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1、总体有效的D E A 模型 李果 2王应明 摘 要:传统的 D E 莫 型是从最有利于决策单元的角度评价其相对效率 的，只 丫绝对最优而忽视了3 : 余决策单元的相对最优，不能在总体上反映决策单元之间 时 有效性，影响我仁人 、 宏观、整体的角度分析、解决问题.本文探讨了总体有效 1 .4模型，并用一个刃例说明了 用该 模型更能准确地反映决策单元间的有效性关 虎柞 考的的系 关挂词:D E A 决策4元 相对效率数学规划 t引 官 E S 据 包络分 析 ( d a t a , r , e l o p m e n t a n a l y s i s ， 简记为D E A ) 是由 运筹 学家人
2、 C h a r n e s 和V , . W . C o o p e r 等人万1 “ -, 8 年在数 学规 划 理论荃 础上 建立起 来的一 种 效率评价 方法 它u以用来评价一个;7I策 T 元 ( d e c i s i o n m a k i n g u n i t 简记为D MU )的相对有效性。 其中最常用的是 C R模 裂 和 C Z G S 2 模型。这些模型都有一个特点，就是每次计算相 对效率都是计对某个决策争 元求最优，并根据相对效率值给出这个决策单元相应的信 息。? l 为是从最有利F 这代 、 决策单元的角度来评价的，因此不能保证总体最优，同时 也忽 . 观了其余决
3、策单元的 泪对最优 。在很多情况下，我们想要知道所有决策单元的总 体信息，即总体最优 时各 竖 策单元的有效情况。另一方面，决策单元之 间的相对有效 性右 、 体最优时也不 易体叭r显然 ，传统的 DE A 模型不能满足这些要求，本文提出 用总体最优的 D E A 摸型解决这些 问题，囚为它彭 目标函数是求总体最优，所 以更能 反Ri . 体信息。文后 约一 实例说 明了使用该模型评价的准确性。 2总体有效的 D E A模型 ，专统 的 DE A 模41( ( 没 有n 个D A NJ 门 丛 X , = ( X jj , X _ , . Y ; = ( Y i p y : ， k i 入、输
4、出权向量为 v = ( v “ 2 u = ( u , l u l l Ir: )如下 : ; n ) , D MU 的 输入、 , X , , ) T 0 , J - , Y ,I) T 0 , j = 输出向量分别为 1 ， n 1 , . . . , n , V . ) 7 . U , ) T 国劣 李 4 乏 白然科学基金青年r 页目 咬 ，女，2 4岁，硕士研究当 7 9 6 0 0 0 2 0 ) 资 助 厦 门 大 学 。 U T y i 杯 n J -0 T= v x1 ,u ky 、 气 扮 一 一， .1 = 1 ,. n 为 第 叉V ,x 13 个决 策单 元 D M
5、U ; 的效率评 价指 数 对D M U ; 。 进行 评 价的C R 模型为 : - V砂一X U一V V P Y,u k Y kj L r V ,x a u k _ 0 V ; ? 0 ( 1 ) G 1 k=1 ， 二， s i =1 ， 一， m 或写为对偶规划的形式为: mi n O s 主 艺).i x i O x io ; _ j 艺 J y j : ， 。 ( 2 ) 入 七 0 , 卜 , n r，llJ干十11 、， D f 模 型 ( 1 ) , ( 2 ) 显然是 从最 有利于 D M U , 。 的角度 求解权向 量 及效率 评价指 数的， 所 得的结 果也 是针对
6、此 D M U ; 。 的 ， 如果 我们 选取另 一个 D M U ,。 求解( l o # J . ) ，则 算 出的权向量会不 同，影响我们准确地比较它们之间的相对有效性。单个 D MU最优所 测算出的结果如果求相对平均效率，可能会偏大，得不到正确的结果。 从总体有效的角度出发，可以构造 D E A模型如下: t t on 艺 u ,y y e弓于一一 /r i X ,i 0 _ 0 , R o c k a f e ll a : 乘 子 法 的 步 骤 是 选 取 初 始 数 据。 k i i.4 初 始 点x 0 , 罚 参 数 列c , ) , ( k = 1 ,2 , .) ，初
7、始 乘 子A c- R , 给出检验终止条件内误差E 0 ，令k = 1 ; 2构造增广 目标函戮 L ,k (x ,? ) 一 ， :、) + 牛干j(c kg (X ) 十 、 ), 1L 一 II k z “ k 3 求解无 约束非线 性柳划 。以X k - 为 初始 点求 解m i n L , k ( X , 1 . “ ) 设得到最优解 X k ，若 、 1 已满足某种初始条件，停止迭代输出。 4进 行 乘 子 迭 代 。 广 “= (C k g ( X I ) + % k ) , k = k t 1 , 转2 0 其巾 记号( + 表示m a x i 。 ) 求 w步骤 3选用 的
8、是变 F .; 度法，步骤如 : 对于 无 约束极小 化问 题 m i n ( f ( x ) ) , f e C - 1 . 选取初始点 x 0 , E G , H . = l : 一f . (x I ) 5 c ? 是 ， )事 止 ， x ， 二 x 0 ， 否 A lli ， 进 “ 于 ， ; g o = f . ( x o ) , k :二 0 ，、 p o = - H o g o : 求 、 ， 使 得 f ( x k + t , : ， ) 一 臀f ( X k + tp k ) ， 令 x k+ ， 二 X k + t k P k 一f . ( x k+ l ) II _ e
9、 ，是停 止 ， x 一 x k + l ， 否 贝 “ ， 进 T 6 ; 若k + 1 = n ，令x 0 =x 转3 ，否则，进行7 ; i g , . , = f . ( X + ), A g 二 9 k + ， 一 g k X k = X k ， 一 X k ， 匕一 + k H 一一 计算Hk + 1 A X , T H k A g k A g , T H k 取P k + l = - H k + l g k + ) ， I g k s k = k + 1 ， A g k T H k A g k 转 4, 矛 ， 3 一个计X实例 考虑这样一个问题:有 4 个 D MU , 6 个
10、输入指标和 4 个输出指标。相应的输入和 输出数据 由表 1 给出。 班 1 输出 ( 4个) 输入 ( 6个) mo t , 50 040 2 2 8 85 031 0 5 0f 6 6 0 一 2 , 2 11 D M U ,一 5 0 0一 4 0 22 81 00 0 3 1 0 5 06 602 . 2 1 1 D M U , 7 0 0一 5 0 44 0 1 5 004 5 0 1 0 0 一 3 0 0 5 . 01 0 D M U , 7 0 0 5 02 4 0 1 0 0 0 3 1 05 0 6 6 0 2 .21 1 考虑该问题的规模有效和技术有效性，取 CR模型 (
11、 2 )评价。 令 J 。 分别为 l , 2 , 3 , 4 ，这样对各 D M U相应的线性规划方程求解，得到最优 解见表 2 。 班 2 D M u ; o 入 1 又 2入 3入 4 e J 。 二 1一 : 0 。一。一 J o 2一。 50 . 5 0 。一 .7 a = 3 0 0 10 1 S a = 4 000 1 由表2 结果知， 4 个D MU的有效值都为1 ， 但是我们直观可以看出， 明显地 D M U , 优于 D MU 2 输出相同输入不同) ;D MU ; 优于 D M U , 输入相同输出不同) ，而从表 2的结果上却反映不出这样的关系，说明传统的模型存在缺陷。
12、 如果我们采用模型 ( 3 )求解非线性规划.结果见表 3 。 . 3 _U ,y -“、. 。 = =U=1 , “ ,4 ) v x i D M U , 0 . 7 9 2 2 D M U ., 一“ 7 1 4 7 D M U ，一0 . 6 1 3 1 D M U , I . 0 0 0 0 表3的结果充分反映了4个D MU之间有效性的相对关系，与实际情况是较为一 致 的 。 4结束语 本文指出了传统 D E A 模型不能准确反映决策单元间的相对有效性的缺陷，提 出 用总体有效的 D E A 模型解决这一问题一个计算实例说明了用总体有效的 D E A 模 型更能充分反映这种相对关系 。 .火以 .:专文做 1 1 1 4昭瀚，朱乔，异广该D E A理论、方法与应用，北京:科学出版社。1 9 9 6 肆k 光金，刘永清，基于i . 目标规划的D E A ，系统工程理论与 实践.1 9 9 7 . 3 1 3 1 陈开明，非线性A划， ! 海复旦大学出版社1 9 9 1 . 5 叫 : .$ 亚湘，非线性规划t?方法，上海:生海科学技术出版社，1 9 9 3 乙
