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1、年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题 作者： 日期：9 2014年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题（7月6日8:30至11:00）一选择题（本题满分30分，每小题5分）1已知，则符合上述条件的共有（ ）组A100 B140 C180 D2002已知集合，并且集合，则与的面积比为（ ）A B C D3已知的三边，成等比数列，的对角依次为，则的取值范围是（ ）A B C D4的三个内角为，若，则的最大值为（ ）A B C D5正项数列满足，单调递增且成等比数列，为的前项和，则的值是（其中表示不超过实数的最大整数）（ ）A5368 B5367 C5363 D53626设直线与球有且只有一个公共点，从直
2、线出发的两个半平面、截球的两个截面圆的半径分别为和，二面角的平面角为，则球的半径为（ ）A B C D二填空题（本题满分30分，每小题5分）7若非零复数满足，则 8不等式的解集为 9甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为 10如图所示，在中，则过点，以，为两焦点的双曲线的离心率为 11设是由任意100个互不相同的正整数组成的集合，令且，表示集合中元素的个数，则的最大值与最小值之和为 12抛物线的参数，满足，则当，变动时，抛物线的顶点的轨
3、迹方程为 三解答题（本题共4道小题，满分90分）13（本小题满分20分）函数的定义域为，已知时，并且对任意，都有（1）讨论函数的奇偶性以及单调性；（2）设集合，且，若且，试求实数的取值范围14（本小题满分20分）如图，锐角外心为，直线和分别与边，交于点，直线交外接圆于点，若，证明：是等腰三角形锐角三角形15（本小题满分25分）已知数列中，对于任意的，有（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的通项公式；（3）设，是否存在实数，当时，恒成立，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由16（本小题满分25分）已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点，连结及抛物线顶点的直线交准线于，连结及的直
4、线交准线于，并且与都平行于轴（1）证明：直线过定点；（2）求四边形的面积的最小值2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准说明： 1评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。 2如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。一选择题（本题满分30分，每小题5分）1已知集合当时，实数的取值范围是（ ）(A) . (B). 或 (C). (D)或1. (B). 2过原点的直线l交双曲线于P、Q两点，其中点P在第
5、二象限，将下半平面沿x轴折起使之与上半平面成直二面角，线段PQ的最短长度是（ ）(A) . (B). (C). (D)42. (D)3设均为非零复数，令，若，则的值为（ ）(A) . 1 (B). (C). (D)3. (C). 4设是上的单调函数，且对任意，都有若是方程的一个解，且，则的值为（ ）(A) . 1 (B). 2 (C). 3 (D)44. (B) 5内直径为，高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是（ ）(A) . 30 (B). 33 (C). 36 (D)395. (C) 6已知实数满足则的最大值是（ ）(A) . 7 (B). (C). (D)3 6. (
6、A) . 二填空题（本题满分30分，每小题5分）7若，则的最大值是 7. . 8长方体中，则异面直线与的距离为 8. . 9椭圆的离心率为，斜率为1且过点的直线与椭圆交于A、B两点设O为坐标原点，若，则该椭圆的方程是 9. . 10将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中，使得至多有3个空盒子的放法有 种10. . 11已知函数设方程在区间内所有实根的和为，则数列的前项和= 11. . 12数列中，则此数列的通项公式= 12. . 三解答题13设关于的方程有两个实根，函数.（1）求的值；（2）判断在区间的单调性，并加以证明；（3）若均为正实数，证明：.13. 解: ()是方程的两个根， ，
7、 ，同理可得 ， （5分）（），当时，在上单调递增 （10分）（）， 由（）可知，同理， ， （15分）由（）可知， （20分）14.已知数列满足为实数）（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若=-2，求证：14. 解: ()当时，由得，即时，. （5分）下面证明当时，.当时，成立；设当时，成立；则当时，故对所有，成立.当时，成立， 故对所有，成立.综上，的取值范围是. （10分）（）当时， （），（）， （15分）. （20分）15如图，锐角ABC中，ABAC,且点D和E在边BC上，满足BD=CE.若在ABC内存在点P满足PD|AE且PAB=EAC，证明: PBA=PCA.15.证明:如图,作
8、平行四边形和平行四边形，则，又， 故， （5分），所以，又，则、三点共线. （10分）因此，,故、四点共圆，又由于,故，（20分）故. （25分）16.设点P为圆上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q.点满足.（1）求点M的轨迹的方程；（2）过直线上的点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与（1）中的曲线C2交于两点C、D，求的取值范围. 16.解：()设点，由，得， 由于点在上，所以，即的轨迹方程为. （5分） （）设点，则，的方程为，又点 在、上，则有：， （10分）由、知的方程为：，设点，则圆心到的距离，则； （15分）又由，得，于是，于是，设，则，于是，设，于是，（20分）设，令，得.，得在上单调递增，故.，即的范围为.（25分）
