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1、第六章 平稳随机过程 6.1 平稳随机过程的概念 定义6.1 设X(t)，t T 是随机过程， 对任意常数和正整数n， t1,t2, tnT, t1+, t2+,tn+ T， 若(X(t1), X(t2), , X(tn)与 (X(t1+), X(t2+), X(tn+) 有相同的联合分布，则称X(t)，t T 为严平稳过程，也称狭义平稳过程。 6.1 平稳随机过程的概念 定义6. 2 设X(t)，t T 是随机过程，并满 足： (1)X(t)，t T 是二阶矩过程； (2)对任意t T ，mX(t)=EX(t)=常数（mX）； (3)对任意s, t T ， RX(s, t)=EX(s)X(t
2、)=RX(t-s)= RX(t) ， 则称X(t)，t T 为广义平稳过程，简称平稳 过程。 若T为离散集，称平稳过程Xn，nT 为平 稳序列。 6.1 平稳随机过程的概念 广义平稳过程 严平稳过程 严平稳过程 广义平稳过程 严平稳过程 广义平稳过程 正态过程 二阶矩存在 6.1 平稳随机过程的概念 例例6.16.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t0，且 Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2 ，试讨论随机过程X(t), t0的平稳性。 解 6.1 平稳随机过程的概念 所以X(t)，t T 为宽平稳过程。 6.1 平稳随机过程的概念 例例6.26.2 设Xn,n=0
3、, 1, 2,是实的互不 相关随机变量序列，且EXn=0，DXn =2 ，试讨论随机序列的平稳性。 解 因为EXn=0， 所以Xn,n=0, 1, 2,是平稳随机序列。 6.1 平稳随机过程的概念 例例6.36.3 设状态连续、时间离散的随机过 程X(t)=sin(2 t)，其中 是(0,1)上的均 匀分布随机变量，t只取整数值1,2,， 试讨论随机过程X(t)的平稳性。 解 6.1 平稳随机过程的概念 所以X(t) 是平稳过程。 6.2 联合平稳随机过程 定义6.4 设X(t)，t T 和Y(t)，t T 是两个平稳过程，若它们的互相关函数 EX(t)Y(t-)及EY(t)X(t-)仅与有关
4、， 而与t无关，即 RXY(t, t-)=EX(t)Y(t-)=RXY() RYX(t, t-)=EY(t)X(t-)=RYX() 则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。 6.2 联合平稳随机过程 命题：当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程 时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程。 事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数， 6.2 联合平稳随机过程 例例6.46.4 设X(t)=Asin(t+ )， Y(t)=Bsin( t+ -)为两个平稳过程， 其中A,B, 是常数， 是(0,2)上的均匀分布随机变量， 证明：X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。 证明： 6.2
5、联合平稳随机过程 6.2 联合平稳随机过程 所以X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。 6.3 随机分析简介 微积分中普通函数的连续、导数和积分 等概念推广到随机过程的连续、导数和 积分上即随机分析 6.3 随机分析简介 定义6.5 设有二阶矩随机序列Xn和二 阶矩随机变量X，若有 成立，则称Xn均方收敛于X。 记作 或 (mean square) (limit in mean) 6.3 随机分析简介 定理6.1（柯西收敛定理） 二阶矩随机序列Xn收敛于二阶矩随机 变量X的充要条件是 6.3 随机分析简介 定理6.2 设Xn, Yn, Zn,都是二阶矩随 机序列，U是二阶矩随机变量，cn为常
6、数序列，a,b,c为常数，令 则(1) (2) (3) 6.3 随机分析简介 (4) (5) (6) 6.3 随机分析简介 定理6.3 设Xn 为二阶矩随机序列， 则Xn均方收敛的充要条件是下列极限 存在 6.3 随机分析简介 定义6.6 设有二阶矩过程X(t),tT，若 对每一个tT ，有 则称X(t)在t点均方连续，记作 若对T中的一切点都均方连续，则称X(t) 在T上均方连续。 6.3 随机分析简介 定理6.4（均方连续准则） 二阶矩过程X(t),tT，在t点均方连续的 充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处 连续。 推论 若相关函数RX(t1,t2)在(t,t)，tT 上
7、连续，则它在TT上连续。 6.3 随机分析简介 定义6.7 二阶矩过程X(t),tT，若存在 随机过程X(t)，满足 则称X(t)在t点均方可微， 记作 并称X(t)为X(t)在t点的均方导数。 6.3 随机分析简介 若X(t)在T上每一点均方可微，则称X(t) 在T上均方可微。 类似地可定义二阶均方导数 相关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数定义为 6.3 随机分析简介 定理6.5（均方可微准则） 二阶矩过程X(t), tT，在t点均方可微 的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t) 的广义二阶导数存在。 推论1 二阶矩过程X(t),tT 在T上均方 可微的充要条件为相关函数RX
8、(t1, t2)在 (t, t)，tT上每一点广义二阶可微。 推论2 若相关函数RX(t1,t2)在(t,t)，tT 上每一点广义二阶可微，则 6.3 随机分析简介 6.3 随机分析简介 均方积分 设X(t),tT为二阶矩过程，f(t)为普通函 数，其中T=a,b，用一组分点将T划分如 下：a=t0t1tn=b， 6.3 随机分析简介 定义6.8 如果当n0时，Sn均方收敛于S ，即 ，则称在区间 a,b上均方可积，并记为 6.3 随机分析简介 定理6.6（均方可积准则） f(t)X(t)在区间a,b上均方可积的充要条 件为 存在， 特别地，二阶矩过程X(t)在区间a,b上 均方可积的充要条件
9、为RX(t1,t2)在 a,ba,b上可积。 6.3 随机分析简介 定理6.7 设 f(t)X(t)在区间a,b上均方可 积，则有 (1) (2) 6.3 随机分析简介 定理6.8 设二阶矩过程X(t),tT 在区间 a,b上均方连续，则 在均方意义下存在，且随机过程Y(t),tT 在区间a,b上均方可微，有Y(t)=X(t)。 推论 设X(t)均方可微，且X(t)均方连续 ，则 6.3 随机分析简介 例例6.56.5 设 X(t), tT 是实均方可微过程 ，求其导数过程X(t), tT的协方差函 数BX (s, t)。 解 由定理6.5推论2(1) 由定理6.6推论2(4) 6.3 随机分
10、析简介 所以 6.4 平稳过程的遍历性 定义6.9 设 X(t), -t 是均方连续 的平稳过程，则 时间均值 时间相关函数 6.4 平稳过程的遍历性 定义6.10 设 X(t), - t 是均方连 续的平稳过程， 若 则称平稳过程的均值具有遍历性； 若 则称平稳过程的相关函数具有遍历性。 6.4 平稳过程的遍历性 定义6.11 如果均方连续的平稳过程 X(t), -t的均值和相关函数都具有 遍历性，则称该平稳过程具有遍历性。 例例6. 6.9 9 设随机相位过程X(t)=acos(t+ ) ，a, 为常数， 为服从(0,2)上均匀分 布的随机变量，讨论X(t)的遍历性。 解 6.4 平稳过程的遍历性 6.4 平稳过程的遍历性 6.4 平稳过程的遍历性 6.4 平稳过程的遍历性 例例6.76.7 讨论随机过程X(t)=Y的遍历性，其 中Y是方差不为零的随机变量。 解 X(t)=Y是平稳过程，因为 EX(t)=EY=常数， 故均值不具有遍历性。 6.4 平稳过程的遍历性 6.4 平稳过程的遍历性 定理6.10 对于均方连续平稳过程X(t), - t ，均值遍历的充要条件是 6.4 平稳过程的遍历性 定理6.11 对于均方连续平稳过程X(t), - - t ，相关函数各态历经的充要条 件是 其中 知识回顾知识回顾 Knowledge Knowledge ReviewReview
