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1、第五章 数值分析法 工程实践中必不可少的数学方法(数据处理） 用连续的观点处理离散问题 理论与经验的有机结合 5.1曲线拟合法 含 义 根据一组实验观测数据确定自 变量x与因变量y的一个最“逼近” 的函数关系式 经验公式 几何解释 用连续函数分析方 法进行建模讨论。 找一条“最佳” 的线，使 之与 靠得最近 作 用 一个实际问题 v程序控制的铣床精密工件加工工件的表面是 光滑的，走刀方向是逐段线性的，实际上是利 用逐段线性函数近似连续光滑函数。 曲 线 拟 合 步 骤 确定经验公式形式 确定经验公式中的系数 检验经验公式有效性 利用已知的结论 曲改直 描点作图法 多项式近似 利用已知结论 v相
2、关的定理、定律 v前人比较成熟的成果，公认的结论 v普遍采用的公式 v根据经验的假设，假想（要验证） 多项式近似是工程中十分常见的方法， 它首先需要我们确定多项式的次数， 一般可以用差分法、差商法来估计。 （逼近论 类似的思想：泰勒公式） v差分与差商概念 v一阶向前差分 v 二阶向前差分 v vm阶向前差分 v一阶差商 v二阶差商 v vm阶差商 v一般地，等距节点用差分，不等距节点用差 商 v作用： 作为微分与导数的近似估计，便于确 定多项式的阶数 差商与导数的联系 （微分中值定理） v若y=f(x)在a，b上m次可导，且 则 若结点为等距分割点时，有 ，h为结点距，且 因此对n阶多项式有
3、 常数。据此,我们可以根据数据的差分来确定多项式的次数。 氨蒸汽的压力和温度关心 考虑到测量设备等的限制，我们希望利 用低温状态下的压力等有关数据进行外 推。表5.1给出了氨蒸汽的一组温度和压 力数据。 问题 目的 希望利用低温状态下的压力等有关数据进行 外推。能否从所列的数据中计算75度 氨蒸汽的 压力？ 表5.1 温度( ) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 压力(kN/m2) 805 985 1170 1365 1570 1790 2030 2300 2610 根据5.1的数据,可以绘制图5.2。 根据表5.1的数据可以得到差分表5.2 v p v20 805 v25
4、 985 180 v30 1170 185 5 v35 1365 195 10 5 v40 1570 205 10 0 -5 v45 1790 220 15 5 5 v50 2030 240 20 5 0 v55 2300 270 30 10 5 v60 2610 310 40 10 0 v3阶或4阶多项式比较合适 曲线改直 是工程中又一常用的判断曲线形式的方法,许多常见的 函数都可以通过适当的变换转化为线性函数。 v（1）幂函数 v（2）指数函数 v v（3）抛物函数 电弧电流I与电压降V之间的经验公式的确定。 v磁铁电弧灯的弧长一定时，实验测得电弧电 流I与电压降V之间的测定值列于表5.3
5、。 v 表5.3 I与V 测定值 vI 0.5 1 2 4 8 12 vV 160 120 94 75 62 56 v试确定V与I的经验公式的形式。 v v x=0.5 1 2 4 8 12 ; v y=160 120 94 75 62 56; v x1=log(x);y1=log(y-30); v y2=log(y-50); v subplot(2,2,1); vplot(x,y,o); vtitle(I-V图) vsubplot(2,2,2); vplot(x,y1,.); vtitle(I-log(V-30)图) vsubplot(2,2,3); vplot(x,y2,.); vsubp
6、lot(2,2,3); vy2=log(y-50); vplot(x,y2,.); vtitle(I-log(V-50)图) vsubplot(2,2,4); vplot(x1,y1,.); vtitle(log(I)-log(V-30)图) v v利用原始数据作图，或作全对数图，办对数 图，可以帮助我们进一步寻找经验公式的形式， 下图就是先通过全对数图确定经验公式形式， 再借助其他方法获得的经验公式图形与实际 数据比较结果。 经验函数形式 I 0.5 1 2 4 8 12 LnI -0.301 0 0.301 0.602 0.903 1.079 V 160 120 94 75 62 56 l
7、n(V-30) 2.114 1.954 1.806 1.653 1.505 1.415 v x=0.5 1 2 4 8 12 ; vy=160 120 94 75 62 56; vx1=log(x);y1=log(y-30); vplot(x1,y1,ro,x1,y1); vhold on vpolyfit(x1,y1,1) vtext(0.5,4.5,log(V-30)=-0.5.4log(I)+4.509) vhold off v v x=0.5 1 2 4 8 12 ; vy=160 120 94 75 62 56; vx1=log(x);y1=log(y-50); vz1=-0.884
8、7*x1+4.249; vplot(x1,y1,ro,x1,z1); vhold on vtext(0.5,4.,log(V-50)=-0.8847log(I)+4.249) vhold off 图示法 均值法 差分法 最小二乘法 插值法 图示法、均值法主要用于线性关系，且精度 较低； 差分可以用于低阶多项式，精度较低； 最小二乘法与插值法在处理实际问题时较常 用。 最小二乘法 v 基 本 思 想 几个最常见的形式 设因变量 与自变量 有如下关系: 是 n 次观测值 记 A 称为观测矩阵 最小二乘法原理 v最小二乘法原理就是找一组数值 ，使 为最小。 数学原理 高等数学中介绍的多元函数求极值
9、S取极值的必要条件 最小二乘法应用 例如用最小二乘法求出的例1的经验公式为 或者 v vx=20 25 30 35 40 45 50 55 60; v y=805 985 1170 1365 1570 1790 2030 2300 2610; v y1=0.007138,-0.511111,48.887205,- 27.121212; v y2=0.000130536,0.01375,0.6844*,19.76,223.79; v plot(x,y,o,x,y1,r-,x,y2,b-.) v hold on v legend(原始数据,3阶多项式,4阶多项式 ) v hold off 5.2
10、插值法建模 已知n+1个节点(xi,yi),i=0,1,2,n,其中,xi互不相同, 求一个过这些已知点的函数曲线,据此推断出任一点 x*处的值。 无论是从理论和计算的角度,还是从应用的 角度看,多项式都是最简单的函数,因此, 多项式插值是最基本的插值方法,不妨设 Ln(x)是n次多项式,记作 目 的 对于节点(xi,yi) 应有 将(6.4)式代入(6.3)得 易见 是范得蒙行列式, , 拉格朗日插值多项式 在求插值多项式时,通常的做法不是解方程组(6.5),而 是先构造一组基函数: （6.6） (6.7) 令 (6.8) （5.9） 如果 则 图 5.4 与 的比较 利用拉格朗日插值法需要
11、注意的是，随着节点数 的增加,拉格朗日插值多项式的次数也增加,高次 插值多项式有时会出现很大的振荡行为。 理论上,不能保证 处处收敛到g(x)。 请看下面的一个例子 。图5.4给出了 与 的图形比较。从图5.4中 可以看出，高次插值多项式并没有获得理想的 近似结果。高次插值多项式的这些缺陷，促使 人们寻求简单的低次多项式插值。 v分段线性插值 v简单地说,分段线性插值就是将每两个相邻的节 点用直线连接起来,如此形成的一条折线就是分 段线性插值函数,记作 ,它满足 ,且 在每个小区间 上是线性函数。 如果已知y=g(x)在节点 的值 ，则 L(x)可以表示为 (5.10) 其中 (5.11) 易
12、见Ln(x)满足插值条件。 记 利用（5.9）式可以得到 (5.12) (5.12)式给出了分段线性插值的误差估计。 v分段二次插值 v分段二次插值的基本思想是利用三个相邻节点的 数据分别作二次插值,形成二次曲线段,然后将这些 曲线段连接起来,形成的曲线,就是分段二次插值曲 线。 如果给定g(x)在节点 的值 对应n的奇偶情况,分别讨论如下: （1）设n为偶数 对于数据 ,作二次插值函数 (5.13) （2）当n为奇数时,在小区间 上作二次插 值函数 ，其它的区间上作法与n为偶数相同。 令 称 为 在这n个节点的分段二次插值函数。 可以证明, (5.14) 其中, 。 v分段二次插值函数有很好
13、的收敛性,计算也 v比较简单,还可以根据函数g(x)的具体情况 v在不同的小区间上采用不同的插值公式。 v分段插值函数虽然在节点处连续,但是不一 v定可导,因此光滑性较差。下面介绍的三次 v样条插值将克服这一缺点。 v样条插值函数 它的基本思想就是对节点分段插值，但是需 要将这些分段函数曲线光滑地连接起来，形 成一条光滑曲线。 最常用的是三次样条插值。 定义1 设在区间a，b上给定n+1个插值节点 及其函数g（x）相应的值 。 如果函数 满足： (1) ; (2) 在每个小区间 上是三次多项式; (3) 在a,b上有连续的二阶导数。 则称为a，b区间上的三次样条插值函数。 v其中系数待定,且要满足下列条件: （i）插值条件 （ii）连接条件 插值条件与连接条件共给出了4n-2个等式,而要求出 S(x)需要确定4n个参数,因此还需要附加两个条件, 通常称为边界条件,常用的有如下两种: （iii） 边界条件 (5.15) 或者 (5.16) v利用插值条件、连接条件、边界条件可以唯一确定 S(x)。直接计算S(x)一般计算量很大，下面我们不 加证明地给出一种简单的构造三次样条插值函数的 方法。 设在区间a，b上给定n+1个插值节点 及其函数 相应的值 。 记 (5.17) (5.18) 式中 是未知的,可通过下面方法求出来。 对于由(5.
