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1、 萎 堂一航 2016年 1O 月 让学生充分经历知识的形成过程 一 、教材 分析 谈 函数 的单调性 教 学设计 江苏省通州高级 中学朱小莉 江苏省从2 0 0 5 年起实施新课程改革， 通过这几年来 的实践， 大部分教师能从最初的不断地摸着石头过河的 探索者， 转变为现在的能不断总结经验、 不断提升 自我 的新课程理念的践行者 作为好奇心和求知欲极强的青 少年，数学课堂的效果如何主要取决于对数学概念、 公 式、 定理的理解的深度 当代著名数学家李邦河院士说 ： “ 数学根本上是玩概念的 ， 不是玩技巧 ， 技巧不足道也 ” 由此可见， 数学概念和数学概念教学的重要性 而概念 课的教学一直是
2、新课程实施过程中教学难度最大的一 类课型 ， 也是最重要 的一类课 型 函数的单调性是高一学生遇到的一个极其重要的 概念， 因为函数的单调性不仅与函数的最大值、 最小值 紧密地联系在一起 ， 而且与不等式、 方程 、 函数的导数等 高中数学的主干知识紧密相关 在初 中阶段， 学生已经 对函数值随着 自变量的增大而增大( 或减小) 这一 函数 性质有一定了解 ， 但还是基于对函数图像的直观去理解 的而高中阶段 ，对于函数 的这种性质的认识应该从 “ 形” 的直观认识上升到“ 数” 的抽象认识 强调本质是新 课程的基本理念 ， 注意适度的形式化 函数的单调性的 定义是一个以全称命题给出的形式化的定
3、义， 具有一定 的抽象性， 对刚从初中过渡到高中的学生而言是有一定 难度 的 如果直接给出概念 ， 学生对于概念的认识是不 会深刻的， 特别是对单调性概念 中的“ 任意” 的理解 ， 即使是重复强调也很难深刻理解 著名教育实践家和教 育理论家苏霍姆林斯基说 ： “ 在人的心理深处都有一种 根深蒂固的需要 ， 这就是希望 自己是一个发现者、 研究 者 、 探索者 ” 要让学生从 内心深处接受函数的单调性的 概念 ， 笔者认为有必要让学生能经历这个概念的建构的 过程 二 、 教学 目标 1 知识 与技 能 理解函数的单调性的定义 ， 能利用函数图像直观判 断函数的单调性， 能用函数单调性的定义证明
4、具体函数 的单 调性 2 过 程与方 法 引导学生能从具体问题出发， 自主探索函数单调性 的概念， 利用函数的图像和单调性定义解决函数单调性 问题 ， 进一步体验数形结合的数学思想方法 ， 培养学生 发现问题 、 分析问题、 解决问题的能力 3 情感、 态度与价值观 体会函数单调性概念的建构过程， 体会数学的符号 语言， 进一步培养学生数学直觉观察、 探索发现 、 科学论 证良好的数学思维品质 三、 教学流程 1 创 设情境 。 引入 新课 师： 俗话说： 好记性不如烂笔头 真是这样吗? 德国心理学家艾宾浩斯根据的研究数据画出了著 名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线： 时间间隔 记忆保持量 刚刚记忆完毕
5、 1 0 0 2 0 分钟之后 5 8 2 1 小时之后 4 4 2 8 - 9 , 时之后 3 5 8 本文 系南通 市教 育科 学“ 十一五” 规划重点课题“ 基 于悟学理念的初 中理科 高效作业 实施策略研 究” 的阶段性成果 2 0 1 6年 l 0月 教学 1 天后 3 3 7 2 天后 2 7 - 8 6 天后 2 5 4 一 个 后 2 1 1 师： 观察这条曲线 ， 你能发现什么规律呢? 生 ： 随着时间的推移， 记忆的保持量是减少的 第一 天遗忘的速度最快 ， 一天之后遗忘的速度就变慢了 设计意图：由与学生密切相关的事情引入新课 ， 激 发兴趣 师 ： 现实生活中有许多事物时
6、刻都在变化， 了解它 们的变化规律 ， 对我们是很有意义的 对于函数的变化 规律 ， 常常是抓住 ： 当自变量增大时， 函数值是随之如何 变化的， 这节课我们就一起来学习“ 函数的单调性” ( 板 书课题) 2 以形思数 。 由具体到抽象 师 ： 我们在初中已学过正、 反比例函数 ， 知道函数的 图像在一定的程度上能够反映该函数的基本性质 下面 我们从函数的图像人手来研究函数的性质 请大家观察第一组函数的图像， 指出它们的共同点 J V 3 2 y 1 | _2一 1 2 - 2 图 1 图 2 图 3 生 ： 从左向右看 ， 这三个函数的图像都是上升的， 的值越大， Y 的值也越大 设计意图
7、 ： 从图像直观感知函数单调性 ， 对增函数 有一个初步认识 师： 请观察第二组函数的图像， 指出它们的共同点 3 y = A ) ， 一 1 0 1 2 3 j 3 Y 一21 D 2 ： 一 1 -2 图 4 图 5 图 6 生： 从左向右看， 都是下降的， 的值越7 2 x 的值越小 设计意图： 从图像直观感知函数单调性 ， 完成对减 函数的初步认识 师 ： 我们之前还学习了分段函数 ， 请再观察第三组 函数的图像 ， 指出它们有什么共同的特征及不 同之处 图 7 、V 3 2 y ：1 l 、 一 1 2 3 1 图 8 图 9 图 1 0 V 、 、 y ) t ： ： ： 利 1
8、2 4 5 ； 、 1 1 生： 图7 先减后增； 图8 在( 一 ， 0 ) 和( 0 ， + ) 都是下降 的； 图9 和图1 0 都是不连续的， 但从左向右看每段是上升 的 生 ： 我认为图9 是 “ y 随 的增大而增大 ” ， 图1 0 N O 不 是 ， 显然 ， x = l 时的函数值 L x = 2 的函数值大 师 ： 两位同学观察很仔细， 也说出了它们的不同之 处 设计意图： 从图7 和图8 直观感知一个函数会有增减 的变化 ， 图9 和图1 0 使学生对增函数定义中的“ 任意” 有 一 个初步认识 3 形成概念 。 交流理解 师 ： 经过刚才对这三组函数图像的观察 、 感悟
9、 ， 同学 们对函数递增或递减的宏观上有一定的认识 ， 如何用数 学语言来描述函数的这种性质呢?请尝试给 “ 增函数” “ 减函数” 下定义 ( 学生合作交流) 生 ：增函数就是指函数值Y 随 自变量 的增大而增 大， 减函数则相反 生 ： 但是图1 1 好像不合适( 不知如何表达) 师 ： 这两位的回答都不错 师生活动 ： 学生尝试叙述“ 增函数” “ 减 函数” 的定 义， 教师补充完善 定义： 一般地， 设函数 ) 的定义域为 如果对于定义域， 内某个区间上的任意两个 自变量 的值 当时， 都有， 那么就说函数 ) 在区间上是增 函数 如果对于定义域， 内某个区间上的任意两个 自变量 高
10、 中 版寸。? 擞- 7 麓 豳 豳 一 萋 墓 堂教 一 2016 年 10 月 的值 当时， 都有， 那么就说函数厂 ( ) 在区间上是减 函数 4 辨析定义 深化认识 师： 请同学们按小组讨论 ： 在定义中应该抓住哪些 关键词语 ， 才能更准确地理解定义? ( 各个学习小组经热烈讨论后推选代表发言) 生： 我们组认为定义中“ 给定区间” 是一个的关键词 语 师： 你能不能解释一下? 生： 比如函数厂 ( ) = lx l ， 如果 时， 都有厂 ( ) ：) ” 换一种 表达方式吗? 审 擞-?高 中 版 生 ： “ 当任意 。 时， 都 ) ) ， 贝 ) 是增函 数 生： 我由符号法
11、则得到： 若( 。 ： ) 厂 ( ) _ 厂 ( ： ) j 0 ， 贝 ) 增函数 若( z ) ， ) fix ： ) j 0 ，则 I ) 增 函数 I -X2 师： 很好 ! 这三种表达方式都是对的， 三位同学的理 解很 深刻 设计意图：教会学生如何抓住定义中的关键词语 、 变式表示来理解概念 ， 以培养学生理解问题、 分析问题 的能力， 也为下面用作差法证明单调性做铺垫 5 讲 练结合 。 加深理解 例1 ( 1 ) 看图回答问题 ， 指出函数的单调区问 设计意图： 明确单调区间的表示 ， 有多个相同单调 性的区间不能用并集表示 ( 2 ) 判 断题 ： flx ) 在区间 是增函
12、数且 ) ) ， 那么 2 若 ) 在区间， 上是减函数， 在区间， 2 上也是减函 数， 则 ) 在， u ， 2上是减函数 已知 ) 在实数集上是减函数， 若a + b 0 ， 贝 b ) 一 o ) 设计意图： 进一步加深对单调性的理解 例2 用定义证明 八 ) = 1 + ( k O ) 在( 0 ， + ) 上是 减函数 学生在自学的基础上先尝试 ， 组织学生讨论 、 交流， 再收集不同层次学生的练习， 投影 ， 让学生先评议 针对 学生出现的问题， 给予纠正， 再分层练习 师生： 证明： 任取 ， ： E( 0 ， + ) ， 且 ： ， ( 设元) ) X 2 ) ： 1 + 1
13、 - 1 + 1 、 X I 、PC2 ： 一_ 坌 一 ： 丛 ( 作差变形 ) 1 x2 x1 x2 因为O 0 ， X 1X 2 0 ， ( 断号) 所 ) ) 0 ， 虽 ) ： ) ， 所以函数 ) = 1 + ( 0 ) 在( 0 ， + ) 上是减函数 ( 结论) 师： 引导学生归纳证明函数单调性的步骤 ： 设元， 作差变形， 断号， 结论 设计意图 ： 充分展示学生的学习效果， 暴露学生的 思维 ， 及时纠正， 讲练结合 ， 规范书写， 及时巩固所学知 2 0 1 6 年 1 0 月 一 航 墓 识 6 拓展延伸 。 学 以致用 师 ： 生活中， 不少人都有这样的经验 ： 在一
14、杯水 中， 加入一些糖 ， 糖加得越多糖水就越甜 请用数学知识来 解释这种现象 生： 把原有一杯水的质量看为1 ， 加入糖的质量看为 ，转化为浓度问题， 只要证日月 厂 ( ) = ， E( 0 ， + ) 是 十 l 增函数就行了 太棒了!这是学生由衷的感叹， 因为这种想法是他 们在合作探究中获得的， 于是课堂气氛又热烈起来了 设计意图： 让学生感受到： 数学源于生活 ， 数学又用 于生活 7 回顾 小 结 ( 1 ) 本节课主要学习了以下内容： 函数的单调性 的概念 ；利用函数图象从直观上判断函数的单调性； 利用函数的单调性定义证明函数的单调性 ( 2 ) 本节课所体现出的主要 的数学思想
15、 ： 本节课从 直观的图象入手 ， 建构了函数单调性的定义 ， 又利用定 义证明了新的学生所不熟悉的函数的单调性 ， 经历了从 “ 形” 到“ 数” ， 又从“ 数” 到“ 形” 的过程 ， 充分体现了数形 结合的数学思想 四、 几点反思 ( 1 ) 形式化的数学概念的教学要把握概念的是如何 来的 让学生从内心深处接受概念 ， 就要让学生经历这 个形式化的概念的发生、 发展的过程 ， 这个过程未必完 全是数学概念本身发展史的浓缩版，只要设计好 的问 题、 好的铺垫形式能让学生体验到数学概念的生成是 自 然的、 必要的、 有用的就可以了， 而不应是教师强加给学 生的 而问题被喻为数学的心脏， 当然问题是通向建构 概念的捷径之一， 问题的设计要紧扣概念 ， 还要注意利 用维果斯基 的“ 最 近发 展区” 的基本理论 ， 问题 的设计不 能脱离学生的应有的认识水平 ， 但也不宜太容易， 否则 缺少必要的思维强度 ， 数学味道就会淡了很多 ， 学生的 收获就比较少 上述课例中引入概念的一些问题组成的问题链有 利于揭示函数的单调性的本质 ， 并且环环相扣 学生活 动的前两个问题说明了从图像上几个点的位置关系不
