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1、第三节 全微分 全微分的定义 可微的条件 连续、可导与可微的关系 小结、作业 应用 一元函数 y = f (x) 的微分 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关, 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微, 处全增量 则称此函数在D 内可微. (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (
2、1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 由微分定义 : 得 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即 定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 同样可证 证: 由全增量公式 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 因此有 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示, 记作 故有下述叠加原理称为偏微分. 的全微分为 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反例: 函数 易知 但 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立
3、 . 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: 定理2 (充分条件) 证: 若函数的偏导数 则函数在该点可微分. 所以函数在点可微 . 注意到, 故有 可微 连续可导 ? ? 在多元函数中, 三者的关系如何? 二、连续、可导与可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 TH1 TH2 可微的 定义 TH1的 反例 例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解: 例2. 计算函数的全微分. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将 y, z 看成常数: 将 x , z 看成常数: 例 解 将 x , y 看成常数: 故 例 解 解 证 不存在 . 证 (1) 令 故函数 ),(y
4、xf 在点 )0 , 0( 连续。 即,函数 ),(yxf 在点 )0 , 0( 偏导数存在。 (2) ),(yxf在点)0 , 0(不可微. 如果考虑点),(yxP 沿着直线 x y = 趋近于)0 , 0(, 如果考虑点 ),(yxP 沿着直线 x y = 趋近于 )0 , 0( , 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微分 函数连续 偏导数连续 偏导数存在 多元函数全微分的概念; 多元函数全微分的求法; 多元函数连续、可导、可微的关系 (注意:与一元函数有很大区别 ) 四、小结 1. 微分定义: 2. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八) 函数在可微的充分条件是( ) 的某邻域内存在 ; 时是无穷小量 ; 时是无穷小量 . 2. 选择题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: 也可写作: 当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 时 z = 0.02 , d z = 0.03 3. P73 题 7 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 设 解: 利用轮换对称性 , 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( L. P245 例2 ) 注意: x , y , z 具有 轮换对称性 作 业 习题8-3 1,(3)(4); 2 ;3