湖南省长沙市2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)数学(理)试题(解析版)

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1、长郡中学2019届第一次适应性考试数学(理科)试题第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设为虚数单位.若复数是纯虚数,则复数在复面上对应的点的坐标为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出,化简为,问题得解。【详解】因为复数是纯虚数,所以,解得:,所以复数可化为,所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选:D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识,属于基础题。2.已知集合若,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B,利用列

2、不等式即可求解。【详解】由得:或.所以集合.由得:.又,所以(舍去)或.故选:B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质,考查计算能力,属于基础题。3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法,该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形,后人把此证法称为“总统证法”.现已知,若从该直角梯形中随机取一点,则该点也在的内切圆内部的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理,求得CE、DE的长,再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径,根据几何概型概率求法求得点在CDE内部的概率即可。【详解】由勾股定理可得CE=ED=5因为CE

3、ED,所以 等腰直角三角形CED的内切圆半径 所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为 直角梯形的面积为 所以从该直角梯形中随机取一点,则该点也在的内切圆内部的概率为 所以选C【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,直角三角形内切圆半径及面积求法,属于基础题。4.已知为锐角,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】因为,再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式,展开即可求值。【详解】因为为锐角因为 所以大于90由同角三角函数关系,可得所以= 所以选D【点睛】本题考查了三角函数式的变形,和角公式的应用,注意判断的符号,属于中档题。5.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的的值

4、满足( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据流程图,依次算出x、y的值,直至满足大于等于,再求得x与y的关系即可。【详解】根据输入,代入流程图得 此时,所以满足所以选C【点睛】本题考查了程序框图循环结构的应用,数列中裂项法求和的应用,属于中档题。6.已知命题数列的通项公式为 为实数,且恒为等差数列;命题数列的通项公式为 时,数列为递增数列.若为真,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式和定义,可分别求得满足各自条件的a取值范围,再由为真可求得a的取值范围。【详解】因为的通项公式为,且恒为等差数列所以由等差数

5、列通项公式可得a=0因为数列的通项公式为 时,数列为递增数列所以由等比数列及递增数列可知 又因为为真所以a的取值范围为 ,即实数的取值范围为所以选B【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的定义及参数取值范围的求法,属于基础题。7.已知函数,则定积分的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据积分定义,将积分区间分为两段分别求:左段可根据微积分基本定理求得积分值,右段根据几何意义求得积分值,两个部分求和即可。【详解】因为所以 的几何意义为以为圆心,以为半径的圆,在x轴上方的部分因而 所以所以选A【点睛】本题考查了积分的求法,微积分基本定理的应用及利用几何法求积分值,属于中档题

6、。8.函数某相邻两支图象与坐标轴分别变于点,则方程所有解的和为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点可求得,从而得到,求出函数及的对称点,从而发现它们都关于点对称,在同一坐标系中,作出与的图像,结合图像即可求解。【详解】由函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点,可得:.解得:.所以将代入上式得:=0,解得:=,又,所以.所以.令=,则所以的图像关于点对称。令,且=,解得:.所以的图像关于点对称.所以函数与的图像关于点对称.在同一坐标系中,作出与的图像,如图:由图可得:函数与的图像在上有两个交点,这两个交点关于点对称.所以方程有且只有两

7、个零点,且 .所以方程所有解的和为:.故选:A.【点睛】本题主要考查了三角函数图像以及三角函数性质,考查了转化思想及方程思想,考查计算能力,属于中档题。9.已知某长方体的三视图如图所示,在该长方体的一组相对侧面,上取三点,其中为侧面的对角线上一点(与对角线端点不重合),为侧面的一条对角线的两个端点.若以线段为直径的圆过点,则的最小值为( )A. B. C. 4 D. 2【答案】B【解析】【分析】根据题意可知,当P位于对角线的中点时,P到AB的距离最短,此时m的值最小。根据勾股定理及等腰直角三角形的边关系可求得m的值。【详解】由题意可知,当P在对角线中点时,以AB为直径的圆过P时m的值最小空间结

8、构体如下图所示 以AB为直径的圆过P,此时APB=90,所以即解得 所以选B【点睛】本题考查了空间几何体的简单应用,属于基础题。10.已知双曲线的左、右焦点分别为,抛物线与双曲线交于纵坐标为1的点,直线与抛物线的准线交于,若,则双曲线的方程为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意,求得M的坐标和抛物线的准线方程,进而求得N点的横坐标。根据向量共线的坐标关系,可解方程得c,再由双曲线定义得a、b,即可求得双曲线的标准方程。【详解】抛物线与双曲线交于纵坐标为1的点所以 ,所以抛物线准线方程为,即N点的横坐标为设,由 所以解得c=3所以焦点坐标为(-3,0),(3,0)由双

9、曲线定义可得 所以 ,所以双曲线标准方程为所以选C【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用,向量在圆锥曲线问题中的应用,双曲线标准方程的求法,属于中档题。11.小明站在点观察练车场上匀速行驶的小车的运动情况,小车从点出发的运动轨如图所示.设小明从点开始随动点变化的视角为,练车时间为,则函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】过点O作曲线的切线,切点为B,E,再过点O作一直线CD与曲线部分重合,如图,从图像分析即可得到选项。【详解】过点O作曲线的切线,切点为B,E,再过点O作一直线CD与曲线部分重合,如图,当小明从点行驶到点B时,递增,当小明从点行驶到点C时,递

10、减,当小明从点C行驶到点D时,为常数,当小明从点D行驶到点E时,递减,当小明从点E行驶到点P时,递增,故选:D【点睛】本题主要考查了图像特征,考查了分析能力及转化能力,属于基础题。12.定义,已知为函数的两个零点,若存在整数n满足,则的值( )A. 一定大于 B. 一定小于 C. 一定等于 D. 一定小于【答案】D【解析】【分析】由为函数的两个零点可得:,.令,得到.即:,将变形为,从而可得.问题得解。【详解】由题可得:.又为函数的两个零点,所以,.将函数图像往上平移时,开口大小保持不变,如图当函数图像往上平移时,变大,即:当时,越大,又由二次函数的对称性得:当时,最大令,则:,就是。又 =

11、由已知得,所以一定小于,所以一定小于.故选:D【点睛】本题主要考查了韦达定理及方程与函数关系,考查了计算能力及转化能力,属于中档题。第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.在平行四边形中,点是的中点,点是的中点,记,用表示,则_.【答案】【解析】【分析】将写成的线性和的形式,解方程组求得的表达式.【详解】画出图像如下图所示,由图可知,解由组成的方程组,求得.【点睛】本小题主要考查平面向量的加法和减法运算,考查向量在几何图形中的应用,属于基础题.14.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱,到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物;从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加

12、坡空军机徽,太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用小等式组或来表示,设是阴影中任意一点,则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】直接利用线性规划知识求最值。【详解】如图,作出直线:,当直线往上平移至与阴影部分的圆的边界相切时,最大,此时圆心到直线的距离等于半径1,即: .解得:【点睛】本题主要考查了线性规划知识,考查转化能力及直线与圆相切的几何关系,属于基础题。15.已知圆,圆圆与圆相切,并且两圆的一条外公切线的斜率为7,则为_.【答案】【解析】【分析】根据题意作出如下图形:由圆方程求出圆心

13、连线斜率为:,计算出圆心距,再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角,从而在直角三角形中列方程求得,联立方程即可求出,问题得解。【详解】根据题意作出如下图形:AB为两圆的公切线,切点分别为A,B.当公切线AB与直线平行时,公切线AB斜率不为7,即不妨设过作AB的平行线交于点E,则:,且,直线的斜率为:,所以直线AB与直线的夹角正切为:.在直角三角形中,所以,又,整理得:,解得:,又,解得:,所以=.【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式,还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想,属于中档题。16.在各项均为正数的等比数列中,当取最小值时,则数列的前项和为_【答案】【解析

14、】【分析】根据等比数列通项公式及,则;求导函数,令导函数等于0,可求得当取最小值时q的值,进而求得的值,得到通项公式,代入数列可得;结合错位相减法可求得前n项和。【详解】等比数列中,所以 ,令则,令解得 ,因为各项均为正数的等比数列所以当时,当时,所以在时取得最小值设,代入化简可得 所以 两式相减得【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用,错位相减法求和,导数在求最值中的综合应用,考查知识点较多,属于难题。三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答17.已知中,内角所对的边分别为,且.(1)若,求;(2)若的面积为,求的周长.【答案】(1)(2

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