正交试验设计及分析

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1、 引言 试验设计是数理统计中的一个较大的分支，它的 内容十分丰富。我们简介正交试验设计。 正交试验设计是利用“正交表”进行科学地安排与 分析多因素试验的方法。其主要优点是能在很多试验 方案中挑选出代表性强的少数几个试验方案，并且通 过这少数试验方案的试验结果的分析，推断出最优方 案，同时还可以作进一步的分析，得到比试验结果本 身给出的还要多的有关各因素的信息。 正交表是一种特别的表格，是正交设计的基本工具。 我们只介绍它的记号、特点和使用方法。 正交表的记号及含义 记号及含义 正交表的列数 （最多能安排的因素个数， 包括交互作用、误差等） 正交表的行数 （需要做的试验次数） 各因素的水平数 （

2、各因素的水平数相等） q 正交表的代号 如 表示 表示各因素的水平数为2， 做8次试验，最多考虑7个 因素（含交互作用）的正 交表。 正交表的特点 1、正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等； 表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀 分布的（每个因素的各水平出现的次数相同） 均衡分散性 2、正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数 对时，所有可能的数对出现的次数相同。 表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现 的次数相等 整齐可比性 这是设计正交试验表的基本准则 正交试验设计的基本步骤 1. 确定目标、选定因素（包括交互作用）、确定水平； 2. 选用合适的正交表； 3

3、. 按选定的正交表设计表头，确定试验方案； 4. 组织实施试验； 5. 试验结果分析。 例1 为了解决花菜留种问题，以进一步提高花菜种 子的产量和质量，科技人员考察了浇水、施肥、病害防 治和移入温室时间对花菜留种的影响，进行了四个因素 各两个水平的正交试验，各因素及其水平如下表： 因素水平1水平2 A：浇浇水次 数 不干死为为原则则，整个 生长长期只浇浇水12次 根据生长长需水量和自然 条件浇浇水，但不过过湿 B：喷药喷药 次 数 发现发现 病害即喷药喷药每半月喷喷一次 C：施肥次数 开花期施硫酸铵铵进进室发发根期、抽薹期、 开花期和结结果期各施肥 一次 D：进进室时时 间间 11月初11月1

4、5日 解 第一步：选择适当的正交表 这是一个四因素两水平的正交试验及分析问题， 因此要选择型的表，且不考虑交互作用时， ， 仍然是满足条件的最小的正交表， 所以选用正交表 注：也可由试验次数应满足的条件来选择正交表。 若考虑A与B、A与C的交互作用，则 ，而 是满足条件的最小的正交表， 所以还可选用正交表 其中： 由 确定。 是可求出的，而 是未知的， 当不考虑交互作用时：可取 故 N 不是唯一的。 试验次数N的确定原则 所以一般地，由 确定 N， 如三因素四水平 43 的正交试验至少应安排 次以上的试验。 如三因素四水平 43 并包括第一、二个因素的交互 作用的正交试验至少应安排的试验次数为

5、 若再加上包括第一、五个因素的交互作用的正交试 验则至少应安排的试验次数为 次以上的试验。 又如安排 的混合水平的正交试验至少应安排 所以一般地，有 第二步 表头设计查交互作用表 表示位于第 二、第四列的两 因素的交互作用 要放于第六列。 如P190 L8（27）的交互作用表 列号 1 2 3 4 5 6 7 1 （1） 3 2 5 4 7 6 2 （2） 1 6 7 4 5 3 （3） 7 6 5 4 4 （4） 1 2 3 5 （5） 3 2 6 （6） 1 注意：主效应因素尽量不放交互列。如A、B因 素已放C1、C2列，则C 因素就不放C3列。 花菜留种的表头设计 列号 1 2 3 4

6、5 6 7 因子 考虑交互作用AB和AC，则例1的表头可设计为 注：第6列为空白列，当随机误差列；也可把第7列 作空白列。一般要求至少有一个空白列。 按正交表 得试验方案： 只需将各列中的数字“1”、“2”分别理解为所填因素 在试验中的水平数，每一行就是一个试验方案。 第三步 按所选定的正交试验方案组织试验，记录试验 结果； 见P192 表8-22 水 列 平 号 试验号 ABAXB CAXCD 产量 1234567 11111111350 21112222325 31221122425 41222211425 52121212200 62122121250 72211221275 82212

7、112375 第四步 分析正交试验结果 方法1 直观分析（极差分析） （1）计算极差，确定因素的主次顺序 第j列的极差 或 极差越大，说明这个因素的水平改变对试验结果的 影响越大，极差最大的那个因素，就是最主要的因素。 对例1来说，各因素的主次顺序为 （2）确定最优方案 如果不考虑交互作用，则根据各因素在各水平下的 总产量或平均产量的高低确定最优方案；如果考虑交互 作用，则取各种搭配下产量的平均数，按优化标准确定 最优方案。 本例中，不考虑交互作用，在方案A1B2C2D2最优， 但交互作用AC是第三重要因素，所以需考虑A、C的搭 配对实验指标的影响，取AiBj的各种搭配的平均数，结 果是A1与

8、C1 搭配最好，故本问题的最优方案为 A1B2C1D2。 方法2 方差分析法 基本思想与双因素方差分析方法一致：将总的 离差平方和分解成各因素及各交互作用的离差平方 和，构造F统计量，对各因素是否对试验指标具有 显著影响，作F检验。 要求：能利用MINITAB完成正交试验的方差分析。 例1的上机操作 按正交表及试验结果输入数据。 不写C3 不写C5 要表明是交互作用 F1 表示该因子的影响力比试验 误差更小，不必理会，（严重无统计 意义）去掉这些因子，将它们造成的 微小差异归到试验误差中（软件会自 动处理），则可突显其它因子的影响。 去掉C1*C2，C6后再作方差分析。 由 P 值知，因素A（C1）的影响力最大， B （ C2 ）次之， 再次之是交互作用A*C （ C1*C4 ）。按此顺序，再根据各 相关因子各水平的均值确定最优组合。 选A1 选B2 在选A1的前题下选C1 最后，C6（D） 无统计意义，选那 一个水平都可以， 故得两最优组合： A1B2C1D1和A1B2C1D2 作业 P196 5， 6(利用软件MINITAB完成方差分析法) 预习：第九章 第一节