弹塑性力学第05章.

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1、第五章 薄板的小挠度弯曲 板是工程中常用的构件，当外荷载作用方 向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳 现象时，可以处理为平面应力问题；当外荷载 作用方向垂直于板面时，则属于弹性力学的空 间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性， 要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解 非常困难，这就需要引入简化计算的近似假设 。下面将通过引入这样的近似假设，建立薄板 弯曲问题的基本方程和基本关系式以及各种支 承情况下的边界条件，并讨论几种常用的薄板 弯曲问题。 第五章 薄板的小挠度弯曲 5-1 基本概念与计算假定 5-2 薄板内力 5-3 薄板弯曲的基本方程 5-4 边界条件 5-5 四边简支矩形薄板的重

2、三角级数解 (Navier解) 5-6 矩形薄板的三角级数解(Levy解) 5-7 圆形薄板的弯曲 5-1 基本概念与计算假定 板 、板面、板边 、板厚 薄膜 薄板：当板厚与板面内 最小特征尺寸之比在 1/801/5之间时 厚板 挠度 小挠度问题：挠度与板 厚之比小于或等于1/5 大挠度问题 基尔霍夫假设 （1）直法线假设 （2）z引起的变形略去不计 （3）中面内各点只有垂直位移w 基尔霍夫假设 （1）变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形 后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度 不变，称为直法线假设，它与材料力学中梁弯曲问题 的平面假设相似。若 将板中面作为xOy坐 标面，z轴垂

3、直向下， 则根据此假设，有 z=0和xz=yz=0。 基尔霍夫假设 （2）与x，y ， xy等相比，z很小，在计算变形时可 以略去不计。 （3）薄板中面内各点只有垂直位移w而无x方向和y方 向的位移，即 （u）z=0=0，（v）z=0=0，（w）z=0=w（x,y） 根据这个假设，中面内的应变分量x，y和xy均等于零 ，即在中面内无应变发生。中面内的位移函数w（x,y ）称为挠度函数。 在上述假设基础上建立起来的弹性薄板的小挠度理论 ，属于薄板弯曲的经典理论，它在许多工程问题的分 析计算中，已得到广泛的应用。 5-2 薄板内力 根据5-1中的三个基本假设，利用弹性力学的 平衡微分方程、几何方程

4、和物理方程，可以将 薄板内任一点的位移分量、应变分量、应力分 量和板横截面上的内力，都用挠度w来表示。 下面就来建立这些基本关系式。 一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式 二、薄板中的应力分量表示式 三、薄板横截面上的内力表示式 一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式 （a） 根据上述第一假设，由几何方程知（a）式 成立. 由式（a）的第三式可知，在板内所有的点 ，位移分量w只是x和y的函数而与z无关， 故板内各点的位移分量w沿厚度方向是相同 的。再由式（a）的第五、第六式，有 由第三个假设：（u）z=0=0和（v）z=0=0 可知，f1(x,y)=f2(x,y)=0，于是有 （5-1） 式

5、（5-1）表示，薄板内坐标为（x,y,z ）的任一点，分别在x和y方向的位移沿板 厚方向呈线性分布，中面处位移为零，在 上、下表面处位移最大。 利用式（a）的第一、第二和第四式， 得应变分量的表示式 由此可见，应变分量x,y,xy也是沿板厚呈线性分布， 在中面为零，在上、下板面处达极值。 （5-2） (a) 二、薄板中的应力分量表示式 根据上述的第一个和第二个假设，物理方程简化为 这是薄板小挠度弯曲时，主要应力x，y和xy与挠度w的关 系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零 ，在上、下板面处达到极值。 （5-3） 次要应力分量 按假设，z，xz和yz应为零，实际上 ，它们只是远

6、小于x，y和xy的次要 的应力分量，对于它们所引起的变形可 略去不计，但对于维持平衡，它们不能 不计。为了求得它们，现考虑不计体力 的平衡微分方程： 如体力分量FZ及下表面上的 面力不等于零，对簿板来说 ，可以归入板上表面的面力 ，这样处理只会影响次要应 力z，于是板上、下表面 的静力边界条件为： 这里q为薄板单位面积 内的横向荷载。 （d） （c） （5-4） （5-5） 式（5-4）就是切应力xz和yz与挠度w的关系 式，它们表明，剪应力xz和yz沿板厚方向呈抛物 线分布，在中面处达最大值，这也与梁弯曲时剪应 力沿梁高方向的变化规律相同。 z沿板厚呈三次抛物线规律分布（图5-2）。 将式（

7、5-3）代入方程（c），经积分后，利用边 界条件（d）的前三式，不难得到以下结果: 三、薄板横截面上的内力表示式 下面要建 立这些合 成内力与 挠度之间 的关系。 阴影微分面单位宽度上的正应力和 切应力的主矢量分别为xdz，ydz 和xy=yxdz。由于x，y，沿板厚 按线性规律分布，以及分布的反对 称特性，所以，它们在板的全厚度 上的主矢量为零。 构成力偶，Mx，My，Mxy和Myx表 示它们在单位宽度内的力偶矩 称为板的抗弯刚度，其意 义和梁的抗弯刚度相似。 （5-7 ） （5-6 ） 图5-4 横向剪力 切应力分量只可能合 成横向剪力，在每单 位宽度上分别为 （5-8 ） 显然，这里的M

8、x，My分别表示垂直于x轴和y轴的板 的横截面单位宽度上的弯矩，Mxy，Myz分别表示这两个 截面单位宽度上的扭矩，而 和 为这两个横截面单位宽度 上的横剪力，它们统称为板的内力。弯矩和扭矩的量纲 为力，横向剪力的量纲为力长度-1。按弹性力学关 于应力分量指向的规定，弯矩Mx，My以使板横截面上 z0的一侧产生正号的正应力x，y时为正；扭矩Mxy， Myz使板横截面z0的一侧产生正号的剪应力 时为正；横 剪力 ， 使板截面产生正号的剪应力 时为正，如图5-4。 由式（5-3）、式（5-4）与式（5-6）、式（5-8）比 较后可以看出，应力分量又可通过相应的内力表示为 与材料力学中梁的弯曲应 力

9、和横向切应力公式相似 。 5-3 薄板弯曲的微分方程 通过板内任一单元体的平衡，可进而建立挠度w所满 足和微分方 程。薄板弯 曲的小挠度 问题，是以 挠度w作为 基本未知函 数求解的， 属位移解法。 建立绕度w所需要满足的基本方程 先考察板中边长为dx和dy而高为h的矩形 微分单元体的平衡，为了便于表示，将 内力标在单元体中面的四条边上，其中 ，弯矩及扭矩按右手法则用矩矢表示， 横剪力用力矢表示，如图5-5所示。上面 作用有横向分布荷载q。 对于图5-5所示的空间一般力系，六个平 衡条件中有三个方程Fx=0，Fy=0， Mz=0已经满足。现要从其余三个方程导得内力所必须满 足的平衡微分方程。由

10、Fz=0，有 化简后约去dxdy，得 对过板单元中心而与y轴及x轴平行的直线取力矩的平衡方 程，化简以后，略去微量，得到 （5-10） （5-11） 式（5-10）和式（5-11）即为内力表示的平衡微分方程， 将式（5-11）代入式（5-10），又可得到用弯矩、扭矩及 荷载表示的平衡微分方程： 将式（5-6）代入式（5-12），则得出薄板弯曲的基本方程 ： （5-12） （5-13） 此方程称为薄板的弹性曲面微分方程或挠曲微分方程 。这样，问题就归结为在给定的板边界条件下求解方程式 （5-13），求得挠度w后，可按式（5-3）、式（5-4）、式 （5-5）求得应力分量，由式（5-6）、式（5-

11、8）求得薄板 的内力。 5-4 边界条件 有了以挠度表示的内力表达式（5-6）和式（5-8） ，接下来以矩形薄板为例，讨论板边几种常见的边 界条件 如果已知作用在板边外力的静力效应，即已知这些 外力所产生的弯矩、扭矩和横向剪力，则严格地说 ，板的三个内力，即弯矩、扭矩和横向剪力的边界 值，应一一对应地与这些外加的弯矩、扭矩和横向 剪力相等。可见，在每个边界上有三个边界条件。 但薄板弯曲的基本方程（5-13）是四阶的椭圆型偏 微分方程，根据偏微分方程理论，在每边上，只需 要两个边界条件。 对此，基尔霍夫作了如下巧妙的处理：他将边界上的 扭矩变换为静力等效的横向剪力，再将它与原来的横向剪 力合并成

12、总的分布剪力。这样，就将每边上的三个边界条 件归并成两个边界条件。 下面，具体考虑扭矩的等效变换情况。 设AB为平行于x轴的板边，其上作用有连续分布的扭 矩Myx（x,y）。若在宽度为dx的mm段上的扭矩为Myxdx， 则在宽度为dx的np段上的扭矩为 dx，如图5- 6(a）所示。微段mm上的扭矩Myxdx可以用两个分别作用 于m点和n点的横向剪力Myx代替，一个向下，另一个向上 。对 于作用在微段np上的扭矩 也可采取同样的变 换，于是得到图5-6（b）所示的受力情况。注意，在两个微段的交 界点n处，向上的横向剪力Myx和向下的横向剪力 将合成 一个向下的横向剪力 。这个力又可用分布在以n

13、点为中心 、 长度为dx微段上的分布剪力 来代替，这个分布剪力 的方向向下。对板的整个边界都如此处理，该边界上的分 布扭矩就变换为等效的分布剪力 。将它与原来的横向 剪力 相加，得到AB边上的总的分布剪力： （5-14） 的符号规定与 相同。必须注意，在板边的两端A 和B还有两个未被抵消的集中力（Myx）A和（Myx）B，如 图5-6（b）所示。 若对平行于y轴的板边CB采用同样的做法，则可将作 用于CB上的连续分布扭矩Mxy变换为等效的分布剪力 （ 见图5-6（b），该边上总的分布剪力为 （5-15） 的符号规定与 相同。在边界两端C和B也有两个集中 力（Mxy）c和（Mxy）B。 （b）

14、图5-6 当对矩形薄板的每条边界上的扭矩都进行上述变换后 ，在两边相交的角点，例如AB和CB边的交点B，将合成 一个集中力FRB，即 FRB=（Myx）B+（Mxy）B2（Mxy）B（5-16） 这个集中力的指向，应由 扭矩（Mxy）B的符号来判 断。同理，可以得到O，A ，C三个角点上的集中力。 图5-7表示当四个角点上的 扭矩都为正时的指向。 图5-7 FRB=2（Mxy）B （5-6） （5-14） （5-15） （5-16） （5-19） （5-18） （5-17） （5-8） 将式（5-6）的第三式和式（5-8）代入式（5-14）式（5-16），则 Vx，Vy和RB都可用挠度w来表示

15、，即 （5-17） （5-18） （5-19） 板的边界一般有简支边、固定边和自由边三种情况。 图5-8所示的OC边为简支边界，OA为固定边界，AB和BC 边为自由边界。现分别建立它们的边界条件。 （1）简支边界 简支边上的挠度和弯矩为零，即 图5-8 简支边界 固定边界 自由边界 自由边界 C B A （w）y=0=0 但由于（w）y=0=0，必 然有 所以，简支边的边界条件可写为 （5-20） （2）固定边界 固定边界上的挠度和转角为零，故有边界条件： （5-21） （3）自由边界 自由边界上的弯矩和总的分布剪力为零。例如，对于图5- 7中的AB边，应有（My）y=b=0，（ ）y=b=0；对于CB边 ，应有（Mx）x=a=0，（ ）x=a=0。注意到式（5-6）的前 两式和式（5-17）、式