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1、山东省德州市陵城区一中山东省德州市陵城区一中 2017-20182017-2018 学年高二数学下学期期中试题学年高二数学下学期期中试题 理理 一、选择题（12560 分） 1. 复数等于（ ） A1 B C D 2.已知函数，则（ ） A.B.C.D. 3“四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等” ，补充以上推理的大前提是( ) A矩形都是对角线相等的四边形 B正方形都是对角线相等的四边形 C等腰梯形都是对角线相等的四边形 D矩形都是对边平行且相等的四边形 4. 已知随机变量的概率分布列如下所示： 5678 0401 且的数学期望，则( ) A B C D 5.用反证法证明命题：“
2、设为实数，且，则， ，”时要给出的假设是（ ） A.都不是正数B.至多有一个正数 C. 至多有一个不是正数 D. 至少有一个不是正数 6 已知随机变量服从正态分布 N（2，2） ，且 P（4）0.8，则 P（0）( ) A0.6 B0.4 C0.3 D0.2 7. 函数的一个极值点在区间内，则实数的取值范 围是（） - 2 - A B C D 8.设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图 象可以为（ ） 9.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排 方式共有（ ） A.12 种B.18 种C.24 种D.36 种 10.若不等式恒成立，则
3、实数的取值范围是（ ） A.B.C.D. 11.设，函数的导函数是奇函数，若的一条切线的斜率 为，则切点的横坐标是（ ） A.B.C.D. 12.函数的导函数，对，都有成立，若，则不 等式的解是（ ） A.B.C.D. 二、填空题（4520 分） 13.，则 14 在的展开式中，的系数为 _ 15.从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队， - 3 - 要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法。 （用数字作答） 16 对大于 的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂” 仿 此，若的“分裂”数中有一个是，则的值为 . 三、
4、解答题 17. （1）求； （2）若，求实数的值. 18.数列中，其前项和满足. （1）计算，； （2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明. 19一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 的函数：， ，. （）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇 函数的概率； （）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数 的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望 20. 学校举办的集体活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三 关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得 1 分、2 分、3 分的奖励，游
5、戏还规定，当选手 闯过一关后，可以选择得到相应的分数，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一 关没有闯关成功，则全部分数都归零，游戏结束。设选手甲第一关、第二关、第三关的概率 分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功互不影响 - 4 - （I）求选手甲第一关闯关成功且所得分数为零的概率 (II)设该学生所得总分数为 X,求 X 的分布列与数学期望 21.已知函数. （1）求的单调区间； （2）设，若在存在极值点，求实数的取值范围. 22 已知 （）判断在定义域上的单调性； （）若在上的最小值为，求的值； （III）若在上恒成立，试求的取值范围 - 5 - 参考答案 15D
6、B AA D610 DC A D B 1112 C C 13. 214,-1515. 16,9 17.解：（1） 10 3 3 zi i 4 分 10z 5 分 （2）(),3z zabi zi 38(6)aaibi 6 分 38 61 ab a 8 分 7,13ab -10 18.解：（1） 232 345 , 456 SSS 4 分 （2）猜想 1 , 2 n n S n 6 分 下面用数学归纳法证明 （1）1n 时显然成立7 分 （2）假设nk时成立，即 1 , 2 k k S k ，那么1nk时 1 1 8 2 12 , 1 3 2 2 k k S S k k k k 即1nk时命题成
7、立11 分 综合（1） （2） 1 , 2 n n S n 对一切都成立12 分 19.解：（1）记事件 A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数” ， 由题意知. 5 1 )( 2 6 2 3 C C AP 4 分 （2）可取1,2,3,4 -5 111 333 111 665 13 (1) , (2) 210 CCC PP CCC ， 1111111 3333221 1111111 6546543 31 (3) , (4) 2020 CCCCCCC PP CCCCCCC ； -9(一个一分) - 6 - 故的分布列为 1234 P 2 1 10 3 20 3 20 1 -
8、10 . 4 7 20 1 4 20 3 3 10 3 2 2 1 1E 答：的数学期望为. 4 7 -12 分 20【解析】 （）设甲“第一关闯关成功且所得分数为零”为事件A， “第一关闯关成功第 二关闯关失败”为事件 1 A， “前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件 2 A，则 1 A， 2 A互 斥， 1 3121 ()=1-= 4238 P A （）， 2 分 2 312111 ()=(1)= 4232216 P A， 4 分 12 113 ( )()() 81616 P AP AP A 5 分 （）X所有可能的取值为 0,1,3,6 6 分 37 (0)(1)+ 416 P XP A
9、( ) 313 (1)= 428 P X 31211 (3)= 42328 P X 312111 (6)= 4232216 P X 10 分 所以，X的分布列为： 11 分 731195 =0+5+15+35= 16881616 EX 12 分 X0136 P 7 16 3 8 1 8 1 16 - 7 - 21. 解：（1）由题意,00,x 2 (1) ( ) x ex fx x 2 分 ,0 , 0,1x ,( )0fx 1,x时, ( )0fx 故的减区间为,0和增区间为1,5 分 （2）( )1 x g xeax，0,x ( ) x g xea6 分 g(x)在(0,) 上有极值点，
10、( )0g x在(0,) 上有实数解 由 ( )0g x得 x ea，因为 x0,所以 a1, 此时 x=lna-10 当 xlna 时，( )g x0,当 xlna 时，( )g x1-12 22解：（）( )f x的定义域为(0,) 22 1 ( ) axa fx xxx 1 分 当0a 时，因为0x ( )0fx 因此( )f x在定义域(0,)上为单调递增函数2 分 当0a 时，则0xa ，( )0fx；xa ，( )0fx； 此时，( )f x在(0,)a上为单调递增函数，在(,)a上为单调递增函数3 分 （） （1）令( )0fx在1, e上恒成立，即0xa ax 令1a ，此时(
11、 )f x在1, e上为增函数 - 8 - min 3 ( )(1) 2 f xfa ， 得 3 2 a （舍去） 4 分 （2）令( )0fx在1, e上恒成立，即0xa ax 令ae ，此时( )f x在1, e上为减函数 min 3 ( )( )1 2 a f xf e e ， 得 2 e a （舍去） 5 分 （3）当1ea 时，令( )0fx，得 0 xa 当 0 1xx时，( )0fx，( )f x在 0 (1,)x上为减函数 当 0 xxe时，( )0fx，( )f x在 0 (, )x e上为增函数 min 3 ( )()() 1 2 f xfalna 得ae -6 综上可知，ae 7 分 （III）由 2 ( )f xx，得 2 ln a xx x ， 1x ，有 3 lnaxxx， 令 3 ( )lng xxxx，则 2 ( )ln31g xxx9 分 令 2 ( )ln31xxx，则 2 11 6 ( )6 x xx xx ， 1x ，( )0x，( )x在(1,)上单调递减， ( )(1)20x ， 因此( )0g x，故( )g x在(1,)上单调递减，10 分 则( )(1)1g xg ， a的取值范围是 1,) 12 分 - 1 -
