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1、i 专栏 1 分数四则运算的教学难点及应对策略 常州大学尝试教育科学研究院 邱学华 前 一讲 谈 了分 数 的教材 编 排和 概 念教 学 ，这 一 讲 接着 谈分 数 四则运 算 的教学难 点及 应对 策略 。 从 四则 运算 的 角度 来看 ，分数 四则运 算 比较 困 难 ，因为 它 的表达 形式 、运 算 操作 过 程 ，以及 说 理 过 程都 同整 数和 小数 四则 运算 不 同。 有 人会 说 ，分 数 四则运 算 只是 一 种运 算 ，有 何 困难 呢? 且慢 下这个 结论 。 马立 平著 的 小 学数 学 的 掌握和 教 学 一 书 中 达 到 了“ 根 深 蒂 固 、 深 入
2、 人 心 ” 的 地 步 ，从 心 理 学 的角度 来说 ，已经 形成 思 维定 式 ，会 干扰 分数 四则 运算 的学 习。如学 生可 能 出现下 列错误 ： 1 1 2 4 2 2 + 一 丁 一 看就 知道 ，学 生 受 整数 加减 法 的影 响 ，把 分 母 、分 子分 别 相 加减 ，学 生 的思维 还 没有 进入 分 数 计 算 的范 畴 ，做错 第 1题 的学 生还 不 承认 自己做 错 引 用 了 一 个 测 试 ： 计 算1 ， 受 测 的2 1 位 美 国 了 ， 振 振 有 词 地 辩 解 道： 就 是 两 个 人 分 一 块 饼， 数 学 教 师 竟 有 1 2人( 占
3、 5 7 ) 做 错 了 。 他 们 都 是 本 科 生 ， 有 的 还 是 硕 士 研 究 生 。 各 种版 本 的小 学 数学课 本 ，大都 在 五年 级 下学 期学分 数 加减 法 ，六年级 上 学期 学分 数 乘 除法 ，横 跨 两个 学 期 。在分 数 加减 法 前面 ，先学 分数 的基 本 性 质 、约 分和 通分 ，为学 习异分 母分 数 加减 法打 好 基础 ，在 分 数乘 除 法后 面 ，延伸 学 习分 数 的混 合运 算 。这 部 分 教 学 的 内 容 多 、概 念 多 ，说 理 要 求 高 ， 不可 能一 一 论述 ，我 以问答 的形 式 ，就 几个 问题 剖 析教 学
4、难 点 以及 应 对策 略。 1 分 数 四 则 运 算 中 的核 心 概 念 有 哪 些 所 谓 核 心 概 念 是 指 最 重 要 的 、 经 常 要 运 用 的 、 起关键 作 用的概念 。按此 标 准衡 量 应该 有两 个 ：一 是分 数 单位 ，二是分 数 基本 性 质 。这 两 个核 心 概念 贯穿 这部 分教材 的始终 。 异分 母分 数 加减 法 为什 么要 先通 分 ?分 数 乘 除 法 的计算 法 则如 何理 解 ?这 些都 要 用分 数 单位 和分 数 的基本 性 质 ，才 能说清 楚 。 因此 ，在 分数 四则运 算 的教学 中 ，教 师不 能让 学 生光 顾 着计 算
5、 ，必须 运 用分 数 单 位 和 分 数 的基 本 性 质 的概 念来 讲 清 算 理 。 概 念 先行 ，才能 真 正学好 计算 。 2 计 算 同 分 母 分 数 加 减 法 ， 为 什 么 分 母 不 变 ， 分 子 相 加 减 整数 和 小 数 四则 运 算 ，学 生 已 经 学 了 4年 多 ， 两 个 人分 一块 饼 加上 两个 人分 一块 饼 ，不就 是 四个 人分 两块 饼 吗? 原来 这个 学 生连分 数 的意义 还 没有 搞 清 楚 ， 问 题 出 在 教 师 举 例 不 当 。 教 学 时 ，教 师 特 别 要 强 调 分 数 单 位 的 运 用 。 如 + ： ，分
6、数 单位 是 ，4个 加 3个 ) 5 等于 7 个 。开始时，每一道题都要求学生这 样说 ，不 断强化 ，不能十 白 麻烦 。 为什 么分 母 不变 ，只 要分 子 相加 减 呢? 有 的学 生虽 然 明 白了道 理 ，但是 心 里还 是有 疑 惑 。我 上过 这 堂 课 ， 问 学 生 还 有 什 么 问 题 ， 有 一 个 学 生 说 ： “ 道理 我 明 白 了 ，可 我总是 有 点不 相信 。 ”为 此 ，我 举 了一 个通 俗 易懂 的例子 。 5 元 +3元 =8元 写 成 竖 的 形 式 书 簿 曼 无 一 v 我 说 ，元 是 单位 名称 ，要不 要 写两个 元 字 。学 生
7、 一 下 子 恍 然 大 悟 ，连 说 ： “ 这 下 ，我 懂 了 。 ” 3 异 分 母 分 数 加 减 法 为 什 么要 先 通 分 “ 比 较 分 数 大 小 ” 中 ， 学 生 已 经 知 道 异 分 母 分 数必 须 先通分 ，转化 成相 同分 母 的分 数 才能 比较 大 小 。 因为分母 相 同 ，分 数单位 就 相 同 ，相 同分 数 单 位 才 能 比较 大I J 、 。 这 里 回想 起 前一 讲 中 ，我 曾谈 到美 国很 多初 二 学生把了 1一 都做错了，就是忘了先要通分 ，才能 计 算 。 这 里 还 是 要 强 调分 数 单 位 和 分 数 的 基 本 性 质
8、。为 了让 学生 明 白道理 ，加 深 印象 ，教 师可 补 充 以 下 练 习 ： 5元 一 3 角= 2元 ，错 在 单 位 不 同 ，不 能 直 接 减 。 5元 一 O 3元 = 4 7元 ，转 化 成 相 同 单 位 才 能 减 。 1 2 m- 8 e m= 4 m。错 在 单 位 不 同 ， 不 能 直 接 减 。 1 2 0 0 c m- 8 e m=1 l 9 2 e m， 转 化 成 相 同单 位 才 能 减 。 一3一 ： 一 ：上 ，相 同 道 理 ， 必 须 先 转 5 1 5 1 5 1 5 1 5 化 成 相 同 单 位 。 4 怎 样 理 解 分 数 乘 法 的
9、 计 算 法 则 分 数乘 法 的计 算法 则 ：分 数乘 分 数 ，用分 子相 乘 的积 作分 子 ，分 母相 乘 的积作 分 母 ，这 个 法 则 同 整 数 计 算 法 则 相 近 ，学 生 容 易 接 受 。我 上 过 这 堂 课 ，学 生 自学 例 题 后 都 会 做 了 ，仅 用 4分 钟 就 搞 定 了 ，但 要 讲 清 为 什 么 要 这 样 算 的 道 理 就 比 较 困难 了。教 师教 学 中切 忌只 用抽 象 的说 理 ，应 该 采 用直 观 的 图 解 方 法 。 例 如 ， 4 2 4x 2 8 5 3 5x 3 】 5 f 憝 缴 表 示整体 1 ，譬如是 一块 田
10、 ， 一 堆货等。 争 表 示 把 整 体“ 1 ” 平 均 分 成 5 5 份 取 其中的 4份 。 4 丁2器不 4再平均分成 3 份 。取其 中的 2份。 根 据上 面 图解 ，我们 可 以清 楚 地看 出是 由分 数 乘 法 的意 义( 求 一 个 数 的几 分 之 几 是 多少 ) 决 定 的 ，分 母乘 分母 表 示单位“ 1 ”一共 平 均分 成 几份 ， 先 平均 分成 5份 ，再 平 均分 成 3份 ，一 共 平均 分 成 1 5份 ；分 子 乘分 子表 示一 共取 其 中的几 份 ，先 取 4 份 ，再 扩大 2倍 ，一共 取 8份 。 5 怎 样 理 解 分 数 乘 整
11、数 的 计 算 法 则 分 数乘 整数 同整数 乘法 的意 义一 致 。 3： ： 3 上面算式是求3 个 是多少， 是2 个， ) 乘 3就 是 6个 ，因此 ，整 数 只 要 乘 分 数 中 的分 子 ，无须 乘分 母 。教 师教 学 时 用上 分 数 单位 这 个概 念 来解 释 ，学生 更容 易接 受 。 还 有一 个办 法 ，是 把 整 数转 化成 分 母 是 1的分 数 ，这 样 同分数 乘分 数统 一起 来 ，省 去很 多麻 烦 。 拿 3 ： ： 3 上 ) 6 怎样 理 解 分 数 除 法 的 计 算 法 则 四则运 算 中分 数最 难 ，分 数 四则 运 算 中又是 除 法
12、 最 难 。所 以 ，分 数 除 法 对 学 生来 说 是 难 上 加 难 。 中学 数 理化 中分 数 除法 经 常会 用 到 ，必 须让 学 生 认 真学 好 。 过 去课本 上 ，分 数 除 法 的计 算法 则 表 述为 ：除 以一 个分 数 ，可 将这 个分 数 的分 子 、分 母颠 倒 位 置 后 ，再 与被 除 数 相 乘 。现 在 新 课 标 的 课 本 中 表 达 为 ：除 以 一 个 数( 0除 外 ) ，就 等 于 乘 这 个 数 的 倒 数 。 这 两 个 表 述 ，学 生 都 难 以理 解 。 怎 么 明 明 是 除 ，一 会 变成乘 法 了呢 ?真 是 眼 睛一 眨
13、，老母 鸡 变 成 鸭 了。 这 同他 们 头 脑 中 原 来 的知 识 储 备 大 相 径 庭 ，所 以本 文开 头介 绍 ，分 数 除法 ，连 美 国不 少 教 师都 会做 错 。 怎样 向学 生 解释 这个 道 理 ，大 家 想 了很 多的 办 法 ，我也 做过 数 学 实验 。结 果 发现 ：从 整数 除 法 和 5 -1 - 乘法 的意 义来分 析 效果较 好 。 例 1 ： 有 l 5本 书 ， 平 均 分 成 3份 ， 每 份 是 几 本 ? 1 5 + 3 = 5 ( 本 ) 。 例 2 ：有 1 5本 书 ，它的 是 多少?1 5 = 5 j J ( 本 ) 。 例 1是整
14、数 除法 ，例 2是分 数 乘 法 ，可 是 这 两 道题 的 意义和 所 求 的 问题 却 是 一样 的。他 们 都 是 把 1 5本 书平均 分成 3份 ，求每 一份 是 多 少 ；它们 的 结 果也一样，可以写成等式 ：1 5 + 3 = 1 5 x 1，1 5 + ： ) 土 1 5 x 。3 可看作分母是 1 的分数，将 的分子、 j 工 分 母颠 倒位 置 ，就得 到 。 所 以 ，上式 说 明 了 ，除 j 以一 个分 数 ，可 将这 个分 数 的分 子 、分母 颠 倒 位 置 后 ，再与被 除 数相 乘。 现在课 本 中引进倒 数 的概念 ，因为 3的倒 数 是 1 ， 所 以1 5 + 3 可 转 化 为 乘3 的 倒 数 ， 即1 5 。 这个 说理 过 程简 单 明 了 ，学生 容 易 接 受。 这 里 重 点 要 向 学 生 渗 透 数 学 转 化 思 想 。 由于 引 进 了分 数 ，乘 法和 除法 的意 义都 拓 展 了 ，除 法和 乘 法 可 以 在一 定条件 下 互相 转化 。 三 3 7
