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1、教学技术 S c i e n c e& Te c h n o l o g y Vi s i o n 科 技 视 界 2 0 1 2 年第3 1 期( 总第4 6 期) 0引言 平面向量在解析几何中的应用 高三复习课教 学案例 贾芬香 ( 定西市安定区东方红中学甘肃定西7 4 3 0 0 0 ) 高三数学复习课教学 是高中数学教学的重要课型 平面向量是 高中数学的新增内容 也是新高考的一个亮点 作为高三教学一线的 教师， 如何引导学生在高三数学复习过程中抓住根本， 合理利用时间， 提高学习效率 是高三数学复习课必须追求的目 标 因此， 结合 自己高 三数学教学的实际情况， 进行了 平面向量在解析
2、几何中的应用 高三 复习课 以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣 让学生树 立并应用 向量 的意识 1 背景 向量知识 、 向量观点在数学、 物理等学科的很多分支有着广泛的 应用， 它具有代数形式和几何形式的“ 双重身份” ， 能融数形与一体 ， 能 与中学数学教学内容的的许多主干知识综合 形成知识交汇点 而在 高中数学体系中 解析几何占有着很重要的地位 有些问题用常规方 法去解决往往运算比较繁杂 不妨运用向量作形与数的转化 则会大 大简化过程 结合我校开展的构建研究系性学习教学模式研究的课 题， 开设本节 平面向量在解析几何中的应用 高三专题复习课， 通过 问题的探究、 合作解决， 旨
3、在进一步探索研究系性学习教学模式 ， 使学 生树立并增强应用向量的意识 正因为如此 本节课这样设计： 1 ) 教育家赞可夫说“ 要以知识本身吸引学生学习 使学生感到认 识新事物的乐趣 体验克服困难的喜悦” ： 教育心理学认为 ： 思维是从 提出问题开始的： 美国心理学家贾德通过实验证明“ 学习迁移的发生 应有一个先决条件， 就是学生需掌握原理， 形成类比， 才能让迁移到具 体的类似学习中 ” 因此首先通过两个旧问题的引入解决 让学生体会 向量的工具性特点 体会向量解题的优越性 2 ) 通过问题的探究解决 由此让学生发现， 用向量法的最大优点 是思路清晰 过程简洁 有意想不到的神奇效果 著名教育
4、家布鲁纳说 过 ： 学习的最好刺激是对所学材料的兴趣 简单的重复将会引起学生 大脑疲劳 学习兴趣衰退 这充分揭示方法求变的重要性 如果我们能 重视向量的教学 必然能引导学生拓展思路 减轻负担 2问题 例 1 利用向量知识来推导点到直线的距离公式 已知点P坐标 ( ， Y o ) ，直线 l 的方程为A x + B y + c = 0 ， P到直线 l 的距离是 d ， 则 d = V4 + 日 证明： 当B # 0 时，在直 线1 上 任 取 一点， 不 妨 取P I ( o ， 一 告) ， 直 线 1 的法向量 = ( A B ) ， 由向量的射影长知识得点 P到直线l 的距离等于 向量
5、在向量 方向上的射影长度 d ， =( + ) ， 罟 器 【_ 当 B = 0时 可直接有 图形证 明( 略) 点评 ： 比较传统证明方法 。 避免了复杂的构图过程 ， 应用 向量来 证 简单易懂 充分体现了向量的工具性和优越性 例 2 ( 2 0 0 9 浙江文) 已知椭圆 + = 1 ( a b 0 ) 的左焦点为 F ， 右 a b 顶点为 A， 点 B在椭圆上， 且 B FL 轴， 直线 A B交 y 轴于点 P 若 =2 蔚 ， 则椭圆的离心率是( ) A B c 丁 1 D 1 解析： 对于椭圆， 因为 = 2 ， 则 O A = 2 0 F ， 0 = 2 c ， 一 选 D
6、点评： 对于对解析几何中与平面向量结合的考查， 既体现了几何 与向量的交汇 也体现了数形结合的巧妙应用解决与角有关的一类问 题 总可 以从数量积人手 例 3 已知定点 A ( 一 1 ， O ) 和 B 0， O ) ， P是N( x 一 3 ) + ( y 一 4 ) = 4 上的一动 点， 求J f + I P B I 的最大值和最小值 Y A O B ) 图 1 解 ： 设 已知圆的圆心为 C， 由已知可得 ： = ( 一 1 ， 0 ) ， = ( 1 ， 0 ) ， + ： 0 一1 又由中点公式得 + 商 ： 2 蔚 所 以l l + l赢 l 2 ： ( + 赢) 一 2 赢：
7、( 2 P- -O ) - 2 ( OT o- Y ) f 一 o- & =4 I 一 2 l l + 2 ( 0 - + o- -ff ) = 2 l l + 2 xNo- - - -d= f 3 ， 4 点P在N( x 一 3 ) z + ( y 一 4 ) 2 - 4 上， 所以I o- # I = 5 ， I = 2 ， _ o- -Y = o- -# + c 所 以1 o- e “ l - l o- F 1 = 1 + o- e l + l 1 即3 I 7故2 o l 亩 I = 2 f J + 2 1 0 0 所以l l + l I 的最大值为 1 0 0 ， 最小值为2 0 点
8、评： 有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现 但如 果运用向量知识来解决： 也会显得自然、 简便。 而且易人手 3 反 思 由于向量具有几何形式和代数形式的“ 双重身份” 使向量与解析 几何之间有着密切联系 而新课程高考则突出了对向量与解析几何结 合考查 这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中， 应抓住时机 ， 有效地渗透向量有关知识 树立应用向量的意识 那么如何树立应用 向量的意识。 从本节课案例得到以下启发： 第一 如何树立应用向量的意识 在教学中应先从学生熟悉的平 面几何问题人手 让学生体会向量的工具性 第二 如何树立应用向量的意识 应充分挖掘课本素材 在教学中 从推导有关公式、 定理 ， 例题讲解人手 ， 让学生去品位、 去领悟 ， 在公 式、 定理的探索、 形成中逐渐体会向量的工具性 逐渐形成应用向量的 意识 第三 如何树立应用向量的意识 在教学中还应注重引导学生善 于运用一些问题的结论 加以引 申 使之成 为解题 方法 体会 向量解题 的优越性 最后， 如何树立应用向量的意识， 在教学中还应注重引导学生善 于运用向量方法解题 ， 逐步树立运用向量知识解题的意识 责任编辑： 周娜 s c I E Nc E&T E c HN。L 。G Y V I s I 。N 科技视界 l 1 6 7
