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1、上页下页铃结束返回首页 1 定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成 的集合称为向量组 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 有限向量 组 第三节 向量组的线性组合 (一)、向量组的线性组合 1。向量组： 当R(A) n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解 组成的向量组含有无穷多个向量 上页下页铃结束返回首页 (一)、向量组的线性组合 1。向量组： 2。向量组的线性组合与线性表示 定义1 对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数 k1，k2， ，km，使 bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2
2、 ， ，am线性表示。 定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成 的集合称为向量组 上页下页铃结束返回首页 例1设 a1(1, 0, 0)，a2(0, 1, 0)，a3(0, 0, 1)，则 b(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的一个线性组合， 也就是b可由a1，a2 ，a3线性表示。 b2a1-a2a32(1, 0, 0)-(0, 1, 0)(0, 0, 1)(2, -1, 1)， 定义1对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数 k1，k2， ，km，使 bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2
3、， ，am线性表示。 。 下页 注意： （1）向量组a1，a2 ，a3 的线性组合有无穷多个 （2）一个向量b有可能可由向量组a1，a2 ，a3 的线性表示； 也有可能不能由向量组a1，a2 ，a3 的线性表示。 上页下页铃结束返回首页 例2任何一个n维向量a(a1, a2, , an) T都是n维向量组 e1(1, 0, , 0) T ，e2(0, 1, , 0) T ， ，en(0, 0, , 1) T的线 性组合。 这是因为aa1e1 a2e2 an en。 向量组e1，e2， ，en称为n维单位向量组或n维基本向量组 下页 定义1对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数 k1，k
4、2， ，km，使 bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表示。 结论：任何一个n维向量a(a1, a2, , an)都可由n维单位向 量组或n维基本向量组线性表示 上页下页铃结束返回首页 5 例：设 那么 线性组合的系数 e1, e2, e3的 线性组合 一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有 上页下页铃结束返回首页 6 n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量 上页下页铃结束返回首页 例3零向量是任何一组向量的线性组合。 下页 定义1对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数 k
5、1，k2， ，km，使 bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表示。 例4向量组a1，a2 ， ，am中的任一向量i(1im)都是 此向量组的线性组合。 注意：对k1，k2， ，km未加任何限制；特别是未限制 k1，k2， ，km不全为零。 这是因为o=0a1 0a2 0 am 这是因为ai0a1 1ai 0 am 。 上页下页铃结束返回首页 定理 n维列向量b可由n维列向量组a1，a2， ，am线性表示 的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程 组 x1a1 x2a2 xm am
6、b 有解。 讨论： 上述线性方程组在什么情况下有解？ 提示： 线性方程组 x1a1 x2a2 xm am b 有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩， 即矩阵(a1 a2 am)与矩阵(a1 a2 am b)的秩相等。 下页 3。 b可由a1，a2， ，am线性表示的判定方法： a11x1 a12x2 a1mxm b1 a21x1 a22x2 a2mxm b2 an1x1 an2x2 anmxm bn x1a1 x2a2 xm am b 上页下页铃结束返回首页 定理 n维列向量b可由n维列向量组a1，a2， ，am线性表示 的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程
7、组 x1a1 x2a2 xm am b有解。 推论： 下页 3。 b可由a1，a2， ，am线性表示的判定方法： （1） n维列向量b可由n维列向量组a1，a2， ，am线性表示 秩(a1 a2 am)=秩(a1 a2 am b) 定理 n维行向量b可由n维行向量组a1，a2， ，am线性表示 的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程 组 x1a1T x2a2T xm amT bT有解。 （2） n维行向量b可由n维行向量组a1，a2， ，am线性表示 秩(a1T a2 T amT)=秩(a1T a2T amT bT) 上页下页铃结束返回首页 例5 设 判断向量b是否为向量组
8、a1 ，a2 ， a 的线性组合。 若是，写出表示式。 解：设x1a1x2a2 xab 由此可得线性方程组 解此线性方程组 上页下页铃结束返回首页 增广矩阵 （a1a2ab ） 因为线性方程组有解，所以b 可由a1，a2 ，a线性表示 又因解为x1， x2 ， x 所以 b a1a2 a 上页下页铃结束返回首页 例6判断向量b1(4, 3, -1, 11) T与b2(4, 3, 0, 11) T是否 各为向量组a1(1, 2, -1, 5) T，a2(2, -1, 1, 1) T的线性组合。 若是，写出表示式。 解：(1)考虑线性方程组x1a1x2a2 b1。因为 2 -1 3 -1 1 -1
9、 5 1 11 1 2 4 ( a1 a2 b1) 0 -5 -5 0 3 3 0 -9 -9 1 2 4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 4 秩(a1 a2 b1)秩(a1 a2)，所以b1可由a1，a2线性表示。 因为线性方程组的解为x12， x21，所以使2a1a2 b。 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 2 ， 下页 上页下页铃结束返回首页 例6判断向量b1(4, 3, -1, 11) T与b2(4, 3, 0, 11) T是否 各为向量组a1(1, 2, -1, 5) T，a2(2, -1, 1, 1) T的线性组合。 若是，写出表示式。 解： (2)考虑线性方
10、程组x1a1x2a2 b2。因为 2 -1 3 -1 1 0 5 1 11 1 2 4 ( a1 a2 b2) 0 -5 -5 0 3 4 0 -9 -9 1 2 4 0 1 1 0 3 4 0 0 0 1 2 4 秩(a1 a2 b2)秩(a1 a2)，所以b2不能由a1，a2线性表示。 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 2 4 ， 下页 上页下页铃结束返回首页 例7设向量a1(1, 2, 3) ， a2(0,1,4) ， a3(2, 3, 6) b(-1,1, 5)，证明b由向量组a1，a2， a3线性表示并写出具体 的表示式。 解：考虑线性方程组x1a1Tx2a2T x3a3T b
11、T。因为 ( a1T a2Ta3T bT) 秩( a1T a2Ta3T bT) 秩( a1T a2Ta3T)，所以b可由a1，a2 ， a3 线性表示。 因为线性方程组的解为x11， x22， x3-1， 所以b a12a2 -a3 上页下页铃结束返回首页 15 例：设 证明向量 b 能由向量组 a1, a2, a3 线性表示，并求出表示式 解：向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) 因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示 上页下页铃结束返回首页 16 行最简形矩阵对应的方程组为 通解为 所以
12、b = (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c a3 上页下页铃结束返回首页 17 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 向量b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 P.83 定理1 的结论： 上页下页铃结束返回首页 18 定义：设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量 组等价 4。向量组的等价 上页下页铃结束返回首页 例1向量组a1 =(1, 2) T
13、 ，a2 = (1, 1) T ，a3 = (2, 3) T可以由 基本向量组e1(1, 0) T，e2(0, 1) T 线性表示； 同时因为向量组e1(1, 0) T =-a1 T+2a2 T，e2(0, 1) T = a1 T-a2T，即向量组e1 ， e2可由向量组a1，a2，线性表示 ；所以向量组a1，a2与向量组e1，e2等价 上页下页铃结束返回首页 20 设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即 线性表示的 系数矩阵 上页下页铃结束返回首页 21 设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1
14、, b2, , bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即 n对于 b1 ，存在一组实数 k11, k21, , km1 ，使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + + km1 am ； n对于 b2 ，存在一组实数 k12, k22, , km2 ，使得 b2 = k12a1 + k22 a2 + + km2 am ； n对于 bl ，存在一组实数 k1l , k2l , , kml ，使得 bl = k1l a1 + k2l a2 + + kml am 上页下页铃结束返回首页 22 若 Cmn = Aml Bln ，即 则 结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵 上页下页铃结束返回首页 23 若 Cmn = Aml Bln ，即 则 结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示， A 为这一线性表示的系数矩阵 上页下页铃结束返回首页 24 口诀：左行右列 定理：设A是一个 mn 矩阵， 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘 以相应的 m 阶初等矩阵； 对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘 以相应的 n 阶初等矩阵. 结论：若 C = AB ，那么 p矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行
