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1、山东省淄博实验中学高三数学第二学期4月份教学诊断考试试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设 为虚数单位.若复数 是纯虚数，则复数 在复面上对应的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 2.已知集合 ,若 ，则实数m的取值范围为（ ）A. B. C. D. 3.如图是为了求出满足 的最小偶数n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入( )A. A1000和n=n+1 B. A1000和n=n+2 C. A 1000和n=n+1 D. A 1000和n=n+24.已知函数 ，若 ，则a为（ ）A. 1 B. C. D. 5函数 （
2、 且 ）的图象可能为（ ）6我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ） （第6题图） （第11题图）A. B. C. D. 7.直线 与y轴的交点为P,点P把圆 的直径分为两段，则较长的一段与较短的一段的比值等于 ( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 58已知ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，向量 =(ac，ab)， =(b，ac)，
3、若 ，则C=( )A B C D 9. 已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）A.128 B.256 C.512 D.102410.已知锐角 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 11.已知O为坐标原点，双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，若右支上有点M满足 ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 12.已知数列 的前 项和为 ， ，且满足 ，已知 ， ，则 的最小值为（ ）A B C. D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知 则当a的值为 时, 取得最大值.14. 若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平
4、行直线间的距离的最小值是_.15.已知平面 ，直线 .给出下列命题： 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 .其中是真命题的是 （填写所有真命题的序号）16若 是函数 的两个不同的零点， 且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于_三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：年 份2012201320142015201620172018投资金额（万元）4.55.05.56.06
5、.57.07.5年利润增长（万元）6.07.07.48.18.99.611.1（I）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额是8万元，估计该公司在该年的年利润增长是多少？（结果保留2位小数）（II）现从20122018年这7年中抽取2年进行调查，记 =年利润增长投资金额，求这两年都是 2（万元）的概率。参考公式：回归方程 中， 18. （本小题满分12分）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（I）求角C； （II）若 ， 的面积为 ，M为AB的中点，求CM的长.19. （本小题满分12分）如图所示的几何体P-ABCD中，四边形A
6、BCD为菱形， ，AB=a， ， ，平面ABCD 平面PAB， ，E为PD的中点，G为平面PAB内任一点.（I）在平面PAB内，过G点是否存在直线l使OE/l？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（II）过A、C、E三点的平面将几何体P-ABCD截去三棱锥D-AEC，求剩余几何体AECBP的体积.20.（本小题满分12分）已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ，离心率为 ， 是 上的一个动点。当 为 的上顶点时， 的面积为 。（I）求 的方程； （II）设斜率存在的直线 与 的另一个交点为 。若存在点 ，使得 ，求 的取值范围。21（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx（I）若函数
7、F(x)=tf(x)与函数g(x)=x21在点x=1处有共同的切线l，求t的值；（II）证明： ；（III）若不等式mf(x)a+x对所有的 都成立，求实数a的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. （本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ( 为参数 ，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 （I）求C的普通方程和l的倾斜角； （II）设点P(0, 2)，l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|23. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】函数 ，其中 ，
8、若 的解集为 （I）求a的值；（II）求证：对任意 ，存在 ，使得不等式 成立高三年级第二学期第一次诊断考试数学文试题答案2019.41.【答案】D 【解析】因为复数 是纯虚数，所以 ，解得： ，所以复数 可化为 ，所以复数 在复面上对应的点的坐标为 .故选：D2.【答案】B 【解析】对集合A，由 得： 或 .对集合B，由 得： .又 ，所以 （舍去）或 . 故选：B3.【答案】D 【解析】由题意，因为 ，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入A1000，故填A 1000，又要求n为偶数且初始值为0，所以矩形框内填n=n+2，故选D.4.【答案】D 【解析】由题意可得：，解得： .本题选
9、择D选项.5【答案】D6【答案】B 【解析】结合三视图，还原直观图，是一个棱长为2的正方体挖去一个半圆柱得到的，故 ，故选B。7.【答案】A 【解析】令 代入 可得 ，圆心坐标为 ，则 与圆心的距离为 ，半径为6，可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2。故答案为A.8【答案】B 【解答】向量 ， ，若 ，则 ，即 ，即 ，由余弦定理得 , . 故选：B.9. 【答案】B 【解析】当n=1时，S22S11，得a1a22a11，a2a11=1，当n2时，由Sn+12Sn1，得Sn2Sn11，两式相减得an12an (n2，nN*)，所以数列an从第二项起成等比数列，且公比q
10、2. 因此an12n22n2 (n2，nN*)所以a10210228=256.10.【答案】C 【解析】因为锐角 满足 ，所以 也是锐角，由三角函数的基本关系式可得 ，则 ，故选C.11.【答案】A 【解析】设 ， ， 由题可得： ,在 中，由余弦定理可得： ，整理得： .在 中，由余弦定理可得： ，整理得： .由双曲线定义得： ，即： .整理得： .故选:A12.【答案】C 【解析】由 得 ，所以数列 是等差数列，公差是1，首项是 。所以 ，则 。当且仅当 时， ，a6=0，其它的 。又已知 ， ，则 的最小值为 ，也等于 ，所以故选C。13.【答案】4 【解析】14.【答案】 15.【答案
11、】 【解析】对于，若 ， ，则 或 相交，所以该命题是假命题；对于，若 ， ，则 可能平行、相交、异面，所以该命题是假命题；对于可以证明是真命题. 故答案为：16【答案】917. 解:（） ， ， ，-2分那么回归直线方程为： 4分将 代入方程得 即估计该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元. 6分（）由题意可知，年份20122013201420152016201720181.521.92.12.42.63.67分设2012年-2018年这7年分别定为1,2,3,4,5,6,7；则总基本事件为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（1,7），（2,3），（2,4）
12、，（2,5），（2,6），（2,7），（3,4），（3,5），（3,6），（3,7），（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共有21种结果， 9分选取的两年都是 万元的情况为：（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共6种，11分所以选取的两年都是 万元的概率 .-12分 18.【解析】（1）由平方关系可得： 再由正弦定理可化为，整理得到 ，即 .又由余弦定理，得 . 因为 ，所以 .-6分（2）因为 ，所以 为等腰三角形，且顶角 . 故 ，所以 .在 中，由余弦定理，得 ，解得 .-12分19. 【解析】（1）过 点存在直线l
13、使OE/l，理由如下：由题可知 为 的中点，又 为 的中点，所以在 中，有 .若点 在直线 上，则直线 即为所求作直线l，所以有OE/l；若点 不在直线 上，在平面 内，过点 作直线l，使 ，又 ，所以OE/l，即过 点存在直线l使OE/l. -4分（2）连接 ， ，则平面 将几何体分成两部分：三棱锥 与几何体 （如图所示）.因为平面 平面 ，且交线为 ，又 ，所以 平面 . 故 为几何体 的高.又四边形 为菱形， ， ， ，所以 ，所以 .又 ，所以 平面 ，OE是三棱锥E-ACD的高。所以 ，所以几何体 的体积 .-12分20.解：（1）设椭圆的半焦距为c。因为 ，所以， ，1分又 ，2分 所以 .3分所以C得方程为 4分（2）设直线PQ的方程为 ，PQ的中点为 .当k=0时，直线成为x轴，原点O(0,0)符合题意，即t=0符合题意.5分当k0时，由 得 6分则 7分所以 即 8分因为 ，所以TNPQ,则KTNk=1，9分所以 10分因为 ，所以 .11分综上，t的取值范围为 .12分21【解析】（）g(x)=2x，F(x)=tf(x)=t lnx，F(x)=t f (x)= ，F(x)=tf(x)与函数g(x)=x21在点x=1处有共同的切线l，
