《函数的奇偶性、周期性（二课时）届高考文科数学一轮考点总复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的奇偶性、周期性（二课时）届高考文科数学一轮考点总复习（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 函数 1 2.5 函数的奇偶性、周期性 第二课时 题型4 函数周期性的定义 1. 已知定义在R上的函数f(x) 满足f(x+2)+f(x)=0，则f(x)的周期是( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 2 解：由已知，f(x+2)=-f(x)， 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， 显然，f(x)的周期为4，选C. 点评：由本题可知，若定义域 为R的函数f(x)满足：f(x+a)=-f(x)(a0) ，则f(x)是周期为2a的周期函数.相应 地还有：若f(x+a)= 或f(x+a)=- ，则f(x)是周期为2a的周期函数. 3 已知定义在R上的奇函 数f(x)满足：对任
2、意实数x都有 f(x+2)+f(x)=0，且当x0，1时， f(x)=3x，则f( )的值为( ) A. 1 B. -1 C. D. 解：由已知f(x+2)=-f(x) f(x+4)=- f(x+2)=f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数. 又f(x)为奇函数，所以f( )=f( - 16)=f(- )=-f( )=-1，故选B. 4 2. 定义在R上的函数f(x)满足： f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0. (1)证明:这个函数既是奇函数,又是 周期函数； (2)若f(-3)=1，求f(2011)的值. 解：(1)证明：因为f(2-x)+f(x- 2)=0， 令t
3、=x-2代入,有f(-t)+f(t)=0，所以 f(x)为奇函数. 所以f(4-x)=-f(x-4)，即有f(x)=-f(x-4) ， 所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)， 故f(x)是周期为8的周期函数. (2)f(2011)=f(2518+3)=f(3)=-f(-3)=- 1. 题型5 抽象函数奇偶性、周期性的判定与证明 5 点评：处理抽象函数的奇偶 性和周期性的关键是对其抽象性质 进行变形、配凑，如本题中观察到2 -x与x-2是互为相反数，则可判断其 奇偶性，然后利用奇偶性将f(4-x)变 换为-f(x-4). 6 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且函数y=f(x)的图象关
4、于直线x=a (a0，为常数)对称，证 明：f(x)是周期函数. 证明：由已知f(-x)=-f(x)，且 f(a+x)=f(a-x)， 所以f(2a+x)=fa+(a+x) =fa-(a+x)=f(-x)=-f(x)， 所以f(4a+x)=-f(2a+x)=f(x)， 所以f(x)是周期函数，且周期为4a. 拓展练习拓展练习 7 3. 若y=f(2x)的图象关于直线 和 (ba)对称，则f(x)的一个周期为( ) A. B. 2(b-a) C. D. 4(b-a) 解：因为y=f(2x)关于直线 对 称， 所以f(a+2x)=f(a-2x)， 所以f(2a-2x)=fa+(a-2x)=fa-(
5、a- 2x)=f(2x). 题型6 函数的对称与周期 同理，f(b+2x)=f(b-2x)，所以f(2b-2x)=f(2x). 所以f(2b-2a+2x)=f2b-(2a-2x)=f(2a-2x)=f(2x). 所以f(2x)的一个周期为2b-2a， 故知f(x)的一个周期为4(b-a).故选D. 8 点评：本题考查函数的对称 性以及周期性，类比三角函数中的 周期变换和对称性的解题规则处理 即可.若函数y=f(x)的图象关于直 线x=a和x=b对称(ab)，则这个函 数是周期函数，其周期为2(b-a)； 若函数y=f(x)的图象关于直线x=a 和点(b,0)对称(ab)，则这个函数是 周期函数
6、，其周期为4(b-a);若函 数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0) 对称(ab)，则这个函数是周期函数 ，其周期为2(b-a). 9 10 11 已知定义在R上的偶函数f(x) 满足:对任意实数x都有f(x+2)=f(x)成 立，且当x2，3时，f(x)=x， 则当x-1，0时，f(x)的解析式 为( ) A. x+4 B. x-2 C. 3-|x+1| D. 2+|x+1| 解：当x-1，0时，2-x 2，3. 由已知f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3- |x+1|， 故选C. 12 1. 证明抽象函数的周期性，关 键是找出其周期，一般通过尝试变形 或类比三角函数获得. 2. 求周期函数在某个区间内的 解析式，先要在该区间内选取自变量 ，再通过周期调节到已知区间，从而 将它转化为已知区间内的函数解析式. 3. 求周期函数的函数值，要通 过周期的调节，将它转化为已知区间 内的函数值来解决. 13 4. 函数的周期性常与函数 的奇偶性结合在一起，解题中要 充分利用f(-x)与f(x)的关系帮助变 形. 5. 函数的周期性有时是一 个隐含条件，根据解题的需要， 可先推断函数的周期性，再解决 相应问题. 6. 研究周期函数的单调性 、值域等性质，只需考虑一个周 期就能得出，同时要注意利用数 形结合的思想分析问题和解决问 题. 14
