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1、第六章无限长单位冲激响应（第六章无限长单位冲激响应（IIRIIR）数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法6.16.1引言引言6.26.2全通系统全通系统6.46.4用模拟滤波器设计用模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器6.56.5冲激响应不变法冲激响应不变法6.76.7双线性变换法双线性变换法数字滤波器的设计一般包括：（1）按照任务要求确定滤波器的性能要求（2）用系统函数去逼近这一性能的要求（3）利用有限精度算法来实现这个系统函数（4）实际的技术实现本章主要讨论逼迫性性能要求或系统函数的设计问题。6.16.1引言引言1：通带容限2：阻带容限c:通带截止频率st:阻带截止频率2020
2、2030220低通高通带通带阻全通频率变量是以数字频率来表示，因此数字域的抽样频率为2。根据抽样定理，频率特性只能限于|s2=数字滤波器的系统函数为H(z)，它在Z平面单位圆上的值就是滤波器频率响应H(ej)。表征数字滤波器频率响应特性的三个参量是幅度平方响应、相位响应、群延迟幅度平方响应、相位响应、群延迟1.幅度平方响应由于的极点既是共轭的，又是以单位圆对称的，故只取单位圆内的极点作为的极点。这是根据傅立叶变换的性质（P73），当h(n)为实序列的时，满足2.相位响应由于所以由于所以又有3.群延迟响应它是滤波器平均延迟的一个度量可以化为由于所以因而又有同样可化为当滤波器为线性相位响应特性时，
3、则通带内延迟特性为常数。IIR滤波器逼迫问题IIR系统函数就是去求出滤波器的各系数，使得在规定意义上(如通带起伏及阻带衰减的要求或采用最优化准则)，逼近所要求特性。在z平面上逼近，得到数字滤波器。设计方法：（1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足指标的数字滤波器。（2）计算机辅助设计方法。6.36.3全通系统全通系统定义：是指系统频率响应的幅度在所有频率下均为1或某一常数的系统。满足简单一阶全通系统函数零极点图a1a1-1jImzRez高阶有理全通系统由一串一阶系统组成，可以包含实零点实极点系统；还可以包括复数零点复数极点系统；多个这两类系统的级联就组成一个高阶全通网络系统。复数零点复
4、数极点的全通节的系统函数a1a1-1jImzRez一般来说，N阶数字全通系统的系统函数频率响应的模都为1。证明：N阶全通系统函数为式中当时，满足所以有全通系统应用全通系统应用（1）任何一个因果稳定的（非最小相位延时）系统的H(z)都可以表示为全通系统和最小相位延时系统的时延。它们频率响应的幅度相同，相位不同。即证明：设一个因果稳定的非最小相位延时系统H(z)为（6.24）将6.24式表示为由于，所以是最小相位延时，是全通级联。所以可表示为（2）如果设计出的滤波器是非稳定的，则可用级联全通函数的办法将它变成一个稳定系统。例：原滤波器有一对极点在单位圆外级联一个全通系统则可将单位圆外极点抵消，但不
5、改变系统幅度特性。（3）可以作为相位均衡器（群时延均衡器）用，来得到线性相位，但不改变幅度特性。IIR滤波器其相位特性为非线性的，因而群延时不为常数，而在视频信号的传输中希望系统具有线性相位。设全通滤波器为，系统为级联后H(z)即相位关系按得当通带中满足是常数则逼近误差的平方值利用均方误差最小的准则就可以求得均衡器有关的参数。6.46.4用模拟滤波器设计用模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器方法：利用模拟滤波器设计数字滤波器就是要把s平面映射到z平面，使模拟系统函数变换成所需的数字滤波器的系统函数。基本要求：（1）的频响特性应能模仿的频率响应（2）因果稳定的就能映射成因果稳定几种映射
6、方法：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法。6.56.5冲激响应不变法冲激响应不变法一、变换原理一、变换原理冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应。即抽样满足抽样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系z=est从S平面变换到Z平面的变换关系。z=rejs=+jtz=rej=e(+j)t=ete+jtr=et=TS平面Z平面3TT-T-3T001-1jjImzRez二、混叠失真二、混叠失真数字滤波器和模拟滤波器频率响应之间关系只有当才能在折叠频率内重现模拟滤波器响应而不产生混叠失真，即注意：（1）模拟滤波器频率响应在折叠频率以上衰减快、大，
7、变换后混叠失真越小。（2）当增加，可减小混叠效应。（3）当滤波器指标用数字域给定时，若不变，用减小T的方法就不能解决混叠问题。三、模拟滤波器的数字化方法三、模拟滤波器的数字化方法设模拟滤波器的系统函数只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次。展开部分分式其相应的冲激响应是的拉普拉斯变换即对h(n)求z变换，得数字滤波器系统函数和H(z)比较结果分析：（1）s平面的单极点变换到z平面上处的单极点。（2）两者部分分式的系数是相同的，都是（3）如果模拟滤波器是稳定的，则数字滤波器也是稳定的。（4）能保证两者极点代数对应关系，但不保证整个s与z的代数对应关系。零点就没有这种关系。而是随的极点及系数
8、两者而变化。6.31式看出，数字滤波器频率响应还与抽样间隔T成反比。当抽样频率高时（T很小），滤波器增益会太高。修正方法：令则有及因，共轭极点，其变成H(z)关系例6.1设模拟滤波器的系统函数为试利用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器。解：直接利用6.36式可得数字滤波器的系统函数为设T1，则有模拟滤波器与数字滤波器的频率响应分别为冲激不变响应法优缺点：数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好，模拟频率和数字频率之间呈线性关系。由于存在混叠失真，因此只适应限带的模拟滤波器。6.76.7双线性变换法双线性变换法目的：主要用来克服混叠现象。一、变换原理一、变换原理双线
9、性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。首先把整个s平面压缩变换到某一中介的s1平面的一条横带里(即从-T到T)；其次再通过上面讨论过的标准变换关系将此横带变换到整个z平面上去这样就使s平面与z平面一一对应来消除混叠。S平面S1平面z平面j01j10T-TjImzRez01-1双线性变换法的映射关系将s平面整个j轴压缩变换到s1平面j1轴上的T到T一段，可以采用的变换方式：这样，变到，变到，上式可以写成：解析延拓到s平面和s1平面，令则再将s1平面通过以下标准变换关系映射到z平面从而得到s平面和z变换的单值映射关系为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率
10、有对应关系引入待定常数c，(6-55)仍将代入，可得上两式是s平面与z平面之间的单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。二、变换常数二、变换常数cc的选择的选择不同c可以使模拟滤波器与数字滤波器频率特性在不同频率处有对应关系，也就是可以调节频带间的对应关系。有两种方法：（1）使两种滤波器在低频处有较明确的对应关系。即低频时当较小有由6-55式及可得因而得此时两者低频特性近似。（2）采用数字滤波器的某一特定频率与模拟原型滤波器的一个特定频率相对应，即则有这种方法的主要优点是在特定的模拟和数字频率处，频率响应严格相等。可准确的控制截止频率的位置。三、优缺点三、优缺点模拟角频率与数字频率之间的变换关
11、系当零频附近呈线性关系，当增加时，就存在非线性关系。其产生两个问题：（1）经双线性变换不能保持原有相位。（2）这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的。c=tan(2)-021021012120|Ha(j)|H(ej)|=2tan-1(c)理想微分器经双线性变换后幅频响应产生畸变解决办法：将频率加以预畸，即利用将数字滤波器的截止频率（即临界频率）变换成模拟频率，利用这组模拟频率来设计模拟带通滤波器，这是我们要求的模拟原型。对这个模拟原形滤波器采用双线性变换，即可以得到所需要的数字滤波器。四、模拟滤波器数字化方法四、模拟滤波器数字化方法利用双线性变换将模拟滤波器数字化的办法：（1
12、）s到z之间的变换是简单的代数关系，可以将模拟滤波器的系统函数用代数置换得到数字滤波器的系统函数：（2）先将模拟系统分解为并联或级联的子系统，每个系统都变成低阶的，然后再对每个子系统函数分别进行双线性变换。因为模拟系统函数的分解有大量的图表可以利用，分解起来比较方便。五、用列表格的方法来完成双线性变换五、用列表格的方法来完成双线性变换此变换在概念上很清楚，但是实际变换可能会比较复杂，可以先求出双线性变换法中数字滤波器的系数与模拟滤波器的系数之间的关系式，并列成表格，便可以利用表格进行设计。一阶阶N1A0(d0+d1c)RA1(d0-d1c)RB1(e0-e1c)RR(e0+e1c)二阶阶N2A0(d0+d1c+d2c2)RA1(2d0-2d2c2)RA2(d0-d1c+d2c2)RB1(2e0-2e2c2)RB2(e0-e1c+e2c2)RR(e0+e1c+e2c2)三阶阶N3
