北京大学量子力学考研试题题库

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1、Qu 琵 1茳u 11Me c 萤蒗a 纽逼c SLIl l l m e r 2012 【n s t r u c t o r Sh c n j i o h Ch c n (| 饣1t 匚l l /L) Ol r l 鼓楼校物理楼332A E-了n a i l 句c h e n n j u ,e d u ,c n Ib l c p h On c (025)83592990 Re f e r e n c e o o k s 柯普哲 虽子力学 (南京人学) 田谨 占 虽 子力学 (北京大学 )习 黾 D。1。Gr i m t h s r I P莎r OCJIJc 砂 氵Oo Q砑刀r t JFz l

2、 l f 九耐闪氵 ,2r d 【d i d )r 1 E。Me r z b a c h e r Q硼砌/l M0C九御 j 6,(;r d Fd i t i o 11 口.RP Cy n 【a n 】 而 阝勿切/l T伤n 卩c 犭t Rf /饣s o J冫幻/s 氵6,)l 飞1n l C I。 C, PAMIr a c 7 3e P而刀c 洌e s q 厂Q溺n F饲 亻0c 向佣 泅冫4t h 刚i t i On f 吹, .J Sa k u r 缸 o 初m Q“溺/Pr Jl f 姒佗c 九四 崩c s ,Rc s c d Ed i i On 衤 1. s y 11a 笾冫u s

3、 C)h a p t c 1 0r i 胥:i n s Of Qu a n t u m Ph y s i c s 1a p t e r 2 M【r t t h c m a t i c 1b ()l s Of Q11a r 、t t 1m 4e c 丨】a n i c s Ch a p t c r 3 POs t u l a t c s Of Qu a n t u l v l 人丌c c h a n i (;s Ch a p t c r 4 0n e -Di r 11e n s i o n a l Pr Ob l c m s ()h a p t c r 5 MOt i o n i n a Ce

4、n t r a l l 氵i e l d Ch a p t e r 6 Sp i n a n d n g u l a r MOm c n t 1HTl ()h a p t e r 7 MOt i On i n El c c r Om a g n e j c I氵i c l d ()l )a p t e r 8 1i r l l c -1)c p c n d c n t Pe f t t l l j b a t i Ol l 111c Or y Cl l a p t c r 9 Fk p p r o 烛m a t i On Mc t h Od s R)r Sm t i ()n 8r v s t

5、a 1c s Ch a p t e r 10 Id c n t i c a l Pa r Hc l c s Ch a p t c r Il s c a t t c r i n g r l l h c Or y Ch a p t e r 12 s y l 1n e t r i c s a n d C)o n s c f v a u On 1/s 峪F黢嘁i n g Il Or r 、c /o r k 30。垧 C笙i d -t c r r n c x a l l 1 30% l 氵i r a l e a n 40% 量子力学习题No 。1 z O年7月2H 1.一根功率为眄l c W的广播天线,

6、发出频率为4M11z 的无线 电波。计算每秒种发出 的光子数 闩。 2.在Bo l 1r 的氢原子模型中,质量为阴 的核外电子绕原 了核 (质母 r 认 为是 )沿 着圆周轨道运动。利用Bo l l r 的量子化条件 丁 、 =刀力, 刀=1,2, 式中 厶是轨,道角动呈,证明圆周轨道半径和能址为 =刀2r /Jl ,J刀=-繁 式中 幻 和RII分别是氢原子 的Bo 扯半径和Ry d b c 喟常数 4万c OF12 况0= 隅 e c 92 妍籁尸 具体给出 幻 和RFf 的值。下述量或表达式可能有用 l Cl L/ =l ,610 19J 7召C2=0.5111N/1e V 九 =193

7、3Mc Vf m =1933I()15Mc Vl t 、 召 2 1 =丽 =了而 13,质策为阴的维谐振子在一 艿 曰 运动。 -/求它的能量。b c ,J1So m 1n 妃l d 量子化条件 式中 和 分别为系统瞍度这 殪奸l 广义坐标,积分是拍沿右系统的运动慌 乇邪 珈静 唧 烁 缈聊 n 1: 椭 系 ?1l 殁 (鐾罗翳 4,转动惯量为r 的平雨i 转了在092丌运动 。请川 l s o 礻s Om r n l d 址子化条佩 扩 亻 鲁 楚 翌 下 f 父 ” 翟 荃 欠 j 咿虽 桫 -胛絷R卿f 贫焉t 炽翠 昏 丿 L 王 鸳 ?矿廴 卩 嚅 饣 马 助赳 。d F 石.

8、乙耕”: 爹 虍 素 量子力学习题No .3 2012荃F7卢J5Fl l 。沿肴J方向运动的一维粒子的Il a m i l t 【J“ 扪 为 夕= 苎 1+16父 2 式中楚具有能呈量纲的实数。 ( 问=风c 2是不是玎的本征函数 (A是待求的归一化系数)?若足 , 求能量本征值 讠| 算在 艿负轴找到粒子的概率。 ( 求相应于波函数 =2觅 的能量本征值。 (d ) 和 是否正交? 2.(酋讠 直 讠 亩4,6)设F(贪,n 是辊和 的 繁函数,整函数足指 (扌,p )叫掇圩成 吒 =汛 1吝l 喟咧 式 巾C夯 7足数仇 系数c 证明 p 庀,川= j 弼辞 “b 川 =j 弼嚼 3,

9、(酋滩宙 4.17)定义球坐标系中的径向动量算符为 宀 =:m ;+;创 证 明 ( 力 严 足厄米算符,即耐=p r l l ,l 冖 油 芳 + ) )虍;一九 2睇 + 嘉)一勿 2卉 辜 r 噶) 4.质甘为u 的粒 了在有心力场中运动,Ja In j l k )11i a n 吖j 球坐标表示为 夕 =匹 2 +9石 T万 +y ( p r 足径向动 t 卸:符,是角动址算符c 订r 明 (a )角动计内 -j 个分呈 勹虍均对易,即| 充f ,臼=o ,氵 =丌,y ,z 0l0 姓 01 040 rIIl 历 下 A 以 胂 嗍 灬 丨即 叫 岬m伽冖 盹洲眦叶 % _ 阳 f

10、妨血泖涮 的 _ 咖剐 咖 籁 5 式中 1有能景最纲c ( 测蛀能虽可以得到哪些可能值? (b )如呆测址能甘得到 一 后 ,立即测量A,有哪些 叮能测呈值?每个测址值的 衤 u 应概率是多少? 汁算不确定庋 A。 6。设某量子系统的Ha m i l t o n i a n 为 泞=凡( 伤 D+| D 倪 )+2Jd c c 式中| 围, 9,0构成系统的 “ 交归 宄 备的基矢,玩足实常数。 求该系统的能l 诖本行E值和相应的本征函数。 l l D)设正=0时刻糸绍i 处在 浼 态 ,求0时刻系统状态。 ( 若在 =o 时刻测i 古系统能呈,问可能的测量值和才 H应的概率。 l c l

11、)亻殴设在 莎=0时刻测址系统能量,发现系统处在基态 。能量测呈完成后,j 讧 即求系统处在 佣 态的概率。 7.(旧洋古8.3)已知 1n i t i a 11彳、满足 2=1,启窍+虑 =o 不 考虑简并。 ( 在 孟表象中9求箅符 月和 宕的矩阵表示,以及 j 的本征值和本和 f 函数。 (b )在宏农象巾,求箅符 和 的铡i 阵表示,以及 月的本征竹和l 本征函数。 求从 农象到 捻表象的幺i 变换知阵。 (;罗 ) :( 奋 兀 二 砷 彳 a 艹甫:口 0 一一 . 一 丶丿/ b 一 bd n 丨 、 夕 + d 丿 厶 叫 ” w R 景子力学习题No .4 z O12年7月6

12、日 1.质 置为JPT的粒子在 维无限深势阱(-砑 x 曰)内运动,写出Jt 基态的动亢1概 率帆。h u l i 汰为是 l O90=扣( 亻一 :誓)+:J( x +鹜) 饫u 阱 内的动址谱足i k Il 个在全实轴上反向运行的唯色d e Bl O四i c 波 线性叠加而成的 驻波 。你认为足否合理?请给予解释。 奄 美 潆i 洲居 瓦 剞黟 昃 芽 泔 诬 胛襁饣 匙 茹 岛 钅 舅F而 轮 窍 窆 禾 筱 庋为 x 0从左方入射一个任 意形状的坍垒 y , 设艿-时y (o 9当 宽+时,y )一 y 。(0,如下图所示 。同 一个粒 子以本H冂能呈从右方入射该势场,证明在这两种情况

13、 卜 透射系数1l l 等。 有 个相当 简化的 氢1分子离子 (饥p 模型。电 子在两个 质了 组成F句一维对称势 场中运动 w 一 响 卜 卜 +知+巾-豹 | 式巾 伤为质1r 之问足u 离,设为常数。求束缚态基态能蚩和波函数。 维半壁无限高谐振子势场 中 y = 雾艿2,I 得到基态能量。 =尝庀 的 解作比较,能得出什么结论? 的粒子在如图所示的势场中运动 y )= 饣 犭 下 L 8, 9. 10, 量子力学习题No .5 12年7月 9日 求Ex n 勹本征值和本征态。 (b )在 叫态中求平均俏 E茁、1和 El 。 ( 在v =拮?+丐 1)态 中求平均值 Ex 、c 1和

14、1。 4. =1“ J,Ez 的共 l l 本绗 | 态叫,t Dl 、 叫,t p l 和 Y了 l l r J, 矽i 了帘闷中足完各的c i 匝过对这二个夙于 冂 一本征值2 n 勺 本和 丨 :态作线性纰合,求解r ,f 汀 J共 H本彳i f 态 叫l F, )、 叫l r J, )和Y丁 l ,勹 1。 根掘 腼 帕祧将巴 丨 胃l f 岿品丨 辎 g F唧 斌各 系展丌,从而在叫,态中汁箅 ( 利l l l 丬题5.2F向结呆,新在叫四,r /,l 态中汁鳋1Lx 的刂能测伯和丬 1| 应儿率。 5.,l D及JJ1反粒 D颀坩丬 丬1l l l , l 以汰为足 臼山Ha l

15、i l t Ol l i a n Jr )臼洵许态 FJO| D=马 D, r r l )| D =0| D 式丨| | 马足实数,其有能量景纲。设有某种相互作川 泞能亻 吏D和万 相转咬 差/| D=0| 万, 舟 | I,=0| D 式l | | 旬出是实数,少1有能址址纲。如呆诊=0时亻 1 -味 纯的D粒 F,求 r 时 刻在 该系绮找到万的儿率。 l U二 刂 丿 心 足将Y ( ,)、 呷四 ,)和YTl (,巾)农 力t 成 Y丨( r p l 、 叨 (, 和l Y l ( ,仞的线 | | 1力。捉尔; 先巧出Y丨(J,、叫(,Fy ,l 和YTl m ,在冉角中标 系的农达式,l l 仵变l i !代换z ,J,Jy