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1、第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第9章 一、多元复合函数求导的链式法 则定理. 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 证: 设 t 取增量t , 则相应中间变量 且有链式法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v , ( 全导数公式 ) (t0 时,根式前加“” 号) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若定理中 说明: 例如: 易知: 但复合函数 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不
2、一定成立. 推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, 设下面所涉及的函数都可微 . 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如, 当它们都具有可微条件时, 有 注意: 这里 表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 与不同, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 设 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设 求全导数 解: 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问
3、题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 为简便起见 , 引入记号 例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 解: 令则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (当 在二、三象限时, ) 例5. 设二阶偏导数连续,求下列表达式在 解: 已知 极坐标系下的形式 (1) , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 题目 目录 上页 下页 返回 结束 已知 注意利用 已有公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理可得 题目 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数 都可微
4、, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 . 例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, 2. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是因变量, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 解答提示: P31 题7 P31 题7; 8(2); P73 题11 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P31 题8(2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P31 2; 4; 6; 9; 10; 12(4); 13 P73题 11 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 已知 求 解: 由两边对 x 求导, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求 在点处可微 , 且设函数 解: 由题设 (2001考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
