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1、第五章线性系统的频域分析第三章已介绍了控制系统的时域分析法，系统的动态性能用时间响应来描述是较为直观与逼真的。但是，对于比较复杂的系统来说，这种方法较为繁琐，因此希望使用一种不必实际求解微分方程就有可能预示系统性能的方法，而这种方法又能方便地指出应如何调整系统参数来满足系统性能的技术条件。这种方法就是现在已变得越来越成熟的频域分析方法特点n它可借助做图法就可以指出系统究竟应该如何改进n可以用实验方法确定响应，其效果和解析法一样。这在难于用微分方程来描述系统的地方尤为重要。基本要求基本要求n1.正确理解频率特性的概念。n2.熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线。n3.
2、熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。n4.熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法。n5.熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其它们的应用。n6.熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。n7.理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较。5-1频率特性的一般概念一、研究线性定常系统对正弦输入的响应二、频率特性的求法三、频率特性的物理意义一、研究线性定常系统对正弦输入的响应说到频率特性，大家会问什么是频率特性？定义对于一个稳定的线性定常系统，当系统的闭
3、环传递函数为G(s)，给系统输入以正弦信号，则系统的稳态输出也为一同频率的正弦信号，但输出的振幅和相位与输入信号不同。即：稳定系统实验证明：当系统输入幅值（X）保持不变时，仅改变输入信号的频率（w），则稳态输出的的幅值（y）和相位角（），将随频率（w）变化而变化。由上可知：控制系统对正弦输入信号的稳态响应称为频率响应，系统频率响应的幅值、相位与输入正弦信号幅值、相位的关系称为频率特性问题：系统在接受正弦输入后，其稳态输出一定是同频率的正弦函数吗？输出信号的幅值、相位有何变化？其变化于什么有关？用频率特性分析系统，能否反应系统的结构参数与系统性能之间的关系？下面我们就逐一解答上面的问题：首先我们
4、看频率特性分析，能否反应系统的结构参数与系统性能的关系。通过前面的学习我们知道系统的传递函数反映系统结构参数与系统性能间的关系，通过本节的讨论将会看到频率特性是特定的传递函数，即频率特性是传递函数的一种特例。设系统是稳定的，初始条件为零，则系统的传递函数为传递函数G(s)在一般情况下可写成如下形式，即系统输出的象函数y(s)系统的输入为正弦函数：则：将上式写成部分分式形式为：上式进行拉氏反变换，得到系统对正弦输入信号的响应为：对于稳定的系统，其闭环极点都具有负实部。当时，输出的瞬态分量衰减为零。因此，不管系统属于哪种形式，其对正弦信号的稳态响应为式中：和为待定系数，确定b，等式的两边同乘（s+
5、jw)，并令s=-jw，得：同理确定，等式的两边同乘(s-jw)，并令s=jw，得：由于与为一对共轭复数，其模相等幅角相反故：欧拉公式得：故：稳定系统从以上的推导证明：稳定的线性定常系统，其正弦函数的输入的响应，是与输入同频率的正弦函数-称为频率特性从而，得：频率特性这样我们在已知系统的传递函数G(s)的情况下，求是非常方便的。即在G(s)中用s=jw代入即可求得G(jw)-一复数，我们可方便求得起相应的幅值、幅角。例如下图所示的RC电路，求该环节的频率特性以及系统输入为r(t)=xsinwt时的稳态输出RCUrUo解：列写系统的微分方程故得环节的传递函数环节的频率特性此时系统的稳态输出：5-
6、2系统的开环频率特性图频率特性分析法，使用的是图解的方法，即通过图形判断系统的性能。常用的图形有三种频率特性分析法和时间响应分析法在具体做法上有着较大的差别。本章主要任务有两个作出Nyquist、Bode图利用Nyquist图和Bode图判断系统的稳定性和系统动、静态特性。下面分别介绍Nyquist图和bode图的做法：5-2、Nyquist图（极坐标图）-在频率特性G(jw)中的w从0变化到时，表示在极坐标图上的复变函数的矢量端点轨迹曲线，称为Nyquuist图。例：系统的传递函数为G(s)，则将s=jw代入，即：1、概述2、典型环节的Nyquist图比例环节（放大环节）比例环节的传递函数：
7、G(s)=k比例环节的频率特性：G(jw)=kkjRe积分环节传递函数频率特性0110jG惯性环节传递函数频率特性幅相特性振荡环节传递函数频率特性分子、分母同除wn2令幅相特性从图中可见：无论大小，曲线总是起于(1，j0)点，终止于原点(0，j0)当时，可见：曲线越往外延伸当小于某一个数值时，当时，出现峰值，故出现峰值时，对应的频率成为谐振频率谐振频率特性（谐振幅值）二阶系统频率响应与单位阶跃响应间的关系通常在设计二阶系统时，当系统参数未知时，可用x-y记录仪，记录下Mr找出，在通过三种频率物理意义不同微分环节传递函数G(s)=s频率特性G(jw)=jw幅相特性一阶微分环节传递函数频率特性幅相
8、特性二阶微分环节传递函数频率特性幅相特性滞后环节传递函数频率特性幅相特性举例，作系统的Nyquist图例1：设某系统的开环传递函数为试绘制该系统地Nyquist图解：由G(s)求G(jw)可见系统时有两个典型环节组成k例2：设某系统的开环传递函数为试绘制该系统地Nyquist图解：由G(s)求G(jw)可见系统时有三个典型环节串联而成可见其大概的趋势为要绘制精确的曲线则要找出渐近线寻找渐近线渐近线例3：设某系统的开环传递函数为试绘制该系统地Nyquist图解：由G(s)求G(jw)可见系统时有四个典型环节串联而成小结讨论开环系统Nyquist图形的起点、终点的问题若系统的开环传递函数为频率特性
9、当v=0时，故开环系统中不含积分环节，称为0型系统讨论：说明0型系统p起点为:(k，j0)p终点为原点，但趋进的角度取决于(n-m)的数值。当v=1时，故开环系统中含一个积分环节，称为1型系统讨论：n-m=2n-m=3ReImV=1V=2V=3W=时，趋近于原点，方向取决于(n-m)的数值例：系统开环传递函数分子有一阶微分环节，取m=1，n=3时，系统的开环幅相特性。其开环幅相特性曲线出现凹凸5-3、Bode图（对数频率特性）对数幅频特性图1、概述Bode图的优点可将串联环节的幅值的乘、除运算转化为加、减运算，这样大大的简化了运算过程；在有限的长度坐标上，表示出较宽的频率范围例如:w从1-10
10、00，共需999个单位长度对数lg1-lg1000，只用4个单位长度低频段，w变化很小但读数很清楚。2、典型环节Bode图比例环节传递函数频率特性幅相特性对数幅、相特性问题：k1k1积分环节传递函数频率特性幅相特性对数幅、相特性可见：频率每增加10倍频程，幅值衰减-20db，L(w)曲线是一条过(10)点、斜率为-20的直线如果传递函数中含有n个积分环节，即：传递函数频率特性对数频率特性可见：L(w)是一条过(1，0)点斜率为-20ndec的直线微分环节传递函数频率特性幅相特性对数幅、相特性可见：L(w)为一条过(10)点，w每增加10倍，幅值增加20dB的直线。类推，如果n个微分环节串联时的
11、情况。惯性环节传递函数频率特性幅相特性这里为研究问题方便对数幅频特性讨论：对数频率特性(L(w)，）随w的变化情况可见惯性环节的对数幅频特性，在高频段w每增加10倍，L(w)下降20dB，w=wT为高低频段的交界处，称wT为转折频率（或交接频率）-相频特性惯性环节的Bode图由上图可见：惯性环节的对数幅频特性，在低频段为0dB的一条直线（渐近线）。在高频段时w每增加10倍，对数幅频特性衰减20dB(渐近线），最大无差发生在W=1T处，必要时可根据以下方法修正。L(w)曲线的修正利用上式制出教材P153表5-2，从表中发现无差在Tw=0.110区间，其中最大无差发生在w=1T处，在此区间以外基本
12、上无差为0，因此在有必要修正渐近线时只在这个区间内进行。一阶微分化解传递函数频率特性幅相特性讨论：对数频率特性(L(w)，）随w的变化情况这里为研究问题方便对数幅频特性可见微分环节的对数幅频特性，在高频段w每增加10倍，L(w)增加20dB，w=wT为高低频段的交界处，称wT为转折频率（或交接频率）-相频特性微分环节渐进性及精确曲线的之间的修正方法与惯性环节一样，只是向反对称于实轴，L(w)的最大无差也出现在w=1T处，最大无差为+3dB，修正区间也在Tw=0.110振荡环节传递函数频率特性分子、分母同除wn2令幅相特性对数幅频特性讨论：对数频率特性(L(w)，）随w的变化情况可见振荡环节的对
13、数幅频特性，在低频时为0，高频段W每增加10倍，L(w)衰减40dB.-相频特性相频特性曲线特点这三点无论为何值都不变，之外曲线随值的不同而不同。振荡环节的Bode图振荡环节的Bode图的特点修正的区间也在转折频率的前后10被频率范围内进行二阶微分环节振荡环节二阶微分环节振荡环节系统系统bodebode图绘制图绘制Bode图通常绘制系统的开环bode图的渐近线，若需精确特性时，在对渐近bode图进行适当修正。绘制bode图见教材P157的基本步骤例系统开环传递函数为试绘制系统的开环bode图将组成系统的各环节化为标准形式建立bode图的坐标求20lgk，并将其标注在图中过w=1作横轴的垂线，找垂线与20lgk的交点A求相应环节的转折频率，并标注在图中过A点作斜率为v(-20)的线段，经过一个转折频率，改变一次斜率
