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1、 现代量子力学基础现代量子力学基础 北京大学北京大学 物理学院物理学院 程程 檀檀 生生 2 第一章第一章 绪论：经典物理学的困难绪论：经典物理学的困难 3 第一章第一章 目目 录录 1.1 辐射的微粒性辐射的微粒性 . 4 （1）黑体辐射（1）黑体辐射 4 4 （2）固体低温比热：（2）固体低温比热： . 5 . 5 （3）光电效应：（3）光电效应： . 7 . 7 （4）康普顿散射（Compton scattering）（4）康普顿散射（Compton scattering） 8 1.2 原子结构的稳定性 . 9 8 1.2 原子结构的稳定性 . 9 （1）原子行星模型：（1）原子行星模型
2、： . 9 . 9 （2）元素的线光谱（2）元素的线光谱 . 9 1.3 物质粒子的波动性 10 . 9 1.3 物质粒子的波动性 10 （1）德布罗意假设（de Broglie 1923 年）（1）德布罗意假设（de Broglie 1923 年） 10 10 （2）物质粒子波动性的实验证据）物质粒子波动性的实验证据 11 4 第一章第一章 绪论：经典物理学的困难绪论：经典物理学的困难 1.1 辐射的微粒性辐射的微粒性 （1）黑体辐射）黑体辐射 所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。 G. Kirchhoff （基尔霍夫） 证明， 对任何一个物体， 辐射本领)T,(
3、E 与吸收率)T,(A 之比是一个与组成物体的物质无关的普适函数，即 )T,( f)T,(A)T,(E （f与物质无关） 。 辐射本领： 单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布， 以 )T,(E 表示。所以,在t时间，从s面积上发射出频率在 范围内的能量 为： st)T,(E 因此，)T,(E 的单位为 2 2 / 1 米焦耳 米 秒 秒 能量 米焦耳 米 秒 秒 能量 ； 可以证明，辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系为 )T,(u 4 c )T,(E （)T,(u 单位为 秒 米 焦耳 秒 米 焦耳 3 ） 吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额。 由于黑体的吸
4、收率为1，所以它的辐射本领 )T,( f)T,(E 就等于普适函数（与物质无关） 。所以黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对 物质而言）弄清楚了。 我们也可以以)T,(E 来描述。 d c )T,(Ed d c d )T,(Ed d d )T,(Ed)T,(E 2 )T,(E c )T,(E 2 (秒米焦耳秒米焦耳 3 ) A. 黑体的辐射本领 实验测得黑体辐射本领)T,(E 与 的变化关系 在理论上， 维恩（Wein）根据热力学第二定律及 用一模型可得出辐射本领 kTh3 2 e c h2 )T,(E 5 khc ch2c 2 2 1 （k 为 Boltzmann 常数：K1038. 1
5、 23 焦耳 ） 瑞利金斯（Rayleigh-Jeans）根据电动力学及统计力学严格导出辐射本领 kT c 2 )T,(E 2 2 )T,(u 仅当频率足够低， 温度足够高时 （ 110 ) sK(10 T ） 符合实验 （即 hkT） 。而在 很高，即 很小时，发生无穷，这即紫外灾难。 而维恩在低波符合，高波不符。 所以，这两个公式并不完全符合实验结果，但理论给出的结论是确切无疑的。 B斯忒藩玻尔兹曼定律（Stefan-Beltzmann law） 他们发现，黑体辐射能量（单位时间，单位面积发射的能量）是与绝对温度 4 T 成正比 4 Td)T,(E （事实上， 2 4 8 23 45 ms
6、K1067. 5 ch15 k2 焦耳 ） 显然，维恩或瑞利金斯公式都得不出这样的结果。 CWein 位移定律 维恩发现，对于一确定的 0 T，相应地有一波长 0 ，使)T(E 00 达极大， 而常数常数 00T 。 即 米米 K102898. 0TTT 2 221100 这一定律也是无法用维恩或瑞利金斯公式给出回答。 总之， 在用经典物理学去解释有关黑体的辐射本领相关的实验规律时， 是完全失败了。 （2）固体低温比热：）固体低温比热： 根据经典理论，如一分子有n个原子，则一克分子固体有n3No 个自由度（No 为 Avogadros number，阿伏伽法罗数，克分子 23 10022. 6
7、） 所以，固体定容比热： nR3nNok3Cv （为气体常数K314. 8R 克分子焦耳 克分子焦耳 ） 称为能均分定律（DulogRelit 经验规律） 。 实验发现，对单原子固体，在室温下符合，但在低温下，是以0T3，因而理论 与实验结果不符合。 如何解决这些问题呢？ 普朗克（Planck）大胆假设：无论是黑体辐射也好，还是固体中原子振动也好，它 们都是以分立的能量 nh显示，即能量模式是不连续的。 nnh , 2 , 1 , 0n （秒焦耳 34 10626. 6h，秒焦耳 秒焦耳 34 100545. 1） ） 所以，辐射的平均能量可如此计算得： 经典的能量分布几率 dEEE 0 kT
8、EkTE dEedEe （玻尔兹曼几率分布） 6 所以对于连续分布的辐射平均能量为 0 kTEkTE 0 dEedEeEE 0 kTE 0 kTE 0 kTE dEe)dEeeE(kT kT 而对于 Planck 假设的能量分布几率，则为 0n kTnhkTnh ee 0n kTnhkTnh 0n eenhE 0n nx 0n nx ee dx d h 1 x1x )e1 ()e1 ( dx d h ) 1e (h kTh 于是，用电动力学和统计力学导出的公式 kT c 2 )T,(E 2 2 （RayleighJeans） 应改为 ) 1e( c h2 )T,(E kTh 2 3 这就是 P
9、lanck 假设下的辐射本领，它与实验完全符合。 当 hkT （高频区） kTh 2 3 e c h2 )T,(E （即 Wein 公式 Tc3 1 2 ec ） 当 hkT （低频区） kT c 2 )T,(E 2 2 （RayleighJeans） Stefan-Boltznmann law 7 d)T,(E)T(R d)1e ( c h2 1kTh3 2 dx)1e (x) h kT ( c h2 1x34 2 1n nx3 32 4 dxex hc )kT(2 1n 4 4 32 4 n 1 6T hc )kT(2 维恩位移定律 )T,(E c )T,(E 2 )1e ( c h2 c
10、 kTh 2 32 )1e ( hc2 kThc 5 2 0) 1e e kT hc 11 5 1e hc2 )T,( E kThc kThc 2 56kThc 2 T0 （ 固定固定 从而有 5)e1( kT hc kThc mK102898. 0T 2 00 低温定容比热 由总辐射能量密度（ 3 米焦耳） ) c 2 (T hc15 k4 T hc15 k8 d)T,(E c 4 d)T,(u)T(W 3 4 33 45 4 33 45 (横波2所受) 可推出固体中原子振动能为 ) v 1 v 2 (T hc15 k4 3 L 3 T 4 33 45 （即固体中声速） 所以，低温下，定容比
11、热 3 T 这一公式只适用于低温， 因固体中原子振动有最高频率的限制 （声波在固体中波 长不短于晶格距离 2 倍，即a2 v ， a2 v ） ，而在低温下，高频并不激发，因 此，影响可忽略（推导辐射总能时高频是计及的，但低温下高频影响可忽，所以这推 出的公式只适用于低温） 。 （3）光电效应： 光电效应的主要现象：当单色光照射到金属表面上，有这样一些现象（使人迷惑 的特点） ： A发射光电子的生成依赖于频率，而与光强度无关。要有光电子发射，光频率 8 就必须大于某一值，即有一最低频率 min 。 B当照射光的频率 min 时，发射出的光电子动能大小与光强度无关。 这从经典物理学基础去看是非常
12、难以理解的， 因为光的能量是正比于强度而与频 率无关。因此认为光波强度增加时，光波中电场振幅增大，应该会加速电子达到较高 的速度和较大的动能，从而离开金属，所以光强度越大，飞出的电子动能越大，而能 有光电子产生，也并不需要大于一定频率，即与频率无关。所以，经典理论与实验截 然相反。 A. Einstein 假设一束单色光由辐射能量大小为 h的量子组成，即假设光与物质 粒子交换能量时，是以“微粒”形式出现，这种“微粒”带有能量 h。 电子要飞离金属，必须克服吸引而做功（克服脱出功） ，所以飞出电子的动能 whEk w功函数 电子吸引两个光量子的几率几乎为0，所以，要飞离金属，则至少0Ek wh
13、min ， 即有一最低频率。 而 )(hwhE mink 我们可以看到，核心的问题是一束单色光可以转移给一个电子的能量E除以频 率 为一常数 )h E 常数（常数（ 而这一常数与 ，光强度，电子及金属材料无关。这一常数并不能由经典物理学 中常数所给出。所以， hE是一个与经典物理学完全不相容的关系。 （4）康普顿散射（Compton scattering） 实验发现，单色x射线与电子作用使电子发生散射，其散射x射线的波长 )cos1(A 这样一个实验结果和特点也是经典物理无法解释的 A. Einstein 认为x射线在与电子相互作用时是以“微粒”形式出现，因此交换能量 和动量，而其能量和动量为 hE， n h n c h n c E P 假设电子开始处于静止状态，根据能量，动量守恒，有 e 2 e Ehcmh
