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1、砸案例剖析椭勃俪惶厩鬃1课嘶陈晨(江苏省南通师范高等专科学校如皋校区226500)一、设计说明(一)教材分析平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质前一节学生已经根据椭圆的几何条件建立起椭圆的标准方程，因而本节的主要任务就是根据椭圆的标准方程来研究椭圆的简单几何性质这种根据曲线的方程去讨论曲线的几何性质的研究(思想)方法，学生还没有深刻的领悟，因此在教学中要让学生经历研究过程，形成研究体验，领会解析几何的基本思想方法，从而为后继学习双曲线及抛物线时学生的自主研究打下坚实的基础(二)本课教学的基本设想及研究问题基本设想：从学生的
2、现实出发，通过适当的启发引导，促使学生通过自己的主动探究，理解并掌握椭圆的简单几何性质，领会解析几何的基本思想方法研究问题：(1)基于学生现实，设计有价值的启发性问题，能否成功地激活学生的探究欲望；(2)对课前预设实践性检验，为今后处理预设与生成问题积累经验二、教学简案教学目标：(1)引导学生经历对椭圆的几何性质的研究过程，理解椭圆的范围、对称性、顶点及离心率(2)会利用椭圆的几何性质解决一些简单的问题(3)引导学生领会利用方程研究曲线的性质的解析几何思想教学重点：椭圆的简单几何性质教学难点：利用方程研究曲线的思想方法教学方法：引导探究法教学过程设计：(一)提出问题步骤一：复习提问问1：椭圆是
3、怎么定义的问2：根据条件lMF，I+lMF2I2a(2a2c)，我们求出了椭圆的标准方程，有几种形式(旨在激活学生有关椭圆的知识经验)步骤二：明确研究问题引1：我们根据几何条件求椭圆标准方程的目的是什么(提示：解析几何中我们研究的是哪两类问题)引2：我们已经根据椭圆的几何条件建立起椭圆的标准方程，下一步的任务是什么揭题：椭圆的简单几何性质引3：椭圆有两种形式的标准方程，我们是否需要一一加以研究呢(回忆解析几何的基本思想，促使学生产生问题意识，形成研究问题)(二)引导探究问题：请同学观察椭圆，你能发现椭圆有何性质吗(若学生有反映，则按照学生的思路进行；若没有反映再由教师引导进入对称性的教学)模块
4、一：对称性步骤一：引导学生感知、欣赏椭圆的对称美引I：仔细观察一下这个椭圆，你发现椭圆的图形有何美妙之处(美不美)引2：那它关于什么对称呢步骤二：启发学生从椭圆的标准方程理性地认识其对称美引1：我们从图像观察到椭圆的对称美能否换个角度通过它的方程来观察椭圆的对称美呢(引导学生观察图像)比如我们怎样通过方程说明椭圆是关于轴对称呢(若学生不能做出回答)则提问：如果在椭圆上任取一点(，Y)那么它关于轴的对称点是什么这个点在不在椭圆上呢(追问)如何说明这个点在椭圆上引2：如何说明椭圆关于Y轴对称呢如何说明椭圆关于原点对称呢若前面学生未认识到椭圆关于原点对称，可提问：椭圆既关于轴对称，也关于Y轴对称，那
5、么椭圆也关于什么对称得出结论i椭圆具有对称性，关于轴、Y轴、原点对称，原点是椭圆的对称中心，简称为椭圆的中心(教学椭圆关于轴对称时以教师引导学生积极思维，其余以学生为主)步骤三：总结并迁移研究椭圆对称性的方法引：刚才是如何判断椭圆的对称性这种方法能否运用到一般的曲线中去呢如果能，请研究下列方程所表示的曲线：(1)=4y；(2)+2xyY=0的对称性步骤四：引导学生利用椭圆对称性画椭圆引：我们借助于椭圆方程研究了椭圆的对称性，那么知道了椭圆的对称性有什么好处呢利用椭圆的对称性可以干什么呢(运用手势在椭圆图形上比画提示学生)步骤五：引导学生对椭圆对称性的研究过程进行小结(旨在加强体验，突出基本数学
6、思想方法)模块二：顶点步骤一：引导学生发现椭圆的顶点引：在研究椭圆对称时，它的曲线上有没有比较突出的对称的点如果有，是哪些点你能指出来吗步骤二：启发学生利用方程求顶点坐标引：那么它们的坐标是多少呢怎么求的步骤三：引导学生定义椭圆顶点、长轴、短轴步骤四：引导学生领悟数学真、善、美的统一引1：三个参数o，b，c都有了各自的几何意义，它们是引2：椭圆方程中的b是怎么来的引3：三个参数o，b，c它们之间有何关系在椭圆的图数学学习与研究201619形上有反映吗步骤五：练习巩固，深化理解步骤六：引导学生对椭圆的顶点的研究过程进行小结(意在强化解析几何的基本数学思想方法)模块三：范围步骤一：引导学生感知椭圆
7、的范围引1：椭圆有这样四个顶点，这四个点的位置有何特殊能用数学语言表达出来吗引2：你能画出不等式组所表示的平面区域吗步骤二：启发学生理性地推导椭圆的范围引：那我们能否也通过椭圆方程对其加以验证呢步骤三：引导学生利用椭圆的范围作椭圆的草图根据范围，画出下列椭圆的草图：2，2()；(2，1Y：1步骤四：引导学生对椭圆范围的研究过程进行小结(再次强调解析几何的基本思想方法)模块四：离心率步骤一：引导学生感知椭圆存在扁圆程度不一引：请大家观察下列各图中的两个椭圆，它们有什么区别案例剖析I。_。=：步骤二：引导学生寻求描述椭圆扁圆程度的量离心率引导学生对3个图进行研究：影响这两个椭圆扁圆的因素有哪些如何
8、来描述它们的扁圆程度呢启发学生：椭圆中一共有三个参数，共六个比值，选择哪一个来表示椭圆的扁圆程度呢引导学生共同分析，借助于直观手段，确定e=土0步骤三：运用椭圆的离心率比较其扁圆程度2试比较下列椭圆的(1)+=1；(2)x+3y=1的扁叶圆程度步骤四：引导学生对椭圆离心率的研究过程进行小结(体验几何问题代数化的思想)(上接115页)线时，才是正确的我们在一般的刻画可作图的量的特征时，直尺的用途总是只限于此，如果允许直尺做它用途，或用其他不受尺规作图公法，则三等分角的方法就大大扩充了分法一也就是图1使用了尺的刻度的方法，这个例子早在阿基米德的著作中被发现分法二作图公法规定只能实行有限次作图，若取
9、消这个限制，由数学分析中等比级数：寺一寺亡一亩+(一1)。+的和为=，就可以设计三等。寺分角了(图2，用级数作图)一中图2作法：作已知角XOY平分线，作LXOA平分线OB，作LAOB平分线Dc，作LBOC平分线OD，这样无限继续做下去，每次所作平分线的极限位置OP，便是XOY的一条三等分线，有了这一条，另一条也能得到分法三一具最简单的三分角器，每个人都可以使用一张厚纸板制出来，如图3阴影部分AB长与半圆半径相等，BD上AC，SM切圆于，它三等分LASM显而易见的这样的分法，已不是纯几何学的了，它可以叫作机械的方法这个希腊问题，在当时，许多希腊学者都曾致力于这三个问题的研究，虽然有的人借助别的工
10、具解决了问题，但用尺规作图，始终未能成功；在当代，也有人声称解决了这个问题，但他们不是推理错误，就是不符合尺规作图的要求SliLE_口，一图3三等分角绞尽了不少人的脑汁，仅过无数次尝试，都失败了，后来人们觉得正面结果既然无望，便转而从反面去怀疑这个问题是不是根本就不能用尺规作图来完成，这个怀疑启发了许多人的想象，人们通过转化成代数问题，推出用尺规作图是不可能三等分角的，解决了这一公案1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的也才有了准则结束语以上可以看到，尺规三等分角如果不限制作图工具，便很容易解决从历史上看，很多数学结果是为解决这些问题而得出的收获，特别是开创了对圆锥曲线的研究。认识了一批著名的曲线不仅如此，这些尺规作图问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系数学中，解决问题的途径是多种的，既然用尺规作图的公法不行，那我们就突破这个框框，用别的方法来实现三等分角，人们给出了许多方法，也得到了很多有用的理论和数学分支；此路不通，我改而行之，在探索中追寻真理和方法这体现了数学思维的广阔性和探索性数学学习与研究201619
