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1、有效课堂l注重思维训练“函数与方程思想的应用教学案例及点评顾建君，周德明(1江苏省无锡市堰桥中学，214174；2江苏省太湖高级中学，214000)高中数学课程教学应该注重提高学生的数学思维能力，而数学思维能力主要表现在运用数学知识、数学方法分析问题、思考问题，建立模型、解决问题。高三数学复习课一个重要的目标就是提高学生的数学解题能力，而数学解题能力的关键是分析和思考、寻找和调整解题思路的能力。对此，需要进行适当的解题训练，掌握一定的解题技巧，但是，更重要的是关注解题思路是如何展开的，面对问题应该怎样人手。因此，在课堂上，教师不能只关注学生是不是会解决给出的问题了，更重要的是通过共同探究解题思
2、路，暴露思维过程，进行思维训练，让学生体会基本的数学思想是如何指引我们展开解题思路的，让学生学会独立地寻找思路、调整方向、展开思考，提升分析、解决问题的能力，并由此激发学生的求知欲和审美力。数学思想是对数学知识的本质认识，对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，是较高层次的抽象，因此也是中学数学教学中的难点。对数学思想，有些教师在教学中采用大而化之的策略，泛泛而谈，没有落实到具体的问题和思考中，这样是不能让学生理解的；有些教师在教学中则采用“贴标签”的方式，牵强附会，没有自然地展开解题思路，这样是不能让学生应用的。于是很多学生都知道数学思想，但是就是
3、不会运用它指导解题。更为可怕是，数学思想在教学中有被抛弃的危险。一些教师过分强调繁琐的技巧，忽视“通性通法”；过分关注解题的结果，忽视思考的过程；过分追求讲题做题的量，忽视必要的琢磨反思、拓展延伸。使得很多学生满脑子都是技巧、细节，整天都在题海中挣扎，缺少对大思路、大方向、指导思想的实际的体会和领悟；也使得很多学生只会机械地模仿操作，缺乏迁移创造的能力，甚至不能独地解决稍有变化或复杂的问题。这样遗忘了数学思想的普遍指导意义本质，违背了数学的求简本质，使学生负担增加，而实效降低。最近一堂“函数与方程思想”的应用高三二轮专题复习课，让人感受到了数学思维训练、思想方法的回归，也让人体会到了浓浓的“数
4、学探究味”。现摘录并赏析其中一些片段如下：【片段1】开门见山，引出本课研究的问题师近期同学们做了几张综合试卷，教师批2014年第2期教育研究与评论课堂观察阅后发现有几道题做错或不会做的同学非常多。它们是：1记等比数列a)的前”项积为T(nN)，已知口一1n+12a一0，且丁2一l一128，则一。222设椭圆c：+=：=1(n60)恒过nO定点A(1，2)，则椭圆C的中心到准线的距离的最小值为。3设n一z-xy+，b=pv，f一-z+，若对任意的正实数z，都存在以口，b，c为三边长的三角形，则实数P的取值范围是c高三二轮复习应当以研究具体问题，切实提高学生解决问题能力为重中之重。开门见山地抛出几
5、个近期困扰着学生的问题，切中学生的认知冲突点、思维困惑点，让学生的注意力迅速集中起来。【片段2】问题驱动，反复追问，共同探究，自然引出、彻底弄清方程思想师我们来思考第1题，有会做的同学吗生从am-1n+一2a一0出发，利用等比数列的性质，可得n一2a=0，所以a一2，或n一0(舍去)。由72一l一128，可得n1n2n2一1128。联想等差数列求和的倒序相加法，得出a一n。n一128。两式相乘，并利用等比数列的性质，可得(n)一一128128。将a一2带入，可解得m一4。师(追问)你是怎么想到的呢生看到a一n，我就想到了它与a一，n+1的等比中项以的关系：a一1口+1一n；看到等比数列的前2m
6、l项积丁2一，我就想到了倒序相乘。师很好!基本功扎实，解题经验丰富。(追问)如果想不到这些，怎么办生这个，我就不知道了。师想一想你是怎么得到要求的未知数的值的。(追问)已知的是什么生两个式子：a一1“+12a一0，1128。师没错。它们都是等式，也就是方程。(追问)由方程可以干什么生解未知数。师(追问)这两个方程里面有哪些未知数生n一，n+，n，丁2一，好像都是未知数哎，而且好像没有要求的未知数哎。师发现得好!(追问)怎么才能把要求的未知数优也放到方程里未知数是什么在哪里出现的生n和丁的下标中。它与项的序数有关。师没错。n就是数列的第一1项，一就是数列的前2m1项积。(追问)还有什么条件没有用
7、上生)是等比数列。师很好!(追问)怎么用它，能够使得已知的方程中出现要求的未知数m，并且其他未知数尽可能地少，最好没有生用通项公式。设n的公比为q，则有以1qm一n1q一2alqm一0，日1以1q口1q。a1q。一。一128。不过这样似乎方程变得复杂了，而且只有两个方程，却有三个未知数，好像没有其他能用的条件了，能解出要求的未知数吗师既然没有其他能用的条件了，那就解解看吧。根据我的经验，“吗”字可以不要。否则，这道题目可能没有解，是错题。谁解出来了生由n1a1-2a1q一=：=0，两边除以不为零的nlq一，可得n1_。-=-2。由n1a1qn1q口1q。一128，得nm一q专m一”m一。一12
8、8，(以qm一)m一教育研究与评论课堂观察2014年第2期=128。成功了!师好啊!你也看出来了，如果把agm作为整体，那么就只剩a一，两个未知数了，消去aqm，也就解出了。(追问)a旷实际上是什么生a。师没错。两种解法是殊途同归的。谁来回顾比较一下两种解法生我觉得前一种的解法过程比较简洁，但是需要对等比数列的等积性质非常熟悉才能想到；而后一种解法十分自然，只要列方程解未知数就可以了。师(追问)那么为什么一开始想不到后一种方法呢生我觉得是因为方程的意识不强。看到两个已知式子中未知量众多，而且没有要求的，就有点慌神，不知道怎么下手，净去想复杂的技巧，想怎么一下消去那么多无关的量，有点“欲速则不达
9、”了。师很好!我觉得方程思想就是：把未知量用字母表示，从题目条件中寻找等量关系，也就是方程，通过解方程(组)的方法，本质上是消元的方法，求得未知量，也就是问题的解。这里要强调的是，把问题的解看作未知量，把等量关系看作方程，把解方程理解成消元；遇到困难就寻找新方程，如隐含条件，就设法再消元，如整体消元，这样的意识就是方程的意识。理解它就会觉得它很自然，就能把它用起来。变式1已知数列a是公差不为0的等差数列，a部分项组成的数列：a，ak，a恰为等比数列，其中k1=1，k25，是313，求是关于的表达式。生(主动尝试)基本思路还是找等量关系，当然是要围绕要求的量来找。因为a为等差数列，设公差为d，所
10、以a一口1+(愚一1)d。因为a，a。，a为等比数列，设公比为q，所以a一q一一aq一。现在a是可以消去的，即a+(一1)dn矿。还要设法消去a，d，q，当然是不用消去的。看看还有什么条件没有用上，一1，尼=5，是。一13，也就是说a5一a1+4d=alq，a13=al+12n1q，不看a5，a13，就又得到关于a，d，q的两个方程。这又是未知数比方程多一个的情况，不去管它，先解解看，因为q是二次的，就先消去它，得f1。一al+12d，得+16d2+“1，“18al=口+12a1d，又0，所以al一4d，所以q一2。于是可以消去a，q了，得(是+3)d=4d2，很巧的式子，d自动消去了，得k一
11、42一一3。我居然解出来了。我只是跟着刚才的感觉走而已啊!师非常好!自然而然，水到渠成。这就是方程意识和思想的威力。大家体会到了吗遇到问题不用紧张，自然地去想，相信自己能解出来；认准了路子就不要老是怀疑，不要轻易放弃，适度的繁琐是正常的，高三的综合题、高考题不可能都是一马平川的。变式2已知数列a满足a+2a2+3n3+馓一(n+1)(+2)，则数列的通项公式为。生我来试试。要求a的通项公式也就是要求a关于的表达式，和前一题有点像，还是找等量关系吧。不过条件好像很少，只有a1+2a2+3a3+na一n(n+1)(+2)这一个等量关系，而且里面的口，a，a。，a都是未知数，怎么办呢2o142教育研
12、究与评论课堂观察师你再想想，条件中的等量关系确实只有一个吗这一个能变出很多个吗注意恒等变形不能算，那样得到的新等量关系和原来的本质上是同一个，不能用来消元。生我想到了。这里的是可以任意取值的，如果取1，就有a=6，如果取2，就有口+2a=24，就可以求出29，这样一直下去就可以求出了。原来看似一个等量关系，其实蕴涵无穷多个等量关系啊!生不需要这么麻烦，不需要一个一个地消去1，口2，“3，一l，可以直接消去口1+2。2+33+(一1)口一1。师你是怎么做的生直接考虑7取一1的情况，有n+2a+3a3+(一1)一1一(一1)(n+1)，整体带人已知的方程就可以了。师非常好!方程思想是自然的，但是消
13、元是有一定技巧的。有时你可以得到很多个方程，但是只要用到其中的一两个就可以解决问题。面对问题，教师不越俎代庖，而是鼓励学生自己思考。当学生解不下去的时候，教师则通过提问旁敲侧击，引导学生发现困境的本质，让思路很自然地得到调整、推进下去；当学生解得出来的时候，教师也毫不放松地继续追问，帮学生理清思路，检查缺漏，看学生是否真的搞懂了。这便是真正的合作探究：教师听且关注学生的“说”，并从中了解学生的真实状态；学生听且思考教师的“说”，并从中领悟方法和道理。这也是真正的思维训练：暴露思维过程，自然地调整、推进；学生是学习的主体，教师是引导者、帮助者。当那位学生思路自然、条理清楚、不紧不慢地独立解决了比
14、原题还要复杂的变式1的时候，我们立刻就明白了教师为什么要花那么多时间和精力(甚至显得有些哕嗦了)，引导学生理清原题的解题思路，把原题研究透。这里对“方程思想”的概括出现得那么地自然，原来我不一定非要知道“方程思想”的定义(也难以准确定义)，我只要自然地想问题，有方程意识，就是在用“方程思想”指导解题了。方程思想并不神秘，我们已经学会了，所缺的只是更多的实践和体会罢了。正如人教版高中数学教材“主编寄语”中所说的：“我们说，数学是易学的，因为它是清楚的，只要大家按照数学规则，按部就班地学，循序渐进地想，绝对可以学懂；我们又说，数学是难学的，也因为它是清楚的，如果有人不是按照数学规则去学去想，总想把
15、“想当然”的东西强加给数学，在没有学会加法的时候就想学习乘法，那就要处处碰壁，学不下去了。”这一课就是在告诉学生：解不出来没关系，以数学思想为指导，一步一步展开思考，总会成功的；解得出来也别得意，会不会是凑巧，真的理解了吗，换一个问题还解得出来吗，这些都是值得再思考的问题。【片段3】顺势变化，函数方程“是一家”师好。第1题花了比较多的时间，但是我希望同学们学会的不仅是解这道题，还有分析问题的方法，方程的意识和思想。现在来研究第2题。(有了对第1题的充分研究，学生一下子信心大增，情绪高昂，跃跃欲试。)1生寻找题目条件中的等量关系，可得+a云=l。要求椭圆c的中心到准线的距离的最小值，先设距离为d
16、。师下面怎么办呢能求出d吗生似乎不能。要求的是d的最小值，所以我觉得d应该是可以变化的。教育研究与评论课堂观察2014年第2期师怎么变化呢与什么量有关有什么样的关系生随椭圆大小、形状的变化而变化，与口，b有关，有等量关系一等一三。师非常好!又见等量关系，怎么处理你得到两个等量关系用它们解出d吗生解不出。我们应该把+4=1当作限制条件，把一等一三当作目标函数，利用限制条件消去目标函数中的一个自变量(元)，然后求目标函数的最小值。师又见消元，消去哪一个好生消去b。我稍微作了一些尝试，觉得那样得到式子简单一点。师没错，理由也很好。求简是数学解题的原则。你继续做下去。生可得iC2一。j9a2-I根号在整个式子的外面，所以先考虑里面的分式，一般来说，可以对分母整体换元，从而简化分式。师没错。除了消元，换元也是化简的重要手段。生设a2
