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1、邹春等哈佛大学年版!#%微积分评介怡上哈佛大学年版!&#%微积分评介邹春荃大连理工大学()介绍+近年来受到计算机、信息科学发展的冲击国内外数学及教材的改革一直在进行中。本文介绍美国国家自然基金组资助的以哈佛大学为首的微积分教材改革协作组所创新的微积分教材!#%.0#01234为5%.36#71!%0!3+!.8!.0!509#50012。:!365!氏52!365568.%632以哈佛大学为首的微积分教材改革协作组:=4:!365!&65#50!365国家自然基金组主要作者氏1.!4+#4%一+!3+!.8!.0#568.%63250.568.%三32厄5!34568.%6329#34坛
2、1!7!40几568.%6329.65!随86086&568.%6329.65!66!7568.%6329.65!坛0568.%63250比!叹#!47%9.0+64、&4993姗2一07!5+!8.9.0=44568.%6妙9#34.56%6%66!.5=4.!%4568.%6329#34.56%6%66=4幻5!%=#&.!3568.%63233.3%&4.+!.8!.0568.%632出版商4562%5%:&在全世界五大城市出版发行:2.、46&4%3.、.6%1!5、=.53。、%65.评介!&#%革新及特点该教材是一本为大学一年级的学生写的两学期教程前八章是一元微积分第九章是常微分方
3、程第十章是逼近。两学期实质是两个#!.3.或%7%3.一般每周四学时每学时分钟。早在)年秋就形成=教材经过二十多所学校的试用由#%5!&#%即微积分焦点通讯汇总交流各学校教师及学生试用新教材的情况。)年出版了正式的教材工科数学国外教材分析研讨会论文集】)增刊)目#%。在)一)学年、)一)学年全美)多所不同种类的大学在不同情倪下试用了该教程在大学期、小学期、大讲座、小课堂分小组、机房等许多不同的形式、不同的技术、方法在汇总了这些试用的经验、听取了试用者的建议后形成了现在的版本即)今年版的滋&#。又称作国际版!553.5!365!06365(注)年四月二十三日我接到他们三月三日寄出的这本年版的!&
4、#%六月六日收到!#%5%3.#3.%!5#日教材和教师手册的纸张印剧、图形都十分精美(。+认为徽积分是人类智慈的最伟大的成就之一。三百多年前牛顿和莱布尼茨发展了徽积分的观点。在此以后的每个世纪里在数学、物理学、工程、社会科学和生物学诸多领域里许多实际间题的解决过程中微积分都显示了巨大的威力。微积分如此成功正在于它有将复杂间题化为简单规则和过程的超常威力也因此而产生了教授微积分时只讲解规则和过程的危险。这就使学生失去了掌握、领悟数学及其实际意义和价值的机会致力于编写能保留徽积分的数学思想和实际价值的机会是这本徽积分教程的宗旨。该教程自始自终贯彻在徽积分中保留数学要旨的法则即三元法则每个题目3叩
5、6。(都由几何的、教值的、和代数的方法来表示鼓励学生思考题目的几何和数值的含义在应用问题中要求学生阐明答案的现实含义。该教程贯彻的第一个原则是在徽积分中保留实际惫义的原则即阿基米德的方法定义和过程产生于实际问题的调查研究。只要有可能总是从实际问题开始从中导出一般结论。该教程另一特点是课本中的许多图形是用计算机绘制的能直观的表示局部线性、一次通近、二次通近、三次通近的共性和差别。该教程要求学生会使用绘图计算器和具有绘图软件和计算机代数系统的计算机。有效利用这些技术的能力本身就很重要使用这些方法、技术能帮助学生用数学的方法思考该教程另一特点是从清晰严谨的观点出发增加了一些新的、来自现实世界的题目例
6、如徽分方程。删除了一些经数学家、物理学家、工程师、化学家、生物学家和经济学家讨论后无法证明其结论的传统题目。简单介绍十章的每一章节及其特点第一章61.!.29#536二函数库介绍所有书中应用的基本函数。强调其图形、数值及建立模型、性质及实际应用。要使学生熟悉每个其自身的性质、图形的状态、相对增长率及一般的用途。以期学生具有读图、以图形的方式思考读教表、思考数据的特性再加上他们的代数的技能去模拟现实世界本章共)小节一第二章2冶5&334.68!368关键概念导数通过三元法则引入导数的概念。引入导数的极限定义其瞬时变化率的设释导数的几何直观图形的切线斜率(、求导数数值的(一阶导数、二阶导数各种应用
7、和意义、局部成性和导函数。本章共小节一)邹春等哈佛大学年版!#%微积分评介第三章2&5&3=4块9656353司关键概念定积分通过定义法则引入定积分的概念。具体求一个加速运动的汽车所行驶的距离真是数据、图形并茂黎曼和的定义微积分基本定理计算导数和计算定积分是一个互逆的过程。本章共小节)一)第四章4.3一%3以99.536!365微分的捷径这章比较传统系统地研究幕函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数。这些由公式给出的函数的导数给出了积、商、和的链条法则本章共小节)一第五章%6534块.68!368导数的应用这章有很多优美的曲线和许多生动的实际例子如拐点的实际意义用一上下粗中间细的
8、容器中液面的深度的变化率在口径最细处达到最大值曲线族的定性分析经济应用边缘陇界(分析在求最优求极值最大最小值(介绍了建模介绍了用牛顿法求方程的根近似根(。本章共小节一第六章&5%3.#365!#5365.73%压.68!368由函数的导数重建函数由导函数反过来求原函数首先图形的数值的然后分析。分析了定积分的性质后其意义是面积引力下的运动。本章共小节%一)第七章=453.!积分探究积分的方法不限于有原函数&0一9.7(的函数的积分而是强调数值积分。计算机代数软件的存在改变了学生需掌握的一些积分技巧删去了很多积分技巧代之以积分表。本章共)小节)一)第八章%6534氏9656353.!定积分的应用强
9、调将3细分产生黎曼和取极限导出定积分的思想讨论怎样用定积分表示给定的物理给出了一些生动的几何的物理的经济的和概率的例子。本章共六小节)一第九章压99.536!#!365%微分方程这章共)小节一长达一百多页有很多实际的例题和很多矢量场的图形。微分方程能更好的体现前面我们发展的方法的威力是更现实更复杂的应用。重点是建立数学模型并解释其含义及定性解释在应用的背景上找解析解找近似解和数值解而不是许多技术技巧。用矢量场形象化地表示一阶微分方程解的状态。向量场提供了一种积分仁州户“尸、外森鑫森蒸论文集丫)增刊)。的方法使积分是徽分的逆过程这一事实形象化了区此也使微积分基本定理更加清晰易衡生动有趣的实际例题
10、人口模型疾病漫延捕猎者和被捕者竞争和排除等尤其是人口模型由分析)。年一)年的人口数据分段分析建立了指教模型和对数模型得出影响人口增长率下降的主要因素是出生率的下降而不是死亡率的上升。仅这一个模型就用了页之多。研究了二阶常系数徽分方程、弹性方程、阻尼方程、无阻尼方程、及复数解。第十章36”通近主要思想是由简单函数去通近函数。基本点是台劳多项式和级数、几何级数及其应用、级数的收敛性是由讨论台劳多项式自然促成的。台劳级数是局部逼近。介绍了整体全局(通近的方法付立叶级数。本章自始至终优先考虑数值的和图形的逼近。因应用了计算机绘图所以把一次遥近、线性逼近和高次逼近的差别能很好的表现出来这些图真棒这章有节
11、一年版与年版的比较、观其演变我只见到年版即6765!.206365和年版53.5!3沁5!06365。前者称初版后者称国际版试点到年+的经验已经比较成功了。所以初版看起来已经很好贯彻几何、数值和代数三元法则及阿基米德从实际间题引发即从具体到抽象的原则强调理解和判断掌握徽积分思想差别主要有初版共九章它的前七章与国际版的前八章没有大的原则改动只是内客编排顺序有所改变国际版插进了一个第六章稍微强调了极限的概念变化较大的是徽分方程和逼近这两章国际版重写了微分方程这一章以更强调实际应用及探究了相平面、状态平面及消亡曲线4!%45#%655#655%(通近这一章增加了几何级教这一小节重写了台劳多项式的误差
12、估计加进了中值定理。总之现在的版本比较严谨稍微侧重了极限和中值定理数学理论稍有加强。、+还在陆续出版一些支持材料以加强该教程的效用。叩753!.2!3!支持补充(材料有九种)朋3.#3.!5#!634%!口7!幻几%教师指导手册”七场3.#3.#365!5#!_教师指导手册5甘.!5#!答案手册。3#053%黝#365!5#!学生题解手册!#%.片3致徽积分设计扩展书653!365必教师指导录相用该教材授课的指南%6.40邹春荃哈佛大学年版!&#%微积分评介讨论班录相指导教师使用书中的材料引导学生现成操作、讨论568.%6329.65!3!.!5#!大学软件手册为书中某些题目包括数据所提供的软
13、件口%&8.65!#%634块.68题目手册指导如何使用软件增加一些与课文内容相应的题目与我国的教材及教育情况的比较建国以来找们的教材基本是苏式的改革开放以来才吸收了些英美的教材(。我国教材的特点是严、深、广就是严格的逻辑性、高度的抽象性、面广、内容多而且条理性强。我们的教材追求学科的系统性和自身的完整性很少顾及到学生的心理承受能力和接受能力。如我们一般从最抽象、最难掌握的极限、“扮占”讲起连续、导数、不定积分一路讲下去对数学家和教材自身这很合学科内容逻辑顺序很有道理。但是这不合人们的认知规律人们认识事物总是从易到难、从简单到复杂、从具体到抽象、从抽象度低的到抽象度高的这个规律不论是个体还是人
14、类总体都必须遵从。因此在微积分发展史上极限概念也是发展的最晚的。从牛顿、莱布尼茨使微积分成形晚大约二百年极限概念才严密的建立。可见极限的抽象远远高于求和定积分(及求变化率导数(的抽象度。因此学生食而不化。师生投入精力多而吸收少这种投入多而产出少的现象就很难避免了。而这本!&#%内容按排上先讲导数再讲定积分回头再讲导数、微分积分、简单微分方程与积分不用“卜护语言并不单独讲一章不定积分。这种顺序比较自然符合历史上微积分的发展经过因此也符合学生的认识规律和心理接受能力。且全书始终贯彻了三元法则和阿基米德原则。每个概念都从具体的实际问题分析起充分运用代数、几何的和数值的方法因此编写的形象、生动、有趣、
15、清晰、浅显、易懂能充分调动学生的学习积极性就是基础和能力较差的学生也能读懂&!#。的另一特点是现代化。这现代化不是靠加深内容讲形式上的橄积分也没有用“新数学运动”的宠儿集合而是实质上的现代化信息科学的计算机科学的发展使手算的技能和技巧不像以前那么重要了。在应用绘图计算器和计算机图示等其它新技术时对数学概念的琢解比技巧更具有决定性正如美国著名数学家拉克斯所指出的“现在标准的徽积分课程与数学家们应用和思考微积分的方式大相径庭把微积分课程的大部分用于过时的技巧有多么愚蠢用这种技巧来解决上面提到的间题积分函数求函数的最大值最小值及零点以及解徽分方程等(比计算机能做的要差的多甚至根本解不了。现在我们有机会清除把微积分弄得如此杂乱的那些僵死和陈腐的材料了。我们要认真仔细地想想要把什么内容放到微积分课程中去”。这在!#。确实清除了一些传统的陈腐的内容和题目而强调了实际间题和建立数学模型用逼近的观点求近似解同解析解一样有效。强调了计算器和计算机的使用尤其是绘图计算器和计算机的绘图功能的使用使图形准确生动是定性分析的有力工具直观形象有利于学生理解掌握数学概念和函数的性态。教材中的一些例题引用了现代的实际生活中的例子和数据用计
