《北交自控课件第14讲 第9章 9.2 可控可观》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北交自控课件第14讲 第9章 9.2 可控可观（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.29.29.29.2 线性系统的可控性和可观性线性系统的可控性和可观性线性系统的可控性和可观性线性系统的可控性和可观性 1、可控性和可观性是现代控制理论两个重要的基本1、可控性和可观性是现代控制理论两个重要的基本 概念概念年由卡尔曼首先提出年由卡尔曼首先提出概念概念。1960。1960年由卡尔曼首先提出年由卡尔曼首先提出。 -卡尔曼（RE.Kalman)美籍匈牙利人，是现代控制理论卡尔曼（RE.Kalman)美籍匈牙利人，是现代控制理论 的主要奠基人之一。首先引入状态空间分析法，提出可控可 观、最优调节器、卡尔曼滤波、最优控制的反问题等。 2、可控性是、可控性是u(t)支配支配X(t)的能
2、力，回答的能力，回答u(t)能否使能否使X(t) 作任意转移的问题；作任意转移的问题； 3、可观性是、可观性是Y(t)反应反应X(t)的能力，回答是否能通过的能力，回答是否能通过 Y(t)的量测来确定的量测来确定X(t)的问题。的问题。 1 古典中：C(s)既是输出又是被控量 (1) C(s)肯定与R(s)有关系 ，(1) C(s)肯定与R(s)有关系 ， (2) C(s)肯定是可测量的， 因此，只要满足稳定，肯定可控可观因此，只要满足稳定，肯定可控可观 2 现代中：现代中 输入变量U和输出Y变量构成外部变量，输变量 和输出 变量构成外部变量 状态X是内部变量 问题： 1每个状态X (t)是否
3、受u(t)控制1、每个状态X (t)是否受u(t)控制 2、状态变量在系统内部，能否通过观测Y (t)来 测量X (t)测量X (t) 3 xyuxx11 001 = + =&例：xy, uxx11 120 + 例： 分析： 1、x1与输入u无关，不可控， - 、 1与输入u无关，不可控， x2可控， x1, x2不完全可控。 2或2、y= x1+ x2, x1或x2 都能对y产生影响，通过y 能确定x 或x可观测能确定x1或x2，可观测。 3、可控可观是系统设计的基 - 可控可观是系统设计的基 础。 4 9.2.19.2.1 系统系统可控性可控性系系 一、（状态）可控性定义一、（状态）可控性
4、定义 定义：对于系统定义：对于系统 BuAxx+=& 若存在一分段连续控制向量若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区，能在有限时间区( ) 间间t0,t1内将系统的某一个状态内将系统的某一个状态xi从初始状态从初始状态xi(t0)转移到 任意终端状态 转移到 任意终端状态xi(t1)，那么就称此状态是可控的。若系统，那么就称此状态是可控的。若系统 i(1) 任意任意t0时刻的所有状态都是可控的，就称此系统是状态时刻的所有状态都是可控的，就称此系统是状态 完全可控完全可控的的，简称简称可控可控。完全可控完全可控的的，简称简称可控可控 注意：1、某些状态可控系统完全可控注意：1、某些状态
5、可控系统完全可控 说明说明为讨论方便为讨论方便以后通常设系统以后通常设系统初态为初态为x(0)且且x(0) 2、系统完全可控肯定状态可控2、系统完全可控肯定状态可控 说明说明，为讨论方便为讨论方便，以后通常设系统以后通常设系统初态为初态为x(0)，且且x(0) 任意。通常指定任意。通常指定状态空间原点状态空间原点为系统为系统终态，即有终态，即有x(t1)=05 二、（状态）可控性判据二、（状态）可控性判据 考虑系统：考虑系统： BuAxx+=& ?判据1：格兰姆矩阵判据判据1：格兰姆矩阵判据 系统完全可控的充要条件是，存在时刻系统完全可控的充要条件是，存在时刻t10，使如，使如 下定义的下定义
6、的格兰姆矩阵为非奇异格兰姆矩阵为非奇异下定义的下定义的格兰姆矩阵为非奇异格兰姆矩阵为非奇异。 1 t def T = 1 0 1) , 0( t tTt f dteet T AA BBW 6 ?判据判据2 2：可控性矩阵判据可控性矩阵判据 BuAxx+=& ?判据判据2 2：可控性矩阵判据可控性矩阵判据 线性定常连线性定常连续续系统系统完完全可控的充要条件是，全可控的充要条件是，续完续完 可控性矩阵可控性矩阵M的秩为的秩为n（矩阵A的维数）。（矩阵A的维数）。 rank=M nrank n2 = BABAABB 1 L 7 可控性矩阵可控性矩阵M满秩，系统完全可控满秩，系统完全可控 8 ?判据
7、判据3 3：PBHPBH判据判据 BuAxx+=& ?判据判据3 3：PBHPBH判据判据 线性定常系统线性定常系统完完全可控的充要条件是，对全可控的充要条件是，对完完 矩阵A的所有特征值矩阵A的所有特征值 i(i=1,2,n) 均成立均成立。 nrank i =BAI 均成立均成立。 9 10 系统完全可控系统完全可控 11 ?判据4：约当规范型判据判据4：约当规范型判据 BuAxx+=& （1）设系统矩阵A具有互异的特征值（1）设系统矩阵A具有互异的特征值 1, 2, , n，由线 性变换可将式化为对角线规范型： ，由线 性变换可将式化为对角线规范型： 非奇异线性变换非奇异线性变换 uBx
8、x+ = 2 1 0 MM L & 非奇异线性变换非奇异线性变换 不改变系统的 可控性！ 不改变系统的 可控性！ 3 0L 则系统完全可控的充要条件是：不包含全为零的行。则系统完全可控的充要条件是：不包含全为零的行。 B 此方法优点在于 容易判断出能控 此方法优点在于 容易判断出能控 性性，缺点是往往缺点是往往 。 性性，缺点是往往缺点是往往 要进行线性变换。要进行线性变换。 12 BuAxx+=& （2 2）设系统矩阵设系统矩阵A A的特征值为的特征值为 1( (m1 1重重) ) , 2( (m2 2重重) ), , （2 2）设系统矩阵设系统矩阵A A的特征值为的特征值为 1( (m1
9、1重重) ) , 2( (m2 2重重) ), , n ( (mn重) ，且重) ，且m1 1 + m2 2 + mn = =n,通过线性变换可化为约,通过线性变换可化为约 当规范型当规范型( (准对角标准型准对角标准型) )当规范型当规范型( (准对角标准型准对角标准型) )： uBxAx += & 若若中中每个重特征值每个重特征值只对应只对应一一个约当块个约当块时时系统完全系统完全A 若若中中每个重特征值每个重特征值只对应只对应个约当块个约当块时时，系统完全系统完全 可控的充要条件是：各约当块最后一行所对应的相应行可控的充要条件是：各约当块最后一行所对应的相应行 不全为零不全为零 B A
10、不全为零不全为零； 若中每个重特征值只对应几个约当块时，系统完全 ； 若中每个重特征值只对应几个约当块时，系统完全A 可控的充要条件是：各约当块最后一行所对应的相应行 均不全为零，而且相同特征值的各个约当块最后一行所对 可控的充要条件是：各约当块最后一行所对应的相应行 均不全为零，而且相同特征值的各个约当块最后一行所对 B 13 应的的相应行线性无关。应的的相应行线性无关。B 三、输出可控性三、输出可控性 （1）定义：对于系统（1）定义：对于系统 DuCxy BuAxx += +=& 若存在分段连续控制向量若存在分段连续控制向量能在有限时间区间能在有限时间区间若存在若存在一一分段连续控制向量分
11、段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间能在有限时间区间 t0,t1内将系统的任一给定的系统输出内将系统的任一给定的系统输出y(t0)转移到任一最转移到任一最 终输出终输出y(t1)，那么就称上述状态方程所描述的系统为输 出完全可控的。 ，那么就称上述状态方程所描述的系统为输 出完全可控的。 （2）输出可控判据：输出完全可控的充要条件：当且（2）输出可控判据：输出完全可控的充要条件：当且 仅当以下矩阵仅当以下矩阵M0的秩等于时候输出变量的维数的秩等于时候输出变量的维数m k rank n2 = DBCABCACABCB M 1 0 mrank n2 = DBCABCACABCB 1 L 结论：
12、系统状态可控性和输出可控性无必然联系结论：系统状态可控性和输出可控性无必然联系 9.2.29.2.2 系统系统可观测性可观测性系系测测 一、系统可观测性定义一、系统可观测性定义 定义：考虑系统定义：考虑系统 DuCxy BuAxx += +=& 如果根据测量到的输出向量如果根据测量到的输出向量y(t)和输入向量和输入向量u(t)，能，能 够唯够唯一一地确定系统在地确定系统在t 时刻的状态时刻的状态x(t )则称则称x(t )在在t t 够唯地确定系统在够唯地确定系统在t0时刻的状态时刻的状态xi(t0)，则称则称xi(t0)在在t0,t1 上是可观测的；若系统所有状态上是可观测的；若系统所有状
13、态x(t)都在都在t0,t1上是可观上是可观 测的测的则称系统是则称系统是完全可观测完全可观测的的也称系统是也称系统是可测可测的的测的测的，则称系统是则称系统是完全可观测完全可观测的的，也称系统是也称系统是可测可测的的。 17 二、系统可观测性判据二、系统可观测性判据 考虑系统：考虑系统： DuCxy BuAxx += +=& ?判据1：格兰姆矩阵判据判据1：格兰姆矩阵判据 DuCxy+= 系统完全可观测的充要条件是，存在时刻系统完全可观测的充要条件是，存在时刻t10，使，使 如下定义的如下定义的格格兰兰姆矩阵为非奇异姆矩阵为非奇异。如下定义的如下定义的格姆矩阵为非奇异格姆矩阵为非奇异 = 1
14、 )0( t tTt def dteet T AA CCW = 0 1) , 0(dteetCCW 18 ?判据判据2 2：可观测性矩阵判据可观测性矩阵判据 BuAxx+=& ?判据判据2 2：可观测性矩阵判据可观测性矩阵判据 线性定常连线性定常连续续系统系统完完全可观测的充要条件全可观测的充要条件续完续完 是，可观测性矩阵是，可观测性矩阵N的秩为的秩为n（矩阵A的维数）。（矩阵A的维数）。 CA C nrank= 1n CA CA M nrankNrank= T1nTT2TTTT C)(AC)(ACAC CA L或 19 ?判据判据3 3：PBHPBH判据判据?判据判据3 3：PBHPBH判
15、据判据 线性定常系统线性定常系统完完全可观测的充要条件是，全可观测的充要条件是，完完 对矩阵A的所有特征值对矩阵A的所有特征值 i(i=1,2,n) 均成立均成立。 n C rank= 均成立均成立。 nrank i AI ?判据4：约当规范型判据判据4：约当规范型判据 BuAxx+=& （1）设系统矩阵A具有互异的特征值（1）设系统矩阵A具有互异的特征值 1, 2, , n，由线 性变换可将式化为对角线规范型： ，由线 性变换可将式化为对角线规范型： 非奇异线性变换非奇异线性变换 xCyuBxx=+ = 2 1 0 MM L & 非奇异线性变换非奇异线性变换 不改变系统的 可观测性！ 不改变系统的 可观测性！ 3 0L 则系统完全可观测的充要条件是：不包含全为零的行。则系统完全可观测的充要条件是：不包含全为零的行。C 此方法优点在于此方法优点在于 容易判断出能观 测性，缺点是要 容易判断出能观 测性，缺点是要 进行线性变换进行线性变换。进行线性变换进行线性变换。 22 BuAxx+=& （2 2）设系统矩阵设系统矩阵A A的特征值为的特征值为 1( (m1 1重重) ) ,
