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1、数学实验数学实验 线性代数线性代数 矩阵矩阵 一、向量的生成一、向量的生成 1、直接输入向量 2、冒号生成法 基本形式为：向量初值:步长:终值 a=1 5 6 8 9 a=1:2:12 b=1:5 a=1 5 6 8 9 a= 1 3 5 7 9 11 b= 1 2 3 4 5 线性等分： 向量linspace(初值，终值，等分维数) 对数等分： 向量logspace(初值，终值，等分维数) 3、等分生成法 a1= 1.0000 20.8000 40.6000 60.4000 80.2000 100.0000 a2= 1 10 100 1000 10000 100000 a1=linspace
2、(1,100,6) a2=logspace(0,5,6) 二、向量的运算二、向量的运算 向量的模norm(a) 向量的混合积dot(cross(a,b),c ) 向量的向量积cross(a,b) 向量的数量积dot(a,b)数乘向量 向量减法a-b向量加法a+b 含义命令含义命令 例例1 1 设设a=(2,1,-1)a=(2,1,-1)，b=(1,-1,2)b=(1,-1,2)，c =(1,2,4)c =(1,2,4)， 计算：计算： （1 1） a b ; a b ; （2 2）ab; ab; （3 3）以）以a,ba,b向量为邻边的平行四边形的面积；向量为邻边的平行四边形的面积； （4 4
3、） (ab) c.(ab) c. 创建vector01.m文件 a=2 1 -1; b=1 -1 2; c=1 2 4; d1=dot(a,b) d2=sum(a.* b) d3=a*b d4=cross(a,b) d5=norm(cross(a,b) d6=dot(cross(a,b),c) 运行结果： d1 = -1 d2 = -1 d3 = -1 d4 = 1 -5 -3 d5 = 5.9161 d6 = -21 例2 求点M1(2,1,2)到直线L的距离. 设V为直线L的方向向量，M0(1,-1,2)为 直线L上一点，点M1到直线L的距离为 M1 M0 V d L 创建vector02
4、.m文件 M0=1 -1 0; M1=2 1 2; V=1 -1 -2; d=norm(cross(M1-M0,V)/norm(V) 运行结果： d = 2.1985 例3 求点M1(8,3,-4)到平面 ：2x-2y+z-3=0 的距离。 设n为平面 的法向量，M0为平面上的任 一点。点M1到平面的距离是： 创建vector03.m文件 M0=1 1 3; M1=8 3 -4; n=2 -2 1; d=abs(dot(n,M1-M0)/norm(n) 运行结果： d = 1 三、矩阵的生成 1、 一般矩阵的生成: （1） 输入矩阵时以“ ”为其标识，即矩阵 的元素应在“ ”内部； （2）同行
5、元素之间可由空格或“，”分隔，行 与行间用“；”或回车符分隔； （3） 矩阵元素可为运算表达式； 例4 输入矩阵 A=1 2 3;1 1 1;4 5 6 直接输入法 A= 1 2 3 1 1 1 4 5 6 A=1 sqrt(4) 3;sin(pi/2) 1 1;4 5 abs(-6) 表达式输入法 A= 1 2 3 1 1 1 4 5 6 运算符 含义 eye(n) zeros(n),zeros(m,n) ones(n),ones(m,n) rand(n) randn(n) compan(n) diag n 阶单位矩阵 n 阶零矩阵， 零矩阵 n 阶一矩阵， 一矩阵 空阵 n 阶均匀分布的随
6、机矩阵 n 正态分布 N（0,1）的随机矩阵 伴随矩阵 生成对角矩阵 2、特殊矩阵的生成： 特殊矩阵函数表 四、矩阵的操作 实现 矩阵的变维 操作有两种方法：“：”和函 数“reshape”。前者主要针对 两个矩阵之间的运 算以实现变维 ；而后者针对 一个矩阵的操作。 1. 变维 reshape(x,m,n) reshape(x,m,n,p,)或reshape(x,m,n,p,) 创建matrix01.m文件 A=1:15; B=reshape(A,5,3) C=zeros(3,5); C(: )=A(: ) 例5矩阵变维 运行结果： B = 1 6 11 2 7 12 3 8 13 4 9
7、14 5 10 15 C = 1 4 7 10 13 2 5 8 11 14 3 6 9 12 15 矩阵的变向操作包括矩阵的旋转、左右翻转和 上下翻转，分别用函数rot90、fliplr和flipud来 实现 。函数flipdim用来对指定维进 行翻转。 rot90(A,k) 将A逆时针 方向旋转 k值可为正值或负值 。 rot90(A) 将A逆时针 方向旋 转 2. 矩阵阵的变变向 fliplr(X) 将X左右翻转 flipud(X) 将X上下翻转 flipdim(X,dim) 将X的第dim维翻转 创建matrix02.m文件 A=1 4 7 10 13;2 5 8 11 14;3 6
8、9 12 15 B=flipdim(A,1) C=flipdim(A,2) D=flipdim(A,3) 例6矩阵变向 运行结果： A = 1 4 7 10 13 2 5 8 11 14 3 6 9 12 15 B = 3 6 9 12 15 2 5 8 11 14 1 4 7 10 13 C = 13 10 7 4 1 14 11 8 5 2 15 12 9 6 3 D = 1 4 7 10 13 2 5 8 11 14 3 6 9 12 15 (1)对角元素抽取函数diag 3. 矩阵的抽取 diag(X,k) 抽取矩阵X的第k条对角线的元素向量。K为0时即 为抽取主对角线，k为正值时为上
9、方第k条对角线, k为负值时为下方第k条对角线。 diag(X) 相当于diag(X,0)，即抽取主对角线元素向量 。 此函数还可以用来建立对角矩阵，其形式如下 ： diag(v,k) 使得向量v为所得的第k条对角线元素。 diag(v) 使得向量v为主对角线元素。 创建matrix03.m文件 A=pascal(5) %5阶pascal矩阵 V=diag(A) U=diag(A,2) W=diag(diag(A) 例7矩阵抽取 运行结果: A = 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 70 V = 1 2 6 20 70
10、 U = 1 4 15 W = 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 70 tril(X) 提取矩阵X的主下三角部分 (2) 上三角矩阵和下三角矩阵的抽取 tril(X,k) 提取矩阵X的第k条对角线下面的部分（包 含第k条对角线），其中k的含义与diag函 数中k的含义相同。 triu(X) 提取矩阵X的主上三角部分 triu(X,k) 提取矩阵X的第k条对角线上面的部分（ 包含第k条对角线） 创建mtrix04.m文件 B=pascal(4) B1=tril(B,-1) B2=tril(B,2) 例8矩阵的三角抽取 运行结果: B
11、 = 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 B1 = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1 4 10 0 B2 = 1 1 1 0 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 利用矩阵标识块的赋值命令 X(m1:m2，n1:n2)=A 生成大矩阵。其中，(m1:m2)必须等于A的 行维数，（n1:n2）必须等于A的列维数。 生成的（m2n2）的矩阵X,除赋值子阵和 已存在的元素外，其余元素都默认为0。 4. 矩阵的扩展 矩阵的扩展有以下两种方法： 利用小矩阵的组合生成大矩阵 。 例9矩阵的扩展示例 创建matrix05.m文件 %矩阵的数
12、值扩展 A=1 4;7 8 A(3,3)=5 %合成扩展 C=1 5;2 4;2 7 d=A C %提取子阵 d1=d(1 3,:) d2=d(1 2,3 5) %提取矩阵中的某元素 d3=d(2,4) 运行结果： A = 1 4 7 8 A = 1 4 0 7 8 0 0 0 5 C = 1 5 2 4 2 7 d = 1 4 0 1 5 7 8 0 2 4 0 0 5 2 7 d1 = 1 4 0 1 5 0 0 5 2 7 d2 = 0 5 0 4 d3 = 2 五、矩阵的运算 矩阵的运算符 运算符 含义 运算符 含义 A + B A - B A * B A .* B A B A / B
13、 A ./ B 加法 减法 乘法 对应元素相乘 左除 右除 A的元素被B的 对应 元素除 A n A.n exp (A) log (A) sqrt (A) det (A) inv (A) A为方阵时，自乘n次 A的元素作n次幂幂 A的所有元素取e为底的指数 对A的各元素取 e为底的对数 对A的各元素求平方根 求A的行列式 求A的逆矩阵 求A转置 例10设 求： 创建matrix06.m文件 A=1 2 3;2 3 4;3 4 5; B=1 1 1;2 2 2;3 3 3; C=A+B D=A E=A3 F=A.*B 运行结果： C = 2 3 4 4 5 6 6 7 8 D = 1 2 3 2
14、 3 4 3 4 5 E = 132 192 252 192 279 366 252 366 480 F = 1 2 3 4 6 8 9 12 15 例11 设 求满足方程 X+AX=B的矩阵X。 矩阵方程的解为 创建matrix07.m文件 A=2 5;1 3; B=4 -6;2 1; I=eye(size(A); X1=inv(I+A)*B X2=(A+I)B 运行结果： X1 = 0.8571 -4.1429 0.2857 1.2857 X2 = 0.8571 -4.1429 0.2857 1.2857 1、在文件编辑器中建立m文件 (1) 输入矩阵 上机练习题 (2) 求 (3) 保存矩阵 A , B为ff.mat. (4) 保存m文件为ff.m. 2、在命令空间调用1中的A,B矩阵进行如下 操作： (1) 将A，B扩展为48阶的矩阵C. (2) 提取C中的1, 2, 4行；3,5,7列构成的新 矩阵D. (3) 提取C中的3 ,5列构成新矩阵 . (4) 建立与A同
