《北京大学-舒幼生《力学》课件chapter5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京大学-舒幼生《力学》课件chapter5（83页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第五章 质心 刚体第五章 质心 刚体 2 5.1 质心5.1 质心 5.1.1 质心 质心运动定理 质点系的总质量 = i i mm 每个质点的质量、位矢和受力： iii Frm v v , , 质点系所受合力 = = m rm dt d mrm dt d amFF i ii i ii i ii i i v vv vv 2 2 2 2 质点系的运动质点系的运动 3 质点系的质心 (center of mass) m rm r i ii c = v v 质心速度 dt rd v c c v v =质心加速度 dt vd a c c v v = 质心动量等于质点系的总动量质心动量等于质点系的总
2、动量 = i iic vmvm vv 质心动能 质心角动量 2 2 1 ckc mvE= ccc vmrL vv v = 4 质心运动定理 c amF v v = 合外 质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。 牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的， 那么在大尺度范围内也将是正确的。 特殊的质点系刚体 5 质心的性质 质心在整个物体的包络内 物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。 几个物体的质心满足质心组合关系 m rmrmrm m rm r CCBBAAi ii c L vvv v v+ = 6 例由两个质点构成的质点系的质心 l 1 l 2 l 1 m 2 m 质心
3、位置满足杠杆关系llllmlm=+= 212211 , l m l mm m ll m l mm m l 221 1 2 121 2 1 , = + = + = 7 5.1.2 质点系动力学量的分解 质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。 在质心系中质心静止 0= = c c v r v v 常矢量 质心系中的运动图象 各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。 质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同性的”。 8 质点系的动量 质点系的动量等于质心的动量质点系的动量等于质心的动量 c pp vv = 质点系相对质心的动量总是为零质点系相对质心的动量总是为零0= = i iiv
4、 mp vv 质点系中各质点 mi 相对质心的运动 ) ,( ii vr vv mi O C i r v i r v C r v 在任一参考系中在任一参考系中 质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系 9 质点系的动能 ici vvv+= vvv iii i ii i k vvmvmE vv = 2 1 2 1 2 + += += i ii i iicc i iii i ici i ccik vmvmvmv vvmvvmvvmE 22 2 1 2 1 2 1 2 1 vvv vvvvvv =+= i iikckckkck vmEmvEEEE 22 2
5、 1 , 2 1 , v 资用能 质点系的动能可分解成质心动能与质点系相对质心的动能之和质点系的动能可分解成质心动能与质点系相对质心的动能之和 柯尼希柯尼希(Knig)定理定理 10 核反应中的资用能核反应中的资用能 11 质点系的角动量 iciici vvvrrr+=+= vvvvvv , = i iii vmrL vv v + + + = i iiic i ii i iicc i ic vmrvrm vmrvmrL vvvv vvvv v =+= i iiicccc vmrLvmrLLLL vv v vv vvvv , , 质点系的角动量质点系的角动量 可分解成质心角动量与质点系相对质心的
6、角动量之和可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和 同一参考点质心为参考点 mi O C i r v i r v C r v 其中 12 5.1.3 质心参考系 质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力 cia m v 在质心系中在质心系中 质点系的动能定理和角动量定理质点系的动能定理和角动量定理 质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。 质心系中每一个质点受真实力和平移惯性力作用 质心系中，每个质点所受的惯性力只有平移惯性力 平移惯性力与重力相似 大小正比于质点质量，正比于质心加速度大小 方向沿着质心加速度的反向 13 质心系中质点系动能定理 质心系中质点系动能定理的微分形式
7、 k dEdWdWdW=+ 惯外内 ()()()0= cc i iic i ici rmdarmdardamdW vvvvvv 惯 k dEdWdW=+ 外内质心系中质点系动能定理质心系中质点系动能定理 与惯性系完全相同，机械能定理也相同 质心系中质心位置矢量为常量0= c rd v 0= 惯 dW 14 质心系中质点系角动量定理 dt Ld MM v vv =+ 惯外 质心系中质点系角动量定理 )()()( ccc i ii i cii amrarmamrM vvvvvv v = = 惯 选质心为参考点0 0= 惯 Mr c v v dt Ld M v v = 外 质心系中质点系角动量定理质
8、心系中质点系角动量定理 与惯性系完全相同 15 小结小结 质点系的运动质点系的运动 = 质心的运动质心的运动 + 相对质心的运动相对质心的运动 质心的运动质心的运动 代表了质点系整体的运动 质点系所受合力确定质心的运动：质心运动定理 相对质心的运动相对质心的运动 质心系中质点系动能定理 质心系中质点系角动量定理 质点系的动能、角动量可分解成质心的与相对质心的两部分之和 16 例例带电q的小球A从静止开始在匀强电场E中运动，与前方相距l 的不带电小球B发生弹性碰撞。求从开始到发生k次碰撞电场对 小球A所做的功。 AB m, q0m 分析碰撞过程分析碰撞过程 第一次碰撞用时 qE ml a l t
9、mqEa 22 / 1 = 第k次碰撞用时 11 2tkttk= 17 A，B系统的质心加速度 m qE ac 2 = 在tk时间内质心位移 2 2 1 kcc tas = A球的位移 lss cA 2 1 += 电场力对A所做的功qElkksqEW A ) 122()( 2 += 18 例质量同为m的两个小球，用长为 2l 的轻绳连接后静放在 光滑桌面上，受绳中央的恒力F作用。问在两球第一次相碰 前的瞬间，小球在垂直于F的方向上分速度多大？ m / v v F v F vT v 19 在随小球沿受力方向平行运动的非惯性系中，只有力 F 作功 利用动能定理 2 2 1 2 =mvFl m Fl
10、 v = 在质心系中，只有力 F 作功 20 例 线性引力 假设质点间的万有引力是线性的： 其中G*为假想的引力常量，r 为两质点的间距。不考虑碰撞的 可能性，试导出多质点引力系统各质点的运动轨道和周期。 rmmGF 21 *= 质心系是惯性系，以质心为坐标原点。 质心 第 i 个质点),( 1ii rrm & & vv 质点系总质量 m 动力学方程组 = ij ijjiii rrmmGrm)(* vv & & v 21 iiCi i j ji j jji j ijji ij ijjiii rmmGrmmG rmmGrmmG rrmmGrrmmGrm vv vv vvvv & & v * *
11、)(*)(* = = = ii rmGr v & & v *= 方程表明，第 i 个质点所受合引力等效于受系统质心的引力。 方程组可分离变量，多体问题转化为单体问题。 22 第 i 个质点的初始运动状态确定一个平面 第 i 个质点只能在此平面内运动 动力学方程可分解为： iiii myGymxGx* ,*=& & & 每个方程的解都是简谐运动，角频率都是 mG*= 合成的轨道是一个以质心为中心的椭圆，运动周期为 mG T * 2 = 23 例例 长l、质量线密度为的匀质软绳，开始时两端A和B一起悬 挂在固定点上。使B端脱离悬挂点自由下落，当如图所示，B 端下落高度为 l/2 时，使A脱离悬挂点
12、，问此后经过多长时间 绳子完全伸直？（提示：可在质心系中分析） l/2 l/4 B A B端的速度 质心速度 质心离A点的位置 B端相对质心的距离 在质心系中，B端相对质心速度不变 绳子伸直所用时间 glvB= glvC 4 1 = lrA 16 7 = lrBC 16 1 = g l t 12 7 = 24 力学期中考试 时间：4月24日上午10：10 -12：00 地点：理教113 考试时间：1：50 25 5.2 刚体定轴转动5.2 刚体定轴转动 5.2.1 运动学描述 刚体的运动总是可以分解为：平动+转动 刚体的转动有三个自由度，最基本的是绕一个固定轴的转动。 刚体的定轴转动只有一个自
13、由度 26 x y z i r v i z v i R v 刚体中每一个点部位都在做圆周运动 参考点选在转轴上 iii zRr v v v += 每一个点部位圆运动的角速度和角加速度 是相同的，它们是整个刚体的运动状态量。 第 i 个点部位 , 2 = = = ii ii ii Ra Ra Rv 切 心 27 5.2.2 动力学量 转动惯量 动量刚体作定轴转动时的动量 = 质心动量。 动能() = i ii i iik RmvmE 2 2 2 1 2 1 = i iik RmIIE 22 , 2 1 刚体相对某转轴的转动惯量 I，由刚体质量分布和转轴位置确定 = V dmrI 2 V：刚体的质
14、量分布区域r：质元 dm 到转轴的距离 28 x y z i r v i z v i R v 选取转轴上的O点为参考点 刚体定轴转动时的角动量 += = i iii i iii i iii vmzvmR vmrL )()( )( vvv v vv v IRmRL i iiiz = )( ILz= 刚体的定轴转动与质点的直线运动相似刚体的定轴转动与质点的直线运动相似 mIx ,都是一维运动 29 例质量 m、长 l的匀质细杆，转轴垂直细杆(a)位于质心、(b)位 于一端，求细杆的转动惯量。 (a) 转轴位于质心 (b) 转轴位于一端 m l dx dm = 2 2/ 0 2 2/ 0 2 12
15、1 22mlm l dx xdmxI ll c = = 2 0 2 0 2 3 1 mlm l dx xdmxI ll A = = O 2/ l x 30 例圆环与匀质圆盘，转轴过圆心且于圆平面垂直，求它们的转 动惯量 圆环 2 0 mRI = 匀质圆盘 R r drr + 2 0 2 2 0 2 0 2 12 mRm R rdr rdmrI RR = = 31 关于计算转动惯量的定理 C i R v d v )(CRi v M N P Q 取两个互相平行、间距为 d 的转轴 其中一个转轴通过刚体质心C dCRR ii vvv +=)( 22 )(2)( )(2)()( mddCRmCRm ddmdCRmCRCRmRRmI i ii i ii i i i ii i iii i iiiMN + += += vv vvvvvvvv 平行轴定理
