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1、小学数学“ 可能牲“ 教本 才 分新与实践思考 哈 尔滨市平房区教师进修学校 刘圣 良 “ 可能性” 是人教版义务教育教科书数学五年级上 册第四单元教学 内容 ， 属于“ 统计与概率” 领域 的内容。 在小学阶段 ， 仅安排在第二学段学习。在原义务教育课 程标准实验教材 中， 此部分教学内容分两次集 中编排。 第一次安排在三年级上册 ，教学 目标是让学生初步体 验确定事件 和不确定事件 ，初步感受事件发生 的可能 性有大小 。 第二次安排在五年级上册 ， 教学 目 标是使学 生对“ 可能性” 的认识和理解逐 渐从定 性向定 量过渡 ， 学会用分数描述事件发生的可能性大小。数学课标修 订后 ，
2、在人教版教材第一学段 中 ， 删掉 了概率 的学 习， 将原 内容后移 到第二学段 ， 称为 “ 可能性” 。原五年级的 内容划分到第三学段 ， 称为“ 概率初步” 。人教版五年级 义务教育教科书关于“ 可能性 ” 的内容虽然只有三道例 题， 却承载着概率教学中非常重要的任务 ， 每道例题具 体教学 目标不 同 ， 甚 至“ 做一做 ” 和某些 习题也 承载着 重要的任务 ，这一单元 的教学是衔接中学概率教学 的 重要基石 。由于概率 的发展较其他领域的内容晚 ， 教师 对此部分 内容的数学核心素养模糊不清，加上新教材 对该部分 内容又有较 大调整 ， 并且增添了新例题 ( 如例 3 ) 。所
3、以 ， 教学这部分内容 ， 对于教师来讲有一定 的难 度 。 这就要求教师要抓住知识 的纵向联系， 站在知识的 高位 ， 自上而下分析教材 、 吃透教材 ， 要从数学核心素 养 的培养来定位教学 目标 ， 设计教学活动。 一 、从 中学的“ 概率” 教学看小学的“ 可能性” 教学 ( 一 ) 中学教材 中的概率内容的数学概念解读 中学教材对 随机事件 、 概率的两个意义( 概率的古 典意义和概率的统计意义) 进行了具体描述。 1 随机事件 。 在一定条件下 ， 某些事件有可能发生 ， 也有 可能不 发生 ， 这样的事件称为随机事件。 2 概率的古典定义 。 一 般来说 ， 如果一次实验 中，
4、有 1 1 种可能 的结果 ， 并且他们发生的可能性都相等 ，事件 A包含其 中的 m 种结果 ， 那么事件 A发生的概率为 P ( A ) = 里 。比如 ， 掷 n 两枚硬币实验 ， 分析 出现一正一反的可能性大小 。在一 次实验 中，可能出现 四种情况 ：第一种 ， 1 号币正面、 2 号币正面 ； 第二种 ， 1 号币正面 、 2号币反面 ； 第 三种 ， 1 号 币反面 、 2 号币正面 ；第 四种 ， 1 号 币反面 、 2号币反 面 。一正一反有两种情况 ， 占了 1， 概率则为 。 3 概率的统计意义。 一 般来说 ， 在大量重复实验中 ， 如果事件 A发生 的 频率 m n
5、会稳定在某个常数 P附近 ， 那么这个常数 P 就 叫做事件 A的概率 。比如 ， 掷一枚质地均匀的硬币 ， 出 现正面或反面朝上的概率是多少?从统计意义出发 ， 首 先要反复做掷硬币实验 ， 经过大量实验 ， 统计数据 ， 求 出正面或反面朝上的频率 ( 正 面或反 面出现次数 占总 次数的比率 ) ， 随着实验 次数的增加 ， 这个频率会稳定 在 O 5 这个常数左右 ， 这个常数 0 5 就是正面或反面朝 上的概率。 实际上 ， 概率的古典定义具有一定 的局限性 ， 有一 些随机实验并不具备有限与等可能性质 ，对于这类随 机实验 ， 概率 的古典定义不能适用 。比如 ， 考查某种树 苗的
6、移植成活率 、 某 种子 的发芽率 、 估计某射击运动员 的命 中率、 某水果运输过程 中的损坏率等 。这些实际问 题都不属于各种结果可能性相等的类型 ，所以不能用 古典定义来求 ， 而要用统计意义来求。如某林业部门要 考查某种树苗在一定条件 的移植成活率 ，应采取什么 样 的具体做法 呢?首先 ， 在 同样 的条件下 ， 大量地对这 种树进行移植 ( 移植 的棵树 用字母 n来表示。) ， 并统计 黑龙江教育 ， J 、 学I 2 0 1 6 1 2 69 手 记 成活情况 ( 成活的棵树 用字母 1T I 来表示。 ) ， 然后计算成 活的频率 ( m n ) 。如果随着移植棵树 n的增加
7、 ， 频率越 来越稳定 于某个 常数 ，那么这个常数就可 以被 当做作 成活率的近似值。 ( 二 ) 中小学概率教 学的衔接 中学的概率教学是从概率的两个意义 ( 古典意义 和统计意义) 为出发点 ， 然后过渡到求概率的内容。即， 用列举法求概率和用频率估计概率 。人教版义务教育 教科书单元知识框架图如下 ： 圈 1 从教学的知识 目标和教学内容来看衔接 。 小学 阶段 以感性认识可能性为主 ，通过实验去感 受随机性 ， 定性描述可能性大小 ， 初步根据结果推测状 态。虽然是感性的认识 ， 但是与 中学 的衔接很紧密。实 际上 三道 例题是 中学随机 事件 和概率 的意义 的雏形 。 例 2
8、、 例 3 是学生了解概率的统计意义的铺垫 。 而“ 做一 做” ( 抛硬 币活动)也是学生理解概率统计 意义 的有效 载体 ， 这个数学活动也是中学教材 中的例题 。 2 从教学的过程 目标和核心素养来看衔接。 中小学都是通过摸球 、抛硬 币等活动感受和体会 随机性 。体现在两个方面 ： 一个是单次事件发生的不确 定性 ( 偶然性 ) ， 一个是大量实验结果统计的规律性 。这 种随机性是学生通过调查研究 ， 收集数据 ， 通过分析做 出判断的过程中体验到的。小学强调推测球或棋子 的 分布情况 ， 即谁多谁少 。中学要计算 出频率 ， 推测概率 。 可 以看出 ，数据分析是 中小学教学概率内容
9、的重要方 法 。 数学课标标准( 2 0 1 1 年版 ) 把数据分析纳入到十 个核心概念之一 ，强调要注重发展学生的数据分析观 念。关于数据分析观念 ， 具体阐释为 ： “ 了解在现实生活 中有许多问题应当先做调查研究 ， 收集数据 ， 通过分析 做 出判断， 体会数据中蕴含的信息 ； 了解对 于同样 的数 据可 以有多种分析方法 ，须要根据问题的背景选择合 适 的方法 ； 通过数据分析体验随机性 ， 一方 面对于同样 的事情每次收集到的数据可能不同 ，另一方面只要有 足够 的数据就可能从中发现规律。” 在这段话 中， 点明 7 O l 黑龙江教育 小学l 2 0 1 6 1 2 了统计 的
10、核心是数据分析 ， 东北师大马云鹏教授提 出： 数据分析观念是 中小学学生学 习统计与概率内容的数 学核心素养。由此 ， 笔者认为数据分析观念也是 中小学 统计与概率教学的重要衔接点。在前面教材分析的基 础上 ， 笔者带领着团队教师进行 了一些教学实践 ， 下面 结合几个案例来谈一谈小学教学“ 可能性 ” 内容落实数 据分析观念的粗浅认识与思考 。 二、 从借助“ 数据分析”入手 。 教学小学阶段的“ 可 能性” 内容 数据分析观念很抽象 ，教师如果仅把它作为一种 观念或思想 ， 教学 中很难落实。笔者认为 ， 把数据分析 看作是一种学生 学习的手段 、 策 略 、 方法 ， 就很容 易操 作
11、。在课堂上 ， 让学生经历数据分析 的过程 ， 掌握数据 分析的基本方法 ， 通过数据分析感受随机性 ， 这样才能 有效落实“ 可能性” 的教学 目标。 1 让学生经历“ 猜测实验数据分析推 测结论” 的过程 ， 丰 富学生 的体验 ， 感受事件发生的随 机性。 一 线教师对这部分教学存在困惑 ：概率的教学需 不需要实验 ?实验后频率和概率之 间差距大了怎 么解 释?实验结果不能验证概率 的大小 ， 学生越学越糊涂 ， 怎么办?比如， “ 掷硬币实验” 是“ 验证” 正面和反面朝上 的可 能性 相等 ， 还 是“ 推测 ” 正 、 反 面朝上 的可 能性相 等 。如果站在验证的角度 ，教师就容
12、易 出现上面的困 惑 。如果是借助实验数据 ， 包括科学家的数据分析来推 测可能性 ，这里即使 出现极端数据 ，我想也很 容易解 释 ， 实验 次数 少的情况下 ， 就会 出现所谓的“ 运 气差 ” 的偶然性 ， 这就是随机性。 所以要引导学生看整体数据， 增加实验的次数 ， 只有实验的次数越来越多时 ， 才会呈 现统计的规律性。教师要引导学生根据这种规律性去推 测可能性的大小。教材编排的几道例题都是基于这样的 目的， 呈现“ 猜测实验数据分析推测结论” 的过程 ， 丰富学生的体验 ， 感受事件发生的随机性 。 一 位教师执 教“ 可能性例 1 ” 时创设 了班级抽奖情 境 ， 每次学生抽签之
13、前 ， 教师都是让学生先猜测抽签的 结果 ， ( 可能抽到什么? 不可能柚到什 么?) 然后再实验 ， 通过猜测实践验证 的过程让学生感受事件发 生的确定性和不确定性。 一 位教师执 教“ 可能性例 2 ” 时创设 了摸棋子游戏 情境。课伊始 ，教师拿来一个装有两种颜色棋子 的盒 子 ， 呈现里面红色棋子和 白色棋子的数量 ， 提问 ： “ 摸 出 一 个棋子可能是什么颜色? ” 生 ： “ 红色或白色。 ” 师 ： “ 猜 一 猜摸 到哪种颜色 的棋子可能性大?” ( 学生凭直觉很 容易说 出红 色的可能性大， 因为红 色的棋 子多。) 这时 ， 教师话锋一转 ， “ 这 只是我们 的猜测
14、， 需要实验验证 一 下我们的猜测 ” 。此时， 教师引导学生进行分组实验 ， 记 录数据 ， 分析数据 ， 推测前面的猜想 ， 进而得出哪种颜色 棋子多 ， 摸到它的可能性就大。在这个过程中， 不仅丰富 了学生对不确定现象的体验 ，而且加深了学生对随机 事件统计规律性及事件发生可能性大小的直观感受。 让学生经历 “ 猜测实验数据分析 推 测结论” 的过程是可能性教学的基本思路 ， 也是培养学 生数据分析观念 的重要流程 。因为在这个过程 中学生 能体会 到收集 数据 、 统计数据 、 分析 数据 的价值 ， 感 受 到数据 分析是 预测 和推测一件事情必须经历 的过程 。 如果课堂上能够形成
15、“ 我要收集数据” “ 必须分析数据” “ 我用数据说话” 这样的思维过程 ， 那么 ， 学生 的数据分 析观念已经初步形成 了。 2 有效设 计问题 引领学生聚焦 “ 数据 ” ， 实现从 猜 测到推测的过程 ， 培养数据分析观念。 如何引领学生聚焦数据 ， 自觉收集 、 分析数据 ， 实 现从猜测到推测的过程?教师有效设计问题 ， 有利于学 生聚焦数据 ， 培养数据分析观念。 一 位教师执教 “ 可能性例 3 ” 时创设 了摸球活动情 境。引导学生猜一猜 ： 盒子里面哪种颜色的球多?然后 统计选择 的人数 ： 2 5 人选择黄色 ， l 4人选择 白色 ， 再引 导学生进行实验。 首先 ，
16、 让两名学生到前面每人摸 3 次 ， 让学生再猜 。学生感受到次数少 ， 不能说明问题。然后 ， 组织全班学生进行小组摸球 ， 分组记录数据 ， 再汇总全 班数据。最后 ， 教师让学生观察数据 ， 再猜测摸到哪种颜 色球的可能性大 ， 即哪种颜色的球数量多。统计选择 的 人数 ： 黄色的人数为 3 人 ， 白色的人数为 3 6 人。此时 ， 教 师提出一连串问题 ， 让学生聚焦到数据分析 ， 交流碰撞 。 师 ： 仍然选择黄色 的同学请起立 ， 老师采访 一下 ， 为什么你还坚持选黄色球? 生 ： 我们组摸到的黄色球的次数多。 师 ： 改变选择 的同学请举手 ， 老师采访 一下你们 ， 为什么你们改变了选择? 生： 因为摸到白色球的可能性大。 师 ： 那第 6 组实验数据， 确实是摸到黄球的次数多呀。 生 ： 我们不能只看这两组数据 ， 大 多数组都是摸到 白球 的次数
