《初等数论一整除演示文稿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初等数论一整除演示文稿（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5算术基本定理整数分解唯一性定理也称算术基本定理在给出并证明该定理前先介绍预备定理.定理若p为素数则a不能被p整除当且仅当:(pa)=1123201918:31定理1设a1a2an都是正整数且p是素数.若p|a1a2an则至少有一个ar使得p|ar其中1rn.证明假设ai不能被p整除1in.从p是一素数和定理得到(pa1)=(pa2)=(pan)=1.所以由定理5推论得到(pa1a2an)=1这与题设p|a1a2an矛盾故必有一ar使得p|ar其中1rn.123201918:31推论设p1p2pn和p都是素数n2.若p|p1p2pn则至少有一个pr使得p=pr.证明由p|p1p2pn和定理1知
2、至少存在一个pr使得p|pr.由于pr是素数故它只有二个正因数1和pr.由p1和p|pr所以:p=pr.123201918:31定理2(整数分解唯一性定理)每个大于1的正整数a均可分解成有限个素数之积并且若不计素因数的次序其分解是唯一的.证明先证分解式的存在性.唯一性.当a=2时分解式显然是唯一的.现设比a小的正整数其分解式均是唯一的.考虑正整数a假设a有两个分解式a=plp2pk和a=q1q2ql其中plp2pk和q1q2ql都是素数.123201918:31于是p1|q1q2ql根据定理1知必有一qi使得p1|qi，不妨令i=1即p1|q1显然p1=q1.令a=ap1则a=p2p3pkaq
3、2q2ql.若a=1则a=p1=q1即a的分解式唯一.若a1注意到aa从而由归纳假设知a的分解式是唯一的.因此k=l并且p1=q1pk=qk再由p1=ql知a分解式也是唯一的.123201918:31若将a的分解式中相同素因数合并为它的幂数则任意大于1的整数a只能分解成一种形式:(2)p1p2psn1其中p1p2ps是互不相同的素数是正整数.并称其是a的标准分解式.123201918:31推论3使用式(2)中的记号，有()d是a的正因数的充要条件是d=(3)eiZ，0eii，1is；()n的正倍数m必有形式m=M，MN，iN，ii，1is。123201918:31推论设正整数a与b的标准分解式
4、是其中pi(1ik)，qi(1il)与ri(1is)是两两不相同的素数ii(1ik)i(1il)与i（1is）都是非负整数，则(ab)=，i=minii1ik，ab=，i=maxii，1ik。123201918:31推论4设正整数a与b的分解式是其中p1p2ps是互不相同的素数，i，i（1ik）都是非负整数，则123201918:31推论5设a，b，c，k是正整数，ab=ck，(ab)=1，则存在正整数u，v，使得a=uk，b=vk，c=uv，(uv)=1。证明设，其中p1p2ps是互不相同的素数，i（1is）是正整数。又设其中i，i（1is）都是非负整数。显然minii=0，ii=ki，1i
5、s，因此，对于每个i（1is），等式i=ki，i=0与i=0，i=ki有且只有一个成立。这就证明了推论。证毕。123201918:31推论6设a是正整数，表示a的所有正因数的个数.若a有标准素因数分解式(2)，则推论7设a是正整数，表示a的所有正因数的之和.若a有标准素因数分解式(2)，则123201918:31例1证明：（abc)=(ab)(ac)例2求，例3求123201918:317函数x与xn!的分解式123201918:31定义1设x是实数，以x表示不超过x的最大整数，称它为x的整数部分，即x是一个整数且满足xxx+1.又称x=xx为x的小数部分。123201918:31定理1设x与
6、y是实数，则()xyxy；()若x=m+vm是整数，0v1则m=xv=x，特别地，若0x1，则x=0，x=x；()若m是整数，则mx=mx；()xy=；()x=；123201918:31x=.()对正整数m有()设a和N是正整数.那么，正整数中被a整除的正整数的个数是123201918:31证明能被a整除的正整数是a2a3a，因此，若数12N中能被a整除的整数有k个，则kaN(k1)akNak1k=证毕。由以上结论我们看到，若b是正整数，那么对于任意的整数a，有即在带余数除法a=bqr，0r0(1js)并且n=a1+a2+as.证明：n!a1!a2!as!是整数.123201918:31例5设n是正整数，1kn1，则N(3)若n是素数，则n，1kn1.证明由定理2，对于任意的素数p，整数n!，k!与(nk)!的标准分解式中所含的p的指数分别是利用例4可知123201918:31因此是整数。若n是素数，则对于1kn1，有(nk!)=1，(n(nk)!)=1(nk!(nk)!)=1，由此及N，推出k!(nk)!(n1)!，从而n.证毕.123201918:31
