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1、福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三数学最后一模试题 文（含解析）一：选择题。1.已知集合，则的真子集共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】先求得两个集合的交集，然后计算出真子集的个数.【详解】依题意，其真子集为，只有一个真子集，故选B.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查真子集的个数，属于基础题.2.已知为虚数单位，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，对题目所给表达式进行化简.【详解】依题意，原式，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧
2、：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.3.某城市2018年12个月的PM2.5平均浓度指数如下图所示，根据图可以判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（ ）A. 第一季度B. 第二季度C. 第三季度D. 第四季度【答案】B【解析】方差最小的数据最稳定,所以选B.4.已知点，若向量，则向量（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得，然后利用向量的减法运算求得.【详解】依题意，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量的减法运算，考查平面向量的坐
3、标运算，属于基础题.5.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数图像上特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于A,B两个选项，不符合图像，排除A,B选项.对于C选项，不符合图像，排除C选项，故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：）为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图得到几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，由此计算出几何体的体积.【
4、详解】由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，故体积为，故选A.【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查圆柱和长方体体积的计算，属于基础题.7.“对任意的正整数，不等式都成立”的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】原不等式等价于，当时，成立，当时，要使成立，只需成立，即，由此求得原不等式成立的充要条件，从而可以从选项中确定出原不等式成立的充分不必要条件.【详解】原不等式等价于，当时，成立，当时，要使成立，只需成立，即，由，知最小值为，所以，所以或是原不等式成立的充要条件，所以是原不等式成立的充分不必要条件，故选B.【点睛】该题考查的是有
5、关充分不必要条件的问题，涉及到的知识点有恒成立问题对应参数的取值范围的求解，充分不必要条件的定义与选取，在解题的过程中，正确求出充要条件对应参数的范围是解题的关键.8.已知公差d0的等差数列 满足a11，且a2、a42、a6成等比数列，若正整数m、n满足mn10，则aman（）A. 30B. 20C. 10D. 5或40【答案】A【解析】【分析】因为a2、a42、a6成等比数列，利用等差数列的基本量可以解出公差，因为，所以可得结果.【详解】解：设等差数列的公差为，因a2、a42、a6成等比数列，所以，即，即，解得或，因为公差d0，所以，所以，故选A.【点睛】本题考查了等比中项、等差数列的基本量
6、等知识，熟练运用等差、等比的通项公式等是解题的关键.9.已知是抛物线上的任意一点，以为圆心的圆与直线相切且经过点，设斜率为1的直线与抛物线交于两点，则线段的中点的纵坐标为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义求得抛物线的方程，设出斜率为的直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，消去，然后利用韦达定理求得中点的纵坐标.【详解】由于为圆心的圆与直线相切且经过点，根据抛物线的定义可知为抛物线的焦点，故，所以抛物线方程为.设斜率为的直线的方程为，则，代入抛物线方程得，即，所以，.即中点的纵坐标为，故选A.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置
7、关系，属于中档题.10.己知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图像沿轴向左平移个单位，得到函数的图像，关于函数,下列说法正确的是（）A. 在上是增函数B. 其图像关于对称C. 函数是奇函数D. 在区间上的值域为-2，1【答案】D【解析】【分析】根据的零点构成一个公差为的等差数列可得函数的周期，从而得出函数的解析式，沿轴向左平移个单位，便可得到函数的解析式，由的解析式逐项判断选项的正确与否.【详解】解：可变形为，因为的零点构成一个公差为的等差数列，所以的周期为，故，解得，所以，函数的图像沿轴向左平移个单位后得到，选项A：，解得：，即函数的增区间为显然，故选项A错误；选项B：令，解得：，
8、即函数的对称轴为不论取何值，对称轴都取不到，所以选项B错误；选项C：的定义域为R，因为，所以函数不是奇函数，故选项C错误；选项D：当时，故，根据余弦函数图像可得，故选项D正确.故本题应选D.【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，考查了图像平移的规则，整体法思想是解决本题的思想方法.11.如图，平面四边形ABCD中，E、F是AD、BD中点，ABADCD2， BD2 ，BDC90，将ABD沿对角线BD折起至，使平面平面BCD，则四面体中，下列结论不正确是 ( )A. EF平面B. 异面直线CD与所成的角为90C. 异面直线EF与所成的角为60D. 直线与平面BCD所成的角为30【答案】C【解析】
9、【分析】根据线线平行判定定理、异面直线所成角、直线与平面所成角等知识对选项A、B、C、D进行逐一判断其正确与否.【详解】解：选项A：因为E、F是AD、BD中点，所以，因为平面，平面，所以EF平面，所以选项A正确；选项B：因为平面平面BCD，平面平面BCD，且BDC90，即，又因为平面BCD，故平面，故，所以异面直线CD与所成的角为90，选项B正确；选项C：由选项B可知平面，所以，因为ADCD2，即CD2，所以由勾股定理得，在中，BC，在中，故，即，因为，所以，故选项C错误；选项D：连接因为所以因为是中点，所以，因为平面平面BCD，平面平面BCD，又因为平面，故平面，所以即为直线与平面BCD所成
10、的角，在中，所以，所以，故直线与平面BCD所成角为30，故选项D正确，本题不正确的选项为C，故选C.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，解题的关键是要能准确运用线面平行的判定定理给与证明，能准确分析出线线、线面所成角等.12.已知是自然对数的底数，不等于1的两正数满足，若，则的最小值为（）A. -1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算公式，化简，求得的值，由此求得的关系式，化简，并利用导数求得最小值.【详解】依题意，即，由于，故上式解得，即.所以.构造函数（为不等于的正数）.，故函数在上递减，在上递增，所以最小值为.故选D.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用导数
11、求表达式的最小值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题.13.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著数书九章中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n、x的值分别为3、 ，则输出v的值为_【答案】【解析】【分析】此程序框图是循环结构图，模拟程序逐层判断，得出结果.【详解】解： 模拟程序：的初始值分别为第1次循环：，不满足；第2次循环：，不满足； 第3次循环：，满足；故输出.【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，解题的关键是要读懂循环结构的流程图，根据判断框内的条件逐步解题.14.若满足约束条件，则目
12、标函数的最大值等于_【答案】2【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15.双曲线的焦点是，若双曲线上存在点，使是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率是_【答案】【解析】【分析】根据双曲线的对称性可知，等腰
13、三角形的腰应该为与或与，不妨设等腰三角形的腰为与，故可得到的值，再根据等腰三角形的内角为，求出的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.【详解】解：根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为与或与，不妨设等腰三角形的腰为与，且点在第一象限，故，等腰有一内角为，即，由余弦定理可得，由双曲线的定义可得，即，解得：.【点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.16.已知是球的球面上的五个点，四边形为梯形，平面平面，则球的表面积为_【答案】【解析】【分析】设的中点为，证明是球的球心，由此求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】设中点为，设中点为
14、，作出图像如下图所示，由于，,平面平面,所以,平面，故.由于，所以，.所以，故点到的距离相等，所以为球心，且球的半径为，故表面积为.【点睛】本小题主要考查几何体外接球球心的位置的求法，考查球的表面积公式，属于中档题.三、解答题.17.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinAsinBcosBsin2BcosA2 sinCcosB.(1)求tanB的值；(2)若ABC的外接圆半径为R，求的值【答案】(1) tanB2. (2)【解析】【分析】（1）利用两角和差公式对式子sinAsinBcosBsin2BcosA2sinCcosB进行化简，便可得到结果；（2）利用同角三角函数关系可得结果.【详解】解：(1)等式sinAsinBcosBsin2BcosA2sinCcosB化简得，sinB(sinAcosBcosAsinB)2sinCcosB，sinBsin(AB)2sinCcosB，,
