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1、1 第四章第四章 角动量定理 天体运动 2 4.1 角动量定理角动量定理 4.1.1 质点角动量定理质点角动量定理 质点的运动状态：) ,(vr vv rdFvvmd dtFvmd v v vv v v ) 2 1 ( )( 相对某参考点的转动：相对某参考点的位置矢量r 速度v r v v v 运动 转动 3 惯性系 S 中的一个运动质点 在运动过程中相对某参考点O的径矢 r 会相应的旋转 在 dt 时间 质点位移为 vdt，转过角度d r 便会扫过面积 dS dtvrdS vv = 2 1 面积速度vr dt dSvv = 2 1 )(tr v dtv v )(dttr+ v d O 动量定
2、理动量速度 角动量定理角动量面积速度 4 质点在 S 系中相对参考点O的角动量 L prvmrL vvvv v = 角动量随时间的变化与什么有关呢？ dt pd rp dt rd dt prd dt Ld v vv vvv v += = )( 其中 F dt pd pvp dt rd v v vvv v = , 0 Fr dt Ld v v v = r v p v L v 5 质点所受力相对参考点 O 的力矩FrM v v v = 质点角动量定理： 质点所受力相对某参考点的力矩 等于质点相对该参考点角动量的变化率。 dt Ld M v v = 处理转动的所有公式都是从这个公式导出 6 h 力矩
3、力矩 FhrFM=sin 力臂 h：点 O 到力 F 作用线的距离。 在直角坐标系中，M 可用行列式表述成 z y x Fzk Fyj Fxi FrM v v v v v v = 它的三个分量：LL, xyz yFxFM= r v F v 7 质点所受各分力Fi相对同一参考点的力矩之和， 等于合力F相对该参考点的力矩。 MFrFrFrM i i i i i i vv v v v v v v = 两质点之间一对作用力与反作用力 相对于同一参考点力矩之和必为零。 0)( 22121222212211 =+=+FrFrrFrFrFrFr v v v vv v v v v v v v v 1 r v
4、2 r v 21 r v 1 F v 2 F v 1 2 8 若过程中 M 恒为零，则过程中 L 为守恒量 若过程中 Mz 恒为零，则过程中 Lz 为守恒量 常矢量=LM vv 0 有心力：质点所受力 F 若始终指向一个固定点 O，O为力心。 常量= zz LM 0 9 例例1相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量 A B v v gm v 1 d 2 d 参考点A： 重力矩= 1 mgdM 角动量 0=L v 参考点B： 重力矩= 1 mgdM 角动量= 2 mvdL 10 例例2 匀速圆周运动 O O 选择圆心O为参考点 力矩0=M v 角动量mvRL = R 心 F v v v 其它任
5、何点则没有这种情况其它任何点则没有这种情况 角动量守恒 11 例例3 地球绕太阳公转 选择太阳为参考点 万有引力的力矩为零 CL M vv v = = 0 12 例例4 O O 圆锥摆如图，摆线长l，小球质量m， 取悬挂点O为参考点， 求摆球所受力矩和摆球角动量。 l T v gm v 摆球受张力和重力 张力对O点力矩为零 摆球所受力矩sinmglM = 摆球角动量mvlL =方向如图 L v 选另一参考点 O 13 例例5 O l T v gm v z dt d mlmlvL mglM z z 2 sin = = 导出单摆的摆动方程 力矩和角动量都只有 z 轴分量 采用小角度近似 sin l
6、 g dt d = 2 2 利用角动量定理 14 例例6 O A 0 v v 0 r T v 小球绕O作圆周运动，如图所示。 （1）求B端所受竖直向下的外力T0 （2） T0极缓慢增到 2T0，求v （3）用功的定义式求拉力所作的功。 B 分析物理过程分析物理过程 以O为参考点，力矩为零，角动量守恒。 T0极缓慢增大，径向速度可略，中间过程近似为圆周运动。 15 O A 0 v v 0 r T v B 解解 （1） 0 2 0 0 r v mT = （2） 角动量守恒 00r mvmvr = 圆周运动 0 2 0 0 2 2 2 r mv T r mv = 3 0 0 3 2 ,2 r rvv
7、= 16 （3）拉动过程中，小球作螺旋线运动 TdrrdTdW= v v 3 2 0 2 0 2 r rmv r mv T= ) 14( 2 1 32 0 2/ 3 2 0 2 0 3 0 0 = mvdr r rmv W r r 它恰好等于小球的动能增量 ) 14( 2 1 2 1 2 1 32 0 2 0 2 =mvmvmvEk 17 第四章作业第四章作业 A组组 4、6、8、9、10 13 、14、15、16 B组组 24、26、30、32 18 4.1.1 质点系角动量定理 角动量守恒定律质点系角动量定理 角动量守恒定律 在惯性系S中，质点系相对O点的角动量 L = i i LL vv
8、 0= 内 M v 质点系角动量定理质点系角动量定理： 质点系各质点所受外力相对同一参考点的力矩之和 等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率。 dt Ld M v v = 外 19 质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒定律 若过程中M外恒为零，则过程中L为守恒量。 若过程中M外x（或M外y，M外z）恒为零， 则过程中Lx（或Ly，或Lz）为守恒量。 非惯性系中质点系的角动量定理非惯性系中质点系的角动量定理 dt Ld MM v vv =+ 外惯 20 例例7 l l h 1 m 2 m质量可略、长2l的跷跷板 静坐着两少年，左重右轻， 左端少年用脚蹬地， 获得顺时针方向角速度0。 求0至
9、少多大时，右端少年可着地？ z O 力矩coscos 21 glmglmM z += 系统角动量 2 21 )(lmmLz+= 21 角动量定理 d d lmm dt d lmm dt dL M z z 2 21 2 21 )()(+=+= 积分 () +=+ 0 2 2121 0 0 0 )()(cos)( dlmmdglmm l h = 0 sin 2 0 2 2121 )( 2 1 )(2lmmghmm+=此即机械能守恒 21 21 0 )(2 mm ghmm l+ = 22 例例8 水平大圆盘绕中心竖直轴 以角速度旋转，质量m的 小球从中心出发，沿阿基米德螺 线运动，角动量 L 守恒。
10、 试求小球所受真实力的 横向分量和径向分量。 阿基米德螺线 =r O 角动量 L 守恒 dt d mrL 2 = m 22 , =r m L dt d dt dr r m L dt d 23 5 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 ,2 =r m L dt rd r m L dt d 圆盘系中小球所受合力 vvv v +vmrmF2 2 合力的横向分量 合力的径向分量 r mvF2 mvmrFr2 2 + 角动量 L 守恒，横向力为零 2 22 =LrmvF r 径向力应合成mar 322 2 12 2 2 2 2 )21 (2 2 += = rr m L rLmr mvmr dt d
11、 r dt rd mFr 24 4.1.3 外力矩 重心 对称球的外引力分布中心外力矩 重心 对称球的外引力分布中心 外力矩是质点系角动量变化的原因 合力为零的外力矩合力为零的外力矩 质点系所受外力的合力为零时，外力矩与参考点无关。 O O R v 外 外 M FRFr FRrM i i i ii i ii v vvv v vv v v = = = )( i r v i r v i F v 25 一对力偶一对力偶 大小相同、方向相反且不在同一直线上的两个力 221112 FrFrM v v v v v = 力偶的力矩不依赖于参考点的选择 1 2 1 F v 2 F v 21 r v 12 r
12、v 26 重心重心 位于rG的几何点称为质点系的重心 m rm r i ii G = v v 质量均匀分布，几何结构具有对称性的物体，重心位于其几何中心 27 质点系各质点重力的冲量和等于质点系重力的冲量 质点系各质点重力作功之和 等于质点系重力作用于重心处所作的功 G i ii i iii i i rdgmrmdgrdmgrdgm vvvvvvvv = = )( 重力势能G i ii i ii mghghmghm= = 重力的力矩 ()()gmrgrmgrmgmr GG i ii i ii vvvvvvvv = = )( 重心是质点系重力分布中心 猫的空中转体猫的空中转体 28 对称球的外引
13、力分布中心对称球的外引力分布中心 P 球心是对称球的外引力分布中心 29 例例9 质量 M 的均匀麦管放在光滑桌面上，一半在桌面外。 质量 m 的小虫停在左端，而后爬到右端。随即另一小虫 轻轻地落在该端，麦管并未倾倒，试求第二个小虫的质量。 麦管长L，小虫相对麦管速度u，麦管相对桌面左行速度v 系统动量守恒Mvvum= )( 麦管移入桌面长度 L mM m udt mM m vdtx tt + = + = 00 30 分两种情况讨论： （1） 2 , L xmM 麦管全部进入桌面，第二个小虫可取任何值。 （2） 2 , L xmM 麦管和二个小虫相对桌边的重力矩应该满足 Mgxx L gmm
14、位于焦点为抛物线时ME , , 1 , 0 )2(= 位于其中一个焦点为椭圆时ME , , 1 , 0 )3(=AArrf 吸引性的有心力的一般形式 取不同值对应不同的吸引性的有心力， 对应的势能的一般形式为 1 , 1 1 )( 1 + + = + CArrV 89 1 ,)(=Arrf 有心力具有胡克力的性质 2 2 2 2 1 2 )(Ar mr L rVequ+= )(rV )(rVc min E E )(rVequ 0 r 1 r 2 rr 轨道是圆 则 若 , 0 min = = r v EE 其它则轨道为椭圆 90 )(rV )(rVc )(rVequ 0 r r 1 ,)(=
15、r A rf r mr L rVequln 2 )( 2 2 += 91 2 ,)( 2 = r A rf 有心力如引力和库仑力 r A mr L rVequ= 2 2 2 )( )(rV )(rVc min E E )(rVequ 0 r 1 r 2 r r + E 轨道是圆 则 若 , 0 min = = r v EE 双曲线抛物线椭圆 0 ; 0 ; 0= A m L 0 2 A m L A m L = 2 93 4 ,)( 4 = r A rf 32 2 32 )( r A mr L rVequ= Bertrand定理：只当有心力为平方反比力或Hooke力时， 粒子的所有束缚运动轨道才是闭合的。 )(rV )(rVc )(rVequ 94 Bertrand定理的证明 能量 E 守恒 ErVrrm=+)()( 2 1 222 & & lmr= & 2 角动量 L
