义下稳定性的定义 4.2.1 稳

4、定的定义 则 非线性时变系统 （4） （6） （5） 定义 对于任意给定的实数 ，都对应存在实数 ，使 满足 的任意初始状态 出发的轨线 有 （对所有 t t0） 成立，则称 为Lyapunov意义下是稳定的。 表示求欧几里德范数。 （即：表示空间距离） Lyapunov意 义下稳定 渐进稳定渐进稳定 4.2.2 渐近稳定 如果系统的平衡状态 是稳定的。 从平衡状态的某个充分小的领域内出发 的状态轨线 ，当 时，收敛于 ，则称 为渐近稳定。 更精密的叙述如下(李亚晡若夫意义下的稳定，一致稳定，大范围李亚晡若夫意义下的稳定，一致稳定，大范围 一致稳定一致稳定) 如果系统的平衡状态 ，对于 ，存在

5、 和 ，当 时，从 出发的 ，都有 并且 充分大时， 就充分小。则称 为Lyapunov意义下 渐近稳定。当 与 、 无关时 ，则称 为一致渐近稳定。 大范围渐进稳定 如果 是整个状态空间中任一点，并且都有 则为大范围渐近稳定或称为Lyapunov意义下全局渐近稳定。 当稳定性与 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。 4.2.3 大范围渐进稳定 如果 是整个状态空间中任一点，并且都有 则为大范围渐近稳定或称为Lyapunov意义下全局渐近稳定。 当稳定性与 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。 不稳定 4.2.4 不稳定 对于任意的实数 ，存在一个实数 ，不论 取的多么小，在满足不 等式 的所有初

6、始状态中，至少存在一个初始状 态 ，由此出发的轨线 ，满足 称 为Lyapunov意义下不稳定 4.3 李亚普诺夫第二法 定义 如果标量函数 ，并且当 时， ；仅当 时， ；则称 为正定的。除了 以外，还有 状态使 ，称 为半正定的。 0 定义 如果标量函数 ，并且当 时， ；仅当 时， ；则称 为负定的。除了 以外，还有 状态使 ，称 为半负定的。 0 （7） 定理4-1 设系统状态方程为 在平衡状态 的某邻域内，标量函数 具有连续一阶偏导数 ，并且满足： 1） 为正定； 2） 为负定。 则 为一致渐近稳定的。 如果 ， ，则 是大范围一致渐近稳定的。 例4-2 系统的状态方程如下，判别系统

7、稳定性。 解 而 将状态方程代入上式，化简后得 选取Lyapunov函数， 可见， 是负定的，即满足 因此， 是一致渐进稳定的。 当 ，有 ，故系统 是一致大范围渐进稳定的。 )( 2121 222 2 1 )( 2 1 xxxxV+=x 显然是正定的，即满足 定理4-2 设系统状态方程为 在平衡状态 的某邻域内，标量函数 具有连续一阶偏导 数，并且满足： 1） 为正定； 2） 为半负定；3）除了 平衡状态外， 还有 的点，但是不会在整条状态轨线上有 则 为一致渐近稳定的。 如果 ， ，则 是大范围一致渐近稳定的。 （注：本定理是将定理4-1的条件稍微放宽了一点） 例4-3 系统的状态方程为

8、其中， a 为大于零的实数。判别系统的稳定性。 解 系统的平衡状态为 选取Lyapunov函数： 显然它是正定的，即满足 而 将状态方程代入上式，化简后得 可见，当 和任意的 时，有 ，而 和任意 时， 。又因为 ，只要 变化 就不为零，因此 在整条状态轨线上不会有 。 因此， 是一致渐进稳定的。 当 ，有 ，故系统 是一致大范围渐进稳定的。 定理4-3 设系统状态方程为 在平衡状态 的某邻域内，标量函数 具有连续一阶偏导 数，并且满足： 1） 为正定； 2） 为半负定； 则 为一致稳定的。 如果 ， ，则 是大范围一致稳定的。 （注：本定理只是比定理4-2少了第3个条件，不能保证 渐近稳定，

9、只能保证一致稳定。） 例4-4 系统的状态方程为 其中， k 为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。 解 系统的平衡状态为 选取Lyapunov函数： 显然它是正定的，即满足 而 由定理4-3可知， 为Lyapunov意义下一致稳定。 定理4-4 设系统状态方程为 在 的某邻域内，标量函数 具有连续一阶偏导数， 并且满足： 1） 为正定； 2） 为正定或半正定； 则 为不稳定的。 例4-5 系统的状态方程为 分析系统平衡状态的稳定性。 解 系统的平衡状态为 选取Lyapunov函数： 显然它是正定的，即满足 而 由定理4-4可知， 是不稳定的。 应该指出：到目前为止，人类还没有找到构造Ly

10、apunov函数的 一般方法。因为Lyapunov第二法给出的结果是系统稳定性的充分 条件。因此，对于某个系统来说，找不到合适的Lyapunov函数， 既不能说系统稳定，也不能说系统不稳定，只能说无法提供有关该 系统稳定性的信息（即：inconclusive 没有得出结论）。 4.4 线性连续系统的稳定性 对线性时变系统，其相应的齐次状态方程为 由第2章介绍的方法求出其解为 由此可判别齐次以及非齐次系统的稳定性，如果收敛则都稳定； 如果发散，则都不稳定。 首先介绍矩阵正定性的定义：对于方阵 当它的所有主子式均大于零时，则Q是正定 的。即： 对线性定常系统 ，可以用Lyapunov第二法。 如果

11、方阵Q 是正定的，则Q 就是负定的。负定的矩阵主子式 负正相间。 Lyapunov函数 为状态变量 的二次型函数，即 如果P 为 维正定的对称常数矩阵，则 为正定的。 令 ，其中Q 为正定实数矩阵，且满足 如果给定Q阵，能够推出P 为正定的，则系统在 为稳定的。并 且线性定常系统为稳定，就一定是大范围一致渐近稳定。 （注：线性定常系统，可以判断A的特征值是否全部具 有负实部，既可以判别其稳定性。） 例4-6 线性定常系统的状态方程为 判别系统的稳定性。 解 系统的平衡状态为 为简单起见，可以令Q 阵为单位矩阵I。 解得有 可见， P 为正定的矩阵，故 为大范围一致渐近稳定的。 4.5 线性定常

12、离散系统的稳定性 线性定常离散系统的状态方程为 （8） 系统的平衡状态为 假设G 为 维非奇异常数阵， 是唯一的平衡状态。 选取Lyapunov函数 （9） 式中，P 为 正定的对称常数矩阵，因此 是正定的 。 的差分为 若要在 处渐近稳定，要求 为负定的。所以 其中Q 为正定。 给定一个正定对称常数阵Q ，求P 阵，并验证其正定性。 （10） ()kV x 例4-7 线性定常离散系统的状态方程如下，试判别其稳定性。 解 系统的平衡状态为 为简单起见，可以令Q 阵为单位矩阵I。 解得 P 的各阶主子式均大于零，即 可见， P 为正定的矩阵，故 为大范围一致渐近稳定的。 学生经典部分回顾及MAT

13、LAB实践 题目 1、MATLAB可视化功能内核句柄图形 体系及对象属性的获取和设置 2、【第二章线性控制系统的运动分析】的 MATLAB实践 4、【第1章 线性控制系统的状态空间描述 】的MATLAB实践 小结 1、控制系统在平衡状态的李亚晡若夫意义下的稳定， 一致稳定，大范围一致稳定(见第10帧) 2、李亚晡若夫（广义能量）函数的正定性及负定性（ 第12帧） 3、线性定常系统中的应用： Lyapunov函数 为状态变量 的二次型函数，即 令 ，其中Q 为正定实数矩阵，且满足 如果给定Q阵，能够推出P 为正定的，则系统在 为稳定的。并 且线性定常系统为稳定，就一定是大范围一致渐近稳定。 4.

14、6 非线性系统的稳定性分析 用Lyapunov第二法分析非线性系统稳定性 到目前为止，尚没有构造Lyapunov函数的一般性方法。往往都 是根据经验，用试凑法。以下是两种比较有效的方法。 1. 克拉索夫斯基法 （12） 非线性定常系统的状态方程为 其中 和 均为n维向量。 为非线性多 元函数，对各 都具有连续的偏导数。 构造Lyapunov函数如下 （13） 其中 W 为 正定对称常数矩阵 （14） 而（15） 其中称为雅可比矩阵 （16） 在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成 的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。 雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最 优线性逼近。 其中 （17） 如果 是负定的，则 是负定的。而 是正定的，故 是一致渐近稳